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华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 同步练习
一、选择题
1．点(－sin 30°，cos 30°)关于y轴对称的点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是　　
A．2 B．1 C．0.5 D．2.5
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于(　　)
A． B． C． D．
4．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为(　　)
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②sin2A+cos2A＝1；③tanB；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
7．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是 （ ）
A．45° B．35° C．25° D．15°
8．随着锐角α的增大，cosα的值(　　)
A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定
9．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若AB∶BC＝4∶5，则cos∠AFE的值为(　　)
A．4∶5 B．3∶5 C．3∶4 D．4∶5
10．已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边的长,b＞a=c，且关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于,则△ABC中最大角的度数是( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
12．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是__________．
14．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，则△ABC是__________三角形．
15．在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝__________.
16．如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为__________ ；折痕的长为__________ ．
17．在矩形中，，，对角线交于点，把矩形绕点在平面内自由旋转，点，的对应点分别是，．当或落在射线上时，的长是 __________ ．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，cos A＝，AD＝，求BD的长.
19．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；
(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；
(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
20．如图，直角三角形ABC，
（1）写出其中三角函数是哪些边的比：．
（2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________.
21．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，且5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．
22．综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题.
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，.试探究四边形的形状，并说明理由.
独立思考：请解答老师提出的问题.
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长.
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长.
华东师大版（2024）九年级上册 23.3 锐角三角函数 同步练习（参考答案）
一、选择题
1．点(－sin 30°，cos 30°)关于y轴对称的点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点，即为.
关于y轴对称的点的坐标是.
2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是　　
A．2 B．1 C．0.5 D．2.5
【答案】A
【解析】如图，连接格点，．
由网格和勾股定理可求得；，，，
，是直角三角形．
在RtABE中，．
，，，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝5，sinB＝＝，
故选C.
4．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
∴sin B＝＝＝，故选B.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②sin2A+cos2A＝1；③tanB；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴①sinA＝cosB，故正确；
②sin2A+cos2A＝（）2+（）21，故正确；
③tanB，故正确；
故选：D．
6．若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】C
【解析】∵sin（70°﹣α）＝cos50°，
∴70°﹣α+50°＝90°，
解得α＝30°．
故选：C．
7．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是 （ ）
A．45° B．35° C．25° D．15°
【答案】C
【解析】∵α为锐角，
∴tan(α＋20°)＝tan 45°＝1，
∴α＋20°＝45°，
解得α＝25°.
8．随着锐角α的增大，cosα的值(　　)
A．增大 B．减小 C．不变 D．增大还是减小不确定
【答案】B
【解析】随着锐角α的增大，cosα的值减小．故选B.
9．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若AB∶BC＝4∶5，则cos∠AFE的值为(　　)
A．4∶5 B．3∶5 C．3∶4 D．4∶5
【答案】D
【解析】∵∠AFE＋∠CFD＝90°，∴cos∠AFE＝sin∠CFD，
由折叠可知，CB＝CF，矩形ABCD中，AB＝CD，sin∠CFD＝＝＝4∶5，
∴cos∠AFE＝4∶5，故选D.
10．已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边的长,b＞a=c，且关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根的差的绝对值等于,则△ABC中最大角的度数是( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】设x1,x2是方程ax2-bx+c=0的两个根,则x1+x2=,x1 x2=,
由=得(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,∴=2，
∵a=c,∴=3,∴=(负值已舍去),
此时一元二次方程ax2-bx+c=0的根的判别式大于零，满足题意.
根据题意,画出示意图,如图，过点B作BD⊥AC于点D,
∵a=c,∴AD=,∠ABD=∠ABC,∴sin∠ABD=== =,
∴∠ABD=60°,∴∠ABC=2∠ABD=120°,即△ABC中最大角的度数是120°.
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
【答案】C
【解析】∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC cosα，BE＝DB cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC cosα，
∵∠ABC＝90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BC cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
12．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形边长为，则，
是边的中点，
．
在中，，
是的中点，
，
四边形为正方形，
∴
，
，
，
，
，即，
，，
．
二、填空题
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是__________．
【答案】
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝=＝4，∴cosA＝＝.
14．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，则△ABC是__________三角形．
【答案】直角
【解析】由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝cosB＝，得∠A＋∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
15．在直角△ABC中，∠C＝90°，如果b∶a＝3∶，那么∠A＝__________.
【答案】30°
【解析】在直角△ABC中，∠C＝90°，∵tanA＝a∶b＝，∴∠A＝30°.
16．如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为__________ ；折痕的长为__________ ．
【答案】60° ；
【解析】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵将沿弦折叠
∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴
∵
∴四边形MEOF中
即的度数为60°；
∵，
∴（HL）
∴
∴
∴
∵MO⊥DC
∴
∴
故答案为：60°；.
17．在矩形中，，，对角线交于点，把矩形绕点在平面内自由旋转，点，的对应点分别是，．当或落在射线上时，的长是 __________ ．
【答案】或
【解析】在矩形中，，，，
∴，
矩形对角线互相平分，因此为中点，射线在直线上，绕点旋转后，由旋转的性质得，，旋转角相等，即；
由题意可分：当落在射线上，此时在直线上，过点作，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴；
当落在射线上，此时在直线上，过点作，如图所示：
∴，
由旋转角相等得，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的长为或．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，cos A＝，AD＝，求BD的长.
【答案】解　如图，过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△AED中，∠AED＝90°，cos A＝，AD＝，
∴AE＝AD·cos A＝×，
∴DE＝＝3.
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝3，
∴AC＝AD＋CD＝＋3＝.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，
∴AB＝，
∴BC＝＝9，
∴BD＝＝3.
19．已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；
(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；
(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.
【答案】解　(1)∵sinA＝0.732 5，∴∠A≈47.1°，∵sinB＝0.054 7，∴∠B≈3.1°；
(2)∵cosA＝0.605 4，∴∠A≈52.7°，∵cosB＝0.1659，∴∠B≈80.5°；
(3)∵tanA＝4.842 5，∴∠A≈78.3°，∵tanB＝0.8816，∴∠B≈41.4°.
20．如图，直角三角形ABC，
（1）写出其中三角函数是哪些边的比：．
（2）若∠A＝60°，∠C＝90°，直接写出三角函数的值：sinA=________，cosA=________， tanA=________.
【答案】解：（1）sinA，cosA，tanA．
（2）sin60°，cos60°，tan60°．
故答案为：，，．
21．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，且5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．
【答案】解　∵(2b)2＝4(c＋a)(c－a)，∴4b2＝4(c2－a2)，
∴b2＝c2－a2，∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
∵5a－3c＝0，∴＝，∴sinA＝.
设a＝3k，c＝5k，∴b＝＝4k，
∴sinB＝＝＝.∴sinA＋sinB＝＋＝.
22．综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题.
如图1，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，.试探究四边形的形状，并说明理由.
独立思考：请解答老师提出的问题.
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长.
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长.
【答案】解：（1）四边形是菱形.理由：
由折叠的性质，可得，，.
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形.
(2) 如图1，连接.
四边形为矩形，
，
.
设，则.
由折叠性质可得，，
，解得，
.
由（1），知四边形是菱形，，
，
.
(3) 如图2，过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
∴，，
，
，.
由折叠的性质，可得，
，，
.
，
，
，
.
在中，根据勾股定理，可得
，
.

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