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华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 同步练习
一、选择题
1．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是 （ ）
A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是(　　)
A．斜坡的坡角是10° B．斜坡的坡度是tan10° C．AC＝1.2tan 10°米 D．AB＝米
3．如图，在△ABC中，AB＝3，tan B＝，∠C＝45°，则BC的长为 （ ）
A．9 B．12 C．6 D．9
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A等于(　　)
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9 m，则旗杆CD的高度为(　　)
A．(9＋) m B．(9＋3) m C．9 m D．12 m
6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4)(　　)
A． B． C． D．
7．在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是(　　)
A． B． C．m·tanα D．m·cosα
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(　　)
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
9．某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　)
A．3米 B．3米 C．3米 D．2米
10．如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为(　　)
A．200tan20°米 B．米 C．200sin20°米 D．200cos20°米
11．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sin A＝，则斜道AC的长度是 （ ）
A．25米 B．30米 C．35米 D．40米
12．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 （ ）
(精确到1 m.参考数据：sin 22°≈0.37，tan 22°≈0.40，sin 58°≈0.85，tan 58°≈1.60)
A．28 m B．34 m C．37 m D．46 m
二、填空题
13．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船__________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．(可使用科学记算器)
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AB＝__________.
15．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i＝__________.
16．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ．
17．在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则 __________ ．
三、解答题
18．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图是一种摇盖垃圾桶的实物图，图是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，．
(1) 如图，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2) 求点到的距离．（结果保留整数，参考数据：）
19．如图1， 是锐角三角形 的外接圆， 于点 ．
(1) 求证： 平分 ；
(2) 如图2，若以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，求 的长及 的度数．
20．解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°.
21．【项目主题】
某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题．
【实验操作】
如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）：
小组 线段1 线段2 线段3
第一小组
(1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数．
【建立模型】
如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据：
小组 测仰角 测仰角
第二小组
(2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由．
如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式．
【解决问题】
(3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
(4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离．
22．综合与实践
【项目】为迎接市中学生运动会，某校计划将一片旧操场角落改造成一个符合国际田联（世界田径）标准的铅球投掷场地．作为校“未来工程师”项目组成员，你需要运用所学知识参与设计．
【资料】如图，铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆为铅球投掷圈，扇形部分为铅球落地区，以下是国际田联对铅球场地的关键规定：
(1) 投掷圈为直径的圆形区域．
(2) 落地区是以投掷圈圆心为顶点、夹角为、半径为的扇形区域．
(3) 为保证安全，在场地四周范围内为安全区，均不得有障碍物．
【问题】根据田联标准计算
（1）如图，，平分，当时，求的长．（参考数据：，，）
（2）铅球场地占地面积约是多少平方米？（结果保留两位小数，取3.14）
（3）规划设计
学校提供的空地呈长方形，长35米，宽20米，如图，请结合空地尺寸和落地区角度，从安全角度判断该空间是否可以建设一个标准铅球场地？如可以，画出简单场地示意图；如不可以，请说明理由．
华东师大版（2024）九年级上册 23.4 解直角三角形 同步练习（参考答案）
一、选择题
1．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是 （ ）
A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时
【答案】B
【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，如图所示，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
由题意得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12 海里，BC＝10x 海里，AC＝14x 海里，
在Rt△ABD中，AB＝12 海里，∠ABD＝180°－120°＝60°，
∴BD＝AB·cos 60°＝AB＝6（海里），AD＝AB·sin 60°＝6（海里），
∴CD＝(10x＋6)海里.
在Rt△ACD中，由勾股定理得(14x)2＝(10x＋6)2＋(6)2，
解得x1＝2，x2＝－（不符合题意，舍去）.
∴巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为2小时.
2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或结论错误的是(　　)
A．斜坡的坡角是10° B．斜坡的坡度是tan10° C．AC＝1.2tan 10°米 D．AB＝米
【答案】C
【解析】根据坡角的定义，得斜坡AB的坡角是10°，此结论正确；即A正确，
根据坡度的定义，得斜坡AB的坡度是tan10°，此结论正确；即B正确，
在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，
∴tan∠BAC＝，∴AC＝米，此结论错误，即C错误；
在Rt△ABC中，∠BAC＝10°，BC＝1.2，∴sin∠BAC＝，∴AB＝米，
此结论正确，即D正确．故选C.
3．如图，在△ABC中，AB＝3，tan B＝，∠C＝45°，则BC的长为 （ ）
A．9 B．12 C．6 D．9
【答案】A
【解析】如图，过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
∵tan B＝，
令AM＝x，则BM＝2x，
又∵AB＝3，
∴x2＋(2x)2＝(3)2，
解得x＝3，
∴AM＝3，BM＝6.
又∵∠C＝45°，
∴∠MAC＝90°－45°＝45°，
∴∠C＝∠MAC，
∴CM＝AM＝3，
∴BC＝BM＋CM＝9.
4．在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝2，AC＝，则∠A等于(　　)
A．75° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【解析】∵∠C＝90°，AB＝2，AC＝，∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，∴∠A＝180°－∠C－∠B＝30°，故选D.
5．如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°，旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB＝9 m，则旗杆CD的高度为(　　)
A．(9＋) m B．(9＋3) m C．9 m D．12 m
【答案】B
【解析】如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AB＝BD＝9 m.
∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD，
∴四边形ABDE是正方形，
∴AE＝BD＝AB＝DE＝9 m.
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴CE＝AE·tan30°＝9×＝3，
∴CD＝CE＋DE＝(3＋9)m.
故选B.
6．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4)(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，
则∠EHG＝∠HEF＝90°，
∵∠AEF＝135°，∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝45°，∠EAH＝45°，
在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝45°，AE＝1.3米，
∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.3×0.7＝0.91(米)，
∵AB＝1.3米，∴AB＋EH≈1.3＋0.91≈2.2米．
故选B.
7．在山坡上植树，要求两棵树间的水平距离是m，测得斜坡的倾斜角为α，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是(　　)
A． B． C．m·tanα D．m·cosα
【答案】B
【解析】作AB⊥BC于B，cosα＝，
∴斜坡上相邻两棵树的坡面距离AC= ＝，
故选B.
8．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(　　)
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
【答案】C
【解析】如图，由题意可知，∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°.
∵AB∥NP，∴∠A＝∠NPA＝55°.
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP·cosA＝2cos 55°海里．
故选C.
9．某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为(　　)
A．3米 B．3米 C．3米 D．2米
【答案】A
【解析】由题意如图，AB＝6，∠BAC＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3，
∴某人沿倾斜角为30°的斜坡前进6米，则他上升的最大高度为3米．故选A.
10．如图，滑雪场有一坡角α为20°的滑雪道，滑雪道AC的长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底垂直高度AB的长为(　　)
A．200tan20°米 B．米 C．200sin20°米 D．200cos20°米
【答案】C
【解析】∵sinC＝，∴AB＝AC·sinC＝200sin20°，故选C.
11．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sin A＝，则斜道AC的长度是 （ ）
A．25米 B．30米 C．35米 D．40米
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sin A＝，
则，即，
解得AC＝30米.
12．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70 m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为 （ ）
(精确到1 m.参考数据：sin 22°≈0.37，tan 22°≈0.40，sin 58°≈0.85，tan 58°≈1.60)
A．28 m B．34 m C．37 m D．46 m
【答案】C
【解析】由题意可知AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan 58°＝，
∴BD＝≈，
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70 m，
∴BC＝CD＋BD≈70＋，
∴AB＝BC·tan C≈×0.40，
解得AB≈37 m.
二、填空题
13．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船__________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．(可使用科学记算器)
【答案】没有
【解析】已知OA＝40，∠O＝33°，则AB＝40·sin 33°≈21.79＞20.所以轮船没有触暗礁的危险．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，那么AB＝__________.
【答案】9
【解析】∵sinA＝，∴AB＝＝9.
15．如果在一个斜坡上每向上前进13米，水平高度就升高了5米，则该斜坡的坡度i＝__________.
【答案】1∶2.4
【解析】设在一个斜坡上前进13米，水平高度升高了5米，此时水平距离为x米，
根据勾股定理，得x2＋52＝132，解得x＝12，故该斜坡坡度i＝5∶12＝1∶2.4.
16．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 __________ ．
【答案】
【解析】由题意，作 于， 于，
．
，
．
．
，
．
．
∵．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在 中，
，
．
故答案为：．
17．在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则 __________ ．
【答案】2
【解析】解：垂直平分，．
，在中，，∴．
在下方作，且，连接，
绕点逆时针旋转得到，．
，，即．
在和中，，
，．
，
．
在延长线上，
，
．
在中，，
，
，
三点共线，
，
．
过点作于点，
∴，
∵，
∴，
，
三、解答题
18．“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图是一种摇盖垃圾桶的实物图，图是其侧面示意图，其盖子可整体绕点所在的轴旋转．现测得，．
(1) 如图，将整体绕点逆时针旋转角，当时，求的度数．
(2) 求点到的距离．（结果保留整数，参考数据：）
【答案】解：（1）解：，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
点到的距离约为．
19．如图1， 是锐角三角形 的外接圆， 于点 ．
(1) 求证： 平分 ；
(2) 如图2，若以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，求 的长及 的度数．
【答案】(1) 证明：如图，连接 ，
，
，
．
，
，
，
平分 ．
(2) 解：连接 ，过点 作 于点 ，
，
．
，
为等腰直角三角形，，
．
以 为圆心， 为半径的圆与 相切于点 ，
，
均为等腰直角三角形，
，
．
平分 ，
．
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
，
．
，
．
，
．
20．解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°.
【答案】解　∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30，
∵c＝8，∴b＝4，∴a＝＝＝12.
21．【项目主题】
某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题．
【实验操作】
如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）：
小组 线段1 线段2 线段3
第一小组
(1) 任务：请根据第一小组的数据求的度数．
【建立模型】
如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据：
小组 测仰角 测仰角
第二小组
(2) 任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由．
如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式．
【解决问题】
(3) 任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计）
(4) 任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离．
【答案】(1) 解：∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
(2) 解：假设该拱桥轮廓线是圆弧，
在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
解得；
∴，
在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、，
则，
则劣弧所对圆心角度数为，
即，
则，
∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线：
如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系，
则点、，
设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，
解得，
则抛物线的表达式为；
(3) 解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、，
则点，
将点的坐标代入得，
解得或（舍去），
∴（米）
∴横向限高杆离水面距离为米．
(4) 解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），
交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，解得，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
光线与抛物线之间的最小距离为米．
22．综合与实践
【项目】为迎接市中学生运动会，某校计划将一片旧操场角落改造成一个符合国际田联（世界田径）标准的铅球投掷场地．作为校“未来工程师”项目组成员，你需要运用所学知识参与设计．
【资料】如图，铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆为铅球投掷圈，扇形部分为铅球落地区，以下是国际田联对铅球场地的关键规定：
(1) 投掷圈为直径的圆形区域．
(2) 落地区是以投掷圈圆心为顶点、夹角为、半径为的扇形区域．
(3) 为保证安全，在场地四周范围内为安全区，均不得有障碍物．
【问题】根据田联标准计算
（1）如图，，平分，当时，求的长．（参考数据：，，）
（2）铅球场地占地面积约是多少平方米？（结果保留两位小数，取3.14）
（3）规划设计
学校提供的空地呈长方形，长35米，宽20米，如图，请结合空地尺寸和落地区角度，从安全角度判断该空间是否可以建设一个标准铅球场地？如可以，画出简单场地示意图；如不可以，请说明理由．
【答案】(1) 解：由题意得，，平分，．
，，
．
在中，．
，
．
(2) 解：铅球场地由扇形落地区和圆形投掷圈组成．扇形半径，圆心角，投掷圈直径，半径．
扇形面积：．
投掷圈面积：．
重叠部分（投掷圈内位于扇形内的部分）面积：．
场地总面积：．
答：铅球场地占地面积约是．
(3) 解：作法提示：空地尺寸为长、宽，需在四周留出安全区，即有效可用区域为长、宽的矩形．标准铅球场地的外接矩形尺寸约为：沿扇形对称轴方向长，垂直对称轴方向宽．由于且，可将场地对称轴沿矩形长边方向放置，并适当调整圆心位置，使整个场地完全位于有效区域内，满足安全区要求．因此，该空间可以建设一个标准铅球场地；
示意图如下：

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