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人教版（2024）九年级上册 29.2 圆的有关性质 同步练习
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C＝65°，那么∠BAD的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝（　　）
A．31° B．56° C．28° D．52°
3．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等
5．如图，点在以为直径的上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　）
A．1 B． C． D．3
7．如图，正五边形内接于上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C为弧BC上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点E，若D是CE的中点，∠CAB＝45°，则∠DAE的度数为（　　）
A．20° B．15° C．12° D．10°
10．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
12．如图：等腰中，，，点为边上一动点，过点作于，过点作于，的外接圆与边的另一个公共点为．下列结论：①的大小不变；②；③；④的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝__________．
14．把一个圆分割成 4 个扇形, 它们的面积之比为 ,则最大的扇形的圆心角的度数是__________.
15．如图，CD是的直径，弦于点E，若，CE∶∶9，则的半径是__________ ．
16．如图，在⊙O中，AB＝8，C为的中点，且C到AB的距离为3，则圆的半径为 __________．
17．如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为__________．
三、解答题
18．已知：如图，在左侧求作一点，使得，且．
19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
20．已知，如图，在☉O中，AB＝DE，BC＝EF，求证：AC＝DF.
21．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长．
22．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
(1) 小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
① 该弧所在圆的半径长为__________；
② △ABC面积的最大值为__________；
(2) 经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
(3) 请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且则线段PB长的最小值为__________．
人教版（2024）九年级上册 29.2 圆的有关性质 同步练习（参考答案）
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，连接AD，DC，AC，如果∠C＝65°，那么∠BAD的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【解析】解：连接BD，
∵∠C＝65°，
∴∠B＝65°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：C．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝（　　）
A．31° B．56° C．28° D．52°
【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠BCD＝∠BAD＝28°，
故选：C．
3．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点向下作于点，交于点，连接，
∴，，
∵半径为，瓶内液体最大深度为，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等
【答案】B
【解析】A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以A选项不合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，所以C选项不合题意；
D．在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，所以D选项不合题意．
故选：B．
5．如图，点在以为直径的上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB，交AB于点H，连接OA，若∠A＝45°，AB＝2，则DH的长度为（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】∵直径CD⊥AB，AB＝2，
∴AH＝AB＝1，
在Rt△AHO中，∠A＝45°，
∴AH＝OH＝1，
∴AO＝DO＝，
∴DH＝DO+OH＝+1．
7．如图，正五边形内接于上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正五边形内接于，
每条边所对的中心角．
又同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
．
8．秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
点刻度为，点刻度为，
的度数为，
所对圆周角，
点刻度为，点刻度为，
的度数为，
所对圆周角，
是的外角，
，
又，
．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C为弧BC上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点E，若D是CE的中点，∠CAB＝45°，则∠DAE的度数为（　　）
A．20° B．15° C．12° D．10°
【答案】B
【解析】解：连接OC，OD，如图，
∴∠COE＝2∠CAB，
∵∠CAB＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵D为CE的中点，
∴CD＝DE，
∴，
又OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°，
∴，
故选：B．
10．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心O在格点上，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，，，
，即，
，
，
故选A．
11．如图，在平面直角坐标系中直线y＝与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】解：过O作OM⊥直线AB与M，直线AB交y轴于C，
y＝x+，
当x＝0时，y＝，
当y＝0时，x+＝0，解得：x＝﹣，
所以OC＝，OA＝，
∵tan∠CAO＝＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OM⊥AC，
∴∠OMA＝90°，
∴OM＝OA＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝1，
∵OM⊥AB，OM过圆心O，
∴AM＝BM＝1，
∴AB＝AM+BM＝2．
12．如图：等腰中，，，点为边上一动点，过点作于，过点作于，的外接圆与边的另一个公共点为．下列结论：①的大小不变；②；③；④的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，的大小不变，①正确；
如图，连接，
∵，
∴是的外接圆的直径，
∴，
∵，
∴，②正确；
如图，作于，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，③正确；
由勾股定理得，，
∴当时，最小，值为2，
∴的最小值为，即的外接圆直径的最小值为，④正确；
故选：D．
二、填空题
13．如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝__________．
【答案】36°
【解析】∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝∠AOB＝36°．
14．把一个圆分割成 4 个扇形, 它们的面积之比为 ,则最大的扇形的圆心角的度数是__________.
【答案】
【解析】最大的扇形的圆心角的度数是
15．如图，CD是的直径，弦于点E，若，CE∶∶9，则的半径是__________ ．
【答案】5
【解析】连接OA，如图，
是的直径，于点E，，
，
∶∶9，
设，则，
，，
在中，
，即，
解得，
．
16．如图，在⊙O中，AB＝8，C为的中点，且C到AB的距离为3，则圆的半径为 __________．
【答案】
【解析】解：连接OC，OA，OB，
∵C为的中点，
∴∠AOH＝∠BOH，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴AH＝AB＝×8＝4，
∵C到AB的距离为3，
∴CH＝3，
设圆的半径是r，则OH＝r﹣3，
∵OA2＝AH2+OH2，
∴r2＝42+（r﹣3）2，
∴r＝，
∴圆的半径为．
17．如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为__________．
【答案】
【解析】∵四边形中，，
∴四边形对角互补，
∴四点共圆，
∵，
∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值，
如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆，
，
连接，分别过点作垂直，垂足分别为点，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
又∵两点之间线段最短，
∴，
∴当时，最大，即最大，如下图所示，
，
此时S四边形ABCDmax =12AC BD=12AC 22AC=24AC2，
∴，解得，
∴．
三、解答题
18．已知：如图，在左侧求作一点，使得，且．
【答案】解：如图，点为所作．
．
19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，
20．已知，如图，在☉O中，AB＝DE，BC＝EF，求证：AC＝DF.
【答案】证明　∵AB＝DE，BC＝EF，
∴\overset{ }{AB} \mathrm{＝} \overset{ }{DE} , \overset{ }{BC} \mathrm{＝} \overset{ }{EF}，
∴\overset{ }{AC} \mathrm{＝} \overset{ }{DF}，
∴AC＝DF.
21．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以AB为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦CD的长．
【答案】解：（1）令y＝0，则，
∴4x2﹣4x﹣3＝0，即（2x+1）（2x﹣3）＝0，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接CM，
则，，
∴，
∴．
22．在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
(1) 小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
① 该弧所在圆的半径长为__________；
② △ABC面积的最大值为__________；
(2) 经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
(3) 请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长，，点P在直线CD的左侧，且则线段PB长的最小值为__________．
【答案】(1) ① 过点C作CD⊥BC，交于D，
∵∠BAC=30°，
∴∠BDC=30°，
∵∠DCB=90°，
∴BD为直径，
∴BD=2BC=4，
∴的半径为2；
故答案为：2；
② 取BC中点E，过点E作AE⊥BC，交与A，连结OB和OC，点O在AE上，以为底时，AE为最大高；
最大，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，BO=CO，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB=BC=OC=2，BE=CE=1，
∴，
，
，
故答案为：；
(2) 设交于F，
由圆周角定理知，
是△的外角，
，
∴；
(3) 解：取BC中点G，连结DG，以GD为直径作，点O为GD中点，连结OB交于P，此时BP最小，过点O作OH∥CD，交GC于H，
∵G为BC中点，
∴GC=BG=，
在Rt△GCD中tan∠DGC=，
∴优弧上点P都满足，
∴△OGH∽△DGC，
∴，即，，
∴BH=BG+GH=，
在Rt△BOH中，BO=，
在Rt△GHO中，OG=，
∴BP最小=．

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