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2026--2027学年第一学期初三数学（2024版）第四周滚动练习
一．选择题（共10小题）
1．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD为（　　）
A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸
2．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝3∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）
A．30° B．20° C．15° D．10°
第1题第2题
3．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形； B．对角线相等的平行四边形是矩形；
C．对角线相等的矩形是正方形； D．对角线相等的菱形是正方形。
4．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　）
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
第5题第6题第7题
6．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
7．如图，在⊙O中，若弧AB＝2弧CD，则AB与CD的大小关系为（　　）
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
8．如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB＝2CD，与之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
9．直角三角形两条直角边分别为6和8，则直角三角形外接圆的半径为（　　）
A．4.8 B．5 C．6 D．8
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
第8题第10题第11题
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝　 　 ．
12．已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为　 　 cm．
13．如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H，若AH＝CD＝4，则⊙O的半径长为　 　 ．
14．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙O交于点B，且AB＝OC，若∠A＝24°，则∠DOE的度数是　 　 ．
第13题第14题第15题
15．如图，⊙O的直径AC＝4，四边形ABCD内接于⊙O．若BD＝CD，AB＝2AD，则AD＝ 　 　 ．
16．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 　 　 ．
第16题第17题第18题
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠ADC＝110°，则∠BEC的度数为　 　 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆分别与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，线段CF⊥AE于点F，线段FG长度的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ．
三．解答题（共11小题）
19．（1）计算：|﹣2|+（π﹣2026）0﹣（﹣1）；
（2）解方程：①（x﹣1）2＝9； ②x2+2x＝0； ③x2﹣3x+1＝0．
20．先化简：，再从0，1，2中选一个合适的数代入求值．
21．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，OD，AD，∠CAB＝30°，∠BAD＝15°．
（1）计算：∠BOD＝　 　 °；
（2）求证：AC＝AE；
（3）若CD＝4，求AD的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径．
23．如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若EF＝4，DF＝2，求△ABC的面积．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（2）若AF＝10，，求线段AE的长．
26．参照学习函数的过程与方法，探究函数y的图象与性质．
因为y，即y1，所以我们对比函数y来探究．
列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 …
y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　 　 ；（填“增大”或“减小”）
②y的图象是由y的图象向 　 　 平移 　 　 个单位而得到；
③图象关于点 　 　 中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．
27．如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．
28．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点（在直径AB两侧），连接AC，BC，AD，BD，如果∠BAD＝45°，AC：BC＝4：3，连接CD交圆的直径AB于点M．
（1）求证：CD平分∠ACB；
（2）已知AB＝15，求CM长度．
29．如图①，在⊙O中，劣弧AB的度数为120°，点P是优弧AB上的动点，且不与点A，B重合，弦PB的垂直平分线分别交射线PA，弦PB于点C，D．
（1）求证：△PCB是等边三角形；
（2）△POC能否为等腰三角形？如果能，求此时∠POC的度数；如果不能，请说明理由；
（3）若⊙O的半径为2，则△POC面积的最大值是 　 　 ．
∴斜边为，∴直角三角形外接圆的半径为，故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
第8题第10题
10．【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，
∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴PQ，
当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC sinB＝2，
∴PQ的最小值为：3，故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：连接BD，如图所示：
∵∠ACD＝54°，∴∠ABD＝54°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝36°，答案为：36°．
【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，解答本题的关键是掌握圆周角定理中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
第11题第12题
12．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故答案为7或17．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
13．【解答】解：如图，连接OC，设圆的半径为r，
∵CD⊥AB，∴，
∵OC＝r，OH＝AH﹣AO＝4﹣r，∴OC2＝OH2+CH2，r2＝（4﹣r）2+22，
解得r＝2.5，∴⊙O半径为2.5．故答案为：2.5．
【点评】本题考查垂径定理，正确进行计算是解题关键．
第13题第14题第15题
14．【解答】解：如图，连接OB，∵AB＝OC，OB＝OC，∠A＝24°，
∴AB＝OB，∴∠AOB＝∠A＝24°，∵∠OBE是△OAB的外角，
∴∠OBE＝∠A+∠AOB，∴∠OBE＝2∠A＝48°，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠E＝48°，
∴∠DOE＝∠E+∠A＝48°+24°＝72°．故答案为：72°．
【点评】考查圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
15．【解答】解：连接DO并延长，交BC于点M，连接OB，
∵BD＝CD，BO＝OC，∴DM垂直平分BC．设AD＝x，则AB＝2x．
在Rt△ADC中，CD2＝42﹣x2．在Rt△ABC中，BC，
∴BM，∴OM，∴DM＝x+2．
在Rt△DBM中，BD2＝（）2+（x+2）2．∵BD＝CD，
∴42﹣x2＝（）2+（x+2）2，解得x（舍负），
∴AD．故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧、弦的关系及巧用勾股定理是解题的关键．
16．【解答】解：作PC⊥轴于点C，交AB于点D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
由条件可知OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），
∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，∴AE＝BEAB，∴PE，
∴PDPE＝2，∴a＝3+2．故答案为：3+2．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．
第16题第17题第18题
17．【解答】解：如图，连接OC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝110°，
∴∠CBO＝180°﹣∠ADC＝180°﹣110°＝70°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BCO﹣∠CBO＝40°，∵，
∴，故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．
18．【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，∴OA＝OB，∵G（0，2），∴OG＝2，
在Rt△AGO中，AG＝4，OG＝2，∴AG＝2OG，OA2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2OA＝4，∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝4，MGCG＝2，
∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝22，
当点F′在GM的延长线上时，F′G的长最大，最大值＝F′M+MG＝22，
故答案为：；．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（共11题）
19．【解答】解：（1）|﹣2|+（π﹣2026）0﹣（﹣1）＝2+1+1＝4；
（2）选择 ①；（x﹣1）2＝9，x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2；
选择②；x2+2x＝0，x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，x1＝0，x2＝﹣2；
选择③，x2﹣3x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
∴，∴．
【点评】考查实数的运算，解一元二次方程，零指数幂，熟知以上知识是解题的关键．
20．【解答】解： ＝a﹣2，
∵a≠±2，∴当a＝0时，原式＝﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21．【解答】（1）解：∵∠BAD＝15°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×15°＝30°，故答案为：30；
（2）证明：连接OC，图1，∵BC所对的圆心角是∠BOC，∠BAC＝30°，∴∠COB＝60°，
又∵∠BOD＝30°，∴∠COD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴∠ACE＝∠ACO+∠OCD＝75°，∴∠AEC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE；
图1图2
（3）解：如图2，过点C作CM⊥AD于点M，连接BC，
∵∠BOD＝30°，∠COB＝60°，∴∠DOC＝∠BOD+∠COB＝30°+60°＝90°，
∵OC＝OD，∴△DOC是等腰直角三角形，∵CD＝4，∴，∴，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴，
∴，
在Rt△ACM中，∠CAM＝45°，∠AMC＝90°，∴，
在Rt△CMD中，∠DCM＝∠ACD﹣∠ACM＝75°﹣45°＝30°，CD＝4，
∴，∴．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
22．【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，∴，∴∠BCP＝∠BDC，
∵C是的中点，∴CD＝CB，∴∠BDC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCP，∴CF＝BF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD＝6，AC＝8，∴BC＝6，
在Rt△ABC中，AB10，∴⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
第22题图1第23题
23．【解答】（1）证明：AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AD．
又∵AC＝CD，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D．∵∠A＝∠CED，∴∠CED＝∠D，∴CE＝CD．
（2）解：如图2，连接OE
图2
∵∠AOE＝108°，∴∠ACE＝54°．∵∠ACE＝∠CED+∠D，∠CED＝∠D，
∴．
【点评】本题考查圆周角定理，正确进行计算是解题关键．
24．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE；
（2）解：∵OD⊥BE，∴BF＝EF＝4，BE＝8，
设OB＝OA＝OD＝r，则OF＝OD﹣DF＝r﹣2，
在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，∴r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，
∴AC＝AB＝2r＝10，∴△ABC的面积为：．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰三角形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
25．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∵，
∴。又∵AC⊥BD，∴∠CAD＝90°﹣∠ADB，
∴，∴∠BAC＝2∠DAC；
（2）解：∵∠CAD＝∠CBD，∠BAC＝∠BDC，∠BAC＝2∠DAC，∴∠BDC＝2∠CBD，
∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，
又∵∠BDC＝2∠CBD，∴，∴，
又∵BD⊥AC，∴BE＝EF，∴AC是线段BF的中垂线，
∵AB＝AC，∴AB＝AF＝AC＝10，又，设AE＝x，CE＝10﹣x，
∵AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，∴100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2＝BE2，解得x＝6，∴AE＝6．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键．
26．【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y的图象是由y的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标），故答案为增大，上，1，（0，1）。
（3）∵x1+x2＝0，∴x1＝﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2＝2，∴y1+y2+3＝5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．【解答】（1）解：∵OC＝OB，∴，∵∠BOC＝2∠BCE，
∴，即∠OBC+∠BCE＝90°，
∴∠OEC＝90°，∴OC2＝OE2+CE2，∴OC2＝（OC﹣1）2+22，解得：，
即⊙O的半径为；
（2）证明：过O作OF⊥BD于F，
∴，∠BFO＝90°，∵BD＝2OE，∴OE＝BF，
在Rt△CEO和Rt△BFO中， ∴Rt△CEO≌Rt△OFB（HL），
∴∠COE＝∠OBF，∴BD∥OC．
【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理及垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
28．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝45°，∴，
∴∠ACD＝∠DCB（圆周角定理），∴CD平分∠ACB（角平分线的定义）；
（2）解：如下图所示，过点M作MF⊥AC于点F，ME⊥BC于点E，
则四边形MECF是矩形，∵CD平分∠ACB，∴MF＝ME（角平分线的定义），
∴四边形MECF是正方形，∵AC：BC＝4：3，∴设AC＝4k，则BC＝3k，
∴，又∵AB＝15，∴5k＝15，解得k＝3，∴BC＝9，AC＝12，
在△ABC中，S△ABC＝S△AMC+S△BMC，
∴，∴，
∴，在正方形MECF中，对角线．
【点评】本题考查了圆周角定理，关键是相关定理的熟练掌握．
29．【解答】（1）证明：∵CD垂直平分PB，∴CP＝CB，
∵劣弧AB的度数为120°，∴优弧AB的度数为60°，即∠APB＝60°，
∴△PCB是等边三角形；
（2）解：①如图1，当OC＝OP时，
∵OP是半径，∴此时OC也是半径，点C在圆上，
由（1）知△PCB是等边三角形，∴∠PCB＝60°＝∠B，
∵∠PAB＝60°，∴点A与点C重合，∴∠POC＝2∠B＝120°；
图1图2图3
②当CO＝CP时，有两种情况，
Ⅰ，当点P靠近点B时，如图2，∵OP＝OB，
∴PB的垂直平分线经过点O，即点O、C、D三点共线，
∵∠APB＝60°，∴∠PCD＝30°，∵CO＝CP，∴∠POC＝15°；
Ⅱ，当点P靠近点A时，如图3，
备选题：
1．解方程：
（1）x2﹣6x﹣7＝0； （2）（x﹣1）2＝3x﹣3．
2．某商场销售一款服装，当售价为300元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．如果每件服装每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，每件服装的售价为多少元？
3．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．
（1）若∠ACB＝25°，求∠BDC的度数；
（2）若点E是弦BD上一点，且AE平分∠CAB，求证：DA＝DE．
4．如图，在 ABCD中，过A，B，C三点的⊙O交CD于点E，且与AD相切．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝6，BE＝9，求⊙O的半径．
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