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人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 同步练习
一、选择题
1．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
2．如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （ ）
A．38° B．42° C．52° D．62°
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
5．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　）
A．22° B．44° C．46° D．58°
6．在 ABCD中，BC＝5，S ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．3
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．30°
9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________．
二、填空题
13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 __________.
14．如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点.连接AC交☉O于点D，点E是☉O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是__________ ；DF的长度是__________ .
15．在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 __________．
17．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动__________秒时，直线恰好与相切．
三、解答题
18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．
19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E.
(1)如图，求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由.
20．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．求证：BC为⊙O的切线．
21．如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
22．完成下面各题．
如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值．
(1) 【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值；
(2) 【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值；
(3) 【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值__________．
人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 同步练习（参考答案）
一、选择题
1．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内，
∴，即
故选：C．
2．如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （ ）
A．38° B．42° C．52° D．62°
【答案】C
【解析】∵MN是☉O的切线，M是切点，
∴半径OM⊥MN，
∴∠OMN＝90°.
∵∠N＝38°，
∴∠MON＝90°－∠N＝52°.
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】解：连接OD，
∵∠DOC＝2∠A＝2×30°，
∴∠DOC＝60°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴AD＝DC＝5，
故选：B．
4．如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【解析】连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∴PB==4
∵PA、PB分别与⊙O相切，
∴PA=PB=4，
∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E,
∴DE=DB，CE=CA，
∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DE+PD=PA+PB=8，
故选C.
5．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　）
A．22° B．44° C．46° D．58°
【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝22°，
∴∠OCA＝90°﹣∠ACE＝68°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝68°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝44°．
∵DB为⊙O的切线，
∴OB⊥DB，
∴∠OBD＝90°，
∵∠BOC+∠OCD+∠OBD+∠D＝360°，
∴∠D+∠BOC＝180°．
∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠D＝∠AOC＝44°．
故选：B．
6．在 ABCD中，BC＝5，S ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．
∵S平行四边形ABCD＝BC CH，
∴CH＝＝4，
∵4＜5，
∴直线AD与⊙C相交，
故选：B．
7．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．30°
【答案】A
【解析】连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°，
∴∠BAC＝∠CDB＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE＝50°，
则∠E＝40°．
故选：A．
9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，
∴MH的最大值为3．
10．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】C
【解析】甲中，由作图知是的直径，
∴，
∴是的切线；
乙中，由作图知，，，即，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
综上，甲乙都对．
故选：C．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝，
则CH2＝CF×DC，
故CH＝5，
设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，
故AG＝20﹣x，
又∵5AE＝4DE，
∴DE＝x，AE＝x，
则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2，
解得：x＝12，
故BH＝BC﹣CH＝7．
故选：C．
12．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】解：∵直线与坐标轴分别交于点，点，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵与轴相切．点的坐标为，
∴，
∴，
∴要使最小，则要使最小，
∴当最小时，，即此时是等腰直角三角形，
过点P作于E，
∴点E的坐标为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
二、填空题
13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 __________.
【答案】121°
【解析】解：如图，设⊙O与OP交于点E，连接OC，CE．
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥CP．
∴∠OCP＝90°．
∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°．
∵OC＝OE，
∴．
∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，
∴∠BAC+∠OEC＝180°．
∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝121°．
故答案为：121°．
14．如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点.连接AC交☉O于点D，点E是☉O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是__________ ；DF的长度是__________ .
【答案】　
；
【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠BDC＝90°.
∵BC＝5，CD＝3，∴BD＝＝4.
∵BC切☉O于点B，∴直径AB⊥BC.∴∠ABC＝90°.
∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°，
∴△CDB∽△CBA.
∴DB∶BA＝CD∶CB，即4∶BA＝3∶5.∴AB＝.
∵AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE.
∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，∴∠F＝∠BAF.
∴BF＝AB＝.∴FD＝BF－BD＝－4＝.
15．在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切．
【答案】120°
【解析】解：如图，连接OC，
∵⊙O与直线AB相切于点C；
∴OC⊥AB；而OA＝2，OC＝1，
∴∠A＝30°；而OA＝OB，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 __________．
【答案】45°或135°
【解析】解：如图1，点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′，
∵OB⊥A′B，
∴∠A′BO＝90°，
∵⊙A的半径为1，A（，0），
∴OA＝，
由旋转得OA′＝OA＝，
∵⊙A的半径为1，
∴A′B＝1，
∴OB＝＝＝1，
∴A′B＝OB，
∴∠BOA′＝∠BA′O＝45°，
∴α＝∠AOA′＝90°﹣45°＝45°；
如图2，点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′，
∵OC⊥A′C，
∴∠A′CO＝90°，
∵OA′＝OA＝，AC＝1，
∴OC＝＝＝1，
∴A′C＝OC，
∴∠COA′＝∠CA′O＝45°，
∴α＝∠AOA′＝90°+45°＝135°．
17．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动__________秒时，直线恰好与相切．
【答案】
【解析】解：作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示，
设直线的解析式为，
即，
与相切，且的半径为1，
，
解得，
直线的解析式为或，
点E的坐标为或，
令中，则，
，
根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，
移动的时间为或，
故答案为：．
三、解答题
18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线．
【答案】证明：∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线．
19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E.
(1)如图，求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明　连接BD.如图，由于ED，EB是☉O的切线，由切线长定理，
得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD.
又∵AB是☉O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，即OE∥AC.
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BE＝EC，
∴EB＝EC＝ED.
(2)解　在△DEC中，由于ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°时，在线段DC上存在点F满足条件.
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求（图略）.
∵在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE.
∴DE2＝DF·DC.
即＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°，
此时，C点即为满足条件的F点，于是DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC<∠C时，即180°－2∠C<∠C，60°<∠C<90°时，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
20．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．求证：BC为⊙O的切线．
【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线．
21．如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长．
【答案】(1) 证明：如图，连接，
∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2) 解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
22．完成下面各题．
如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值．
(1) 【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值；
(2) 【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值；
(3) 【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值__________．
【答案】(1) 解：过点C作，过点E作，连接，，如下图
，，
，
，与都以为底，为高，
，
，，
，即，
，
，
与都是定值，高是定值，
也为定值．
(2) 解：作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，
，
点E在上运动，如下图
当过点G时的值最大，
，
，
由勾股定理得，
，即的最大值是8．
(3) 解：过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，如下图
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，且为定值，
以中点G为圆心，为直径作圆，
，点E在上运动，
过点G作于点N，过点F作于点K，
四边形、是矩形，
，，
当过点G时，的值最大，
，
在中，运用勾股定理，
，即的最大值为．

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