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2026-2027学年江苏省宜兴中学高二（上）自主限时测试数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共6小题，共30分。
1.已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为=（3，1，-5），=（-6，-2，10），则（　　）
A. α⊥β B. α∥β
C. α与β相交但不垂直 D. 以上都不对
2.已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量=++，向量=+-，则与、不能构成空间基底的向量是（　　）
A. B. C. D. 或
3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且，若，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
4.三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则 等于（　　）
A. -2 B. 2 C. -2 D. 2
5.已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且=m，则m的值为（　　）
A. -1 B. 2 C. -2 D. -3
6.已知直线l是正方体体对角线所在直线，P，Q，R为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足l⊥平面PQR的是（　　）
A. （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（4） D. （2）（4）
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
7.下列命题是真命题的有（　　）．
A. 直线l的方向向量为=（1，-1，2），直线m的方向向量为，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为=（0，1，-1），平面α的法向量为=（1，-1，-1），则l⊥α
C. 平面α，β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β
D. 平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量=（1，u,t）是平面α的法向量，则u+t=1
8.已知空间中三点A（0，1，1），B（2，2，1），C（2，1，0），则（　　）
A.
B. 方向上的单位向量是
C. 是平面ABC的一个法向量
D. 在上的投影向量的模为
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
9.已知，则平面ABC的单位法向量为 .
10.如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA=AB=2，若OG∥平面EFC，则AG= .
11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，，设平面AEF与直线PC交于点，则λ= .
12.如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使AA′⊥a，且AA′⊥b，已知A′E=1，AF=2，EF=3，则线段AA′= .
13.已知正四面体ABCD的棱BC的中点为E，且（点P为空间中一动点），则 的最大值为 .
四、解答题：本题共2小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，点D为棱BC上一点，且CD=2BD，点M为线段AD的中点．
（1）以{、、}为一组基底表示向量；
（2）若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=60°，求 ．
15.(本小题18分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2，CD=3，E是A1B的中点，G是A1D上的一个动点，点F在A1C上，且满足.
（1）证明：AE⊥EF.
（2）证明：平面A1FG⊥平面AEF.
（3）试问：是否存在G，A，E，F四点共面？若存在，求出A1G的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】AD
8.【答案】ACD
9.【答案】（，，）或（，，）
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】2+2
14.【答案】解：（1）∵M为线段AD的中点，∴，
∵CD=2BD，∴，
∴==
==
==；
（2） =
=
=
=
=．
15.【答案】（1）证明：如图，过点A作AH⊥CD，交CD于点H，
以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，-1，0），A1（0，0，2），
又E为A1B的中点，点F在A1C上，且满足，
则E（0，1，1），，，，
，
所以，
所以AE⊥EF （2）证明：由（1）知，，
设为平面AEF的法向量，
则，
令y1=1，得平面AEF的一个法向量=（1，1，-1），
，，
设为平面A1CD的法向量，
则，
令z2=1，得平面A1CD的一个法向量=（1，0，1），
因为，
所以，
所以平面A1FG⊥平面AEF （3）存在，2
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