资源简介

人教版（2024）九年级上册 29.1 圆的有关概念 同步练习
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤弧长相等的弧是等弧.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．列说法：
①长度相等的弧是等弧；
②任意多边形都有外接圆；
③劣弧一定比优弧短；
④直径是圆中最长的弦；
⑤经过不在同一直线上三点可以作一个圆．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　）
A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于
4．已知圆外一点到圆的最大距离为9 cm，最小距离为3 cm，则圆的半径为
A．10 cm或5 cm B．6 cm或3 cm C．3 cm D．5 cm
5．用反证法证明命题“在中，，，中至少有一个大于或等于”，第一步应先假设（）
A．，，中最多有一个大于或等于 B．，，都大于或等于
C．，，中最多有一个小于 D．，，都小于
6．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ）
A．4 B． C．5 D．7
7．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ）
A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．有一个内角小于
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（　　）
A．3 B．3.5 C． D．
10．如图，正三角形ABC的边长为6cm，则它的外接圆⊙O的半径为（　　）
A． B． C．3cm D．
11．(2025·安丘期末)如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是
A．a B．a-b C．a+b D．b
12．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值（　　）
A．3 B． C． D．4
二、填空题
13．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步先假设 __________ ．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆⊙O的半径为__________.
15．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为 　__________　．
16．已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为 __________．
17．（1）如图①，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 __________．
（2）如图②，点A、B的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 __________．
三、解答题
18．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作☉C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A，B在☉C外？
(2)当r取什么值时，点A在☉C内，点B在☉C外？
19．如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
20．如图，☉O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，求BC的长.
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝50°．
（1）如图①，若∠ABD＝24°，求∠ACD和∠ABC的度数；
（2）如图②，若AB⊥CD于点E，求∠CBD的度数．
22．【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值．
(1) 【探究证明】如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段．
证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、
则有（__________）请补全__________处缺失的依据
即
由得，即
从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
(2) 小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
(3) 如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是__________．
(4) 如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是__________．
【灵活运用】
(5) 如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是__________．
人教版（2024）九年级上册 29.1 圆的有关概念 同步练习（参考答案）
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤弧长相等的弧是等弧.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①不共线的三点确定一个圆，故①错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故④正确；
⑤在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故⑤错误.
2．列说法：
①长度相等的弧是等弧；
②任意多边形都有外接圆；
③劣弧一定比优弧短；
④直径是圆中最长的弦；
⑤经过不在同一直线上三点可以作一个圆．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：①长度相等的弧是不一定是等弧，故错误，不符合题意；
②任意多边形不一定都有外接圆，如直角梯形.故原命题错误，不符合题意；
③劣弧不一定比优弧短，如在半径不同的圆中，就有大圆的劣弧不一定比小圆的优弧短.故原命题错误，不符合题意；
④直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
⑤经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，正确，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
3．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（　　）
A．都大于 B．都小于 C．没有一个小于 D．没有一个大于
【答案】B
【解析】解：已知五个正数的和等于1，
用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于，
先要假设这五个正数都小于，
故选：B．
4．已知圆外一点到圆的最大距离为9 cm，最小距离为3 cm，则圆的半径为
A．10 cm或5 cm B．6 cm或3 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【解析】由题意可得圆的半径为(9-3)÷2=3(cm).
5．用反证法证明命题“在中，，，中至少有一个大于或等于”，第一步应先假设（）
A．，，中最多有一个大于或等于 B．，，都大于或等于
C．，，中最多有一个小于 D．，，都小于
【答案】D
【解析】用反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立.
∵原命题的结论为“在中，，，中至少有一个大于或等于”，“至少有一个满足条件”的否定是“全部都不满足条件”，
∴原结论的否定为“，，都小于”，
即第一步应假设，，都小于.故选D.
6．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（ ）
A．4 B． C．5 D．7
【答案】B
【解析】∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4，
∴点P到圆心O的距离d满足；
A选项，不符合要求；
B选项，即，符合要求；
C选项，不符合要求；
D选项，不符合要求．
7．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①直径是最长的弦，正确，符合题意；
②直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意，
故选：C．
8．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（ ）
A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于
C．有一个内角小于或等于 D．有一个内角小于
【答案】A
【解析】∵ 用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，
原命题结论为“四边形中至少有一个内角大于或等于” ，
∴ 结论不成立即“每一个内角都小于”.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是（　　）
A．3 B．3.5 C． D．
【答案】B
【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
故选：B．
10．如图，正三角形ABC的边长为6cm，则它的外接圆⊙O的半径为（　　）
A． B． C．3cm D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
则AD＝BD＝AB＝3（cm），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OA＝2OD
由勾股定理，得：OD=
∴OA=2
OA=2（cm），
故选：B．
11．(2025·安丘期末)如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是
A．a B．a-b C．a+b D．b
【答案】B
【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上且C在A，B之间时，S取到最小值为a-b.
12．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值（　　）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．
二、填空题
13．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步先假设 __________ ．
【答案】一个三角形中有两个角是直角
【解析】原命题的结论为一个三角形中不能有两个角是直角，因此反证法第一步假设结论不成立，即假设一个三角形中有两个角是直角．
14．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆⊙O的半径为__________.
【答案】
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则点O在AD上，
∵AB＝AC，
∴BD＝6，
∴AD＝＝8，
设OA＝r，连接OB，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2＋BD2，
即r2＝(8－r)2＋62，
解得r＝.
15．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为 　__________　．
【答案】d＞5
【解析】解：∵点A在圆外，
∴d＞5，
故答案为：d＞5．
16．已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为 __________．
【答案】2≤a≤6
【解析】解：如图，当点Q在圆外且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最大，最大值为4+2＝6；
当点Q在圆内且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最小，最小值为4﹣2＝2，
所以，线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6．
故答案为：2≤a≤6．
17．（1）如图①，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，﹣3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 __________．
（2）如图②，点A、B的坐标分别为A（2，0）、B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 __________．
【答案】（1）1.5（2）+
【解析】解：（1）如图，取点D（﹣4，0），连接PD，
∵C是AP的中点，O是AD的中点，
∴OC是△APD的中位线，
∴OC＝PD，
连接BD交⊙B于E，
∵OD＝4，OB＝3，
∴BD＝5，
当点P与点E重合时，PD最小为5﹣2＝3，
故OC的最小值为1.5，
故答案为：1.5；
（2）以B为圆心，1的长为半径作⊙B，在点O的左侧，取OD＝OA＝2，连接CD，
∵BC＝1，
∴点C在⊙B上，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，当D，B，C三点共线时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴BD＝BO＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝+，
∴OM的最大值是+；
故答案为：+．
三、解答题
18．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作☉C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A，B在☉C外？
(2)当r取什么值时，点A在☉C内，点B在☉C外？
【答案】解　(1)若点A，B在☉C外，则BC>AC>r，
∵AC＝3，
∴0(2)若点A在☉C内，点B在☉C外，则AC∵AC＝3，BC＝4，
∴319．如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
【答案】证明　假设点D与点E重合．
∵AD是△ABC的中线，AE⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，与AC＞AB相矛盾，
∴点D与点E不重合．
20．如图，☉O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝，求BC的长.
【答案】解　如图，连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BAC＝sin∠BDC＝
，
∵BD＝4，
∴BC＝3.
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝50°．
（1）如图①，若∠ABD＝24°，求∠ACD和∠ABC的度数；
（2）如图②，若AB⊥CD于点E，求∠CBD的度数．
【答案】解：（1）∵∠ABD＝24°，
∴∠ACD＝∠ABD＝24°，
∵∠CDB＝50°，
∴∠CAB＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°；
（2）由（1）可知：∠ABC＝40°，
∵直径AB⊥弦CD，
∴＝，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∴∠CBD＝∠ABD+∠ABC＝40°+40°＝80°．
22．【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最大值和最小值．
(1) 【探究证明】如图①，是外的一点，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段．
证明：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、
则有（__________）请补全__________处缺失的依据
即
由得，即
从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
(2) 小琳认为在图①中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
(3) 如图③，在中，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是__________．
(4) 如图④，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为3，为轴上一动点，切于点，则最小值是__________．
【灵活运用】
(5) 如图⑤，的半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是__________．
【答案】(1) 解：如图②，在上任意取一个不同于点的点，连接、；则有（两点之间，线段最短） 即 由得，即 故答案为：两点之间，线段最短
(2) 解：小琳的说法正确，理由如下：
在圆上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，，
∴，即．
∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段．
∴小琳的说法正确；
(3) 解：如图，取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
，
∴的最小值为：，
故答案为：；
(4) 解：如图，连接，
根据切线的性质定理，得，
，，
∴要使最小，只需最小，
当轴于P时，最短，
此时P点的坐标是，
∵A点坐标为，
∴，
在中，，，
∴，
∴最小值是4，
故答案为：4；
(5) 解：如图，连接，作的外接圆，过圆心作于点，连接，，，，
∵半径为6，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
要使的面积最大，则需点到的距离最大，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，∴，
∴，
∴（当且仅当点共线时，等号成立），
∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为，
∴的最大面积是，
故答案为：．

展开更多......

收起↑