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2026-2027学年江苏省南京师范大学附属中学树人学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列是一元二次方程的是（　　）
A. x2+x=2y B. 2x2=1 C. ax2+bx+c=0 D. x2+x+1
2.用配方法解方程x2-4x-4=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x-2）2=0 B. （x-2）2=8 C. （x+2）2=0 D. （x+2）2=8
3.已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C=20°，则∠BAO的值为（　　）
A. 60°
B. 40°
C. 50°
D. 70°
5.对于反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A. 图象经过点（3，-4） B. 图象位于第二、四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
6.如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度AB=（　　）
A. 8cm
B. 4cm
C.
D.
7.设反比例函数y=（k为常数，k≠0）.已知当-6≤x≤-2时，y的最大值为-1，则当2≤x≤3时，y的最大值为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点A（1，0），点C（0，7），反比例函数的图象经过点B，则k的值为（　　）
A. 9
B. 12
C. 16
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.方程x2=4的根是 .
10.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流从6A增加到10A时，电阻小了 Ω.
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，4），C（5，2），则△ABC的外接圆的半径为 .
12.如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB=2∠O，则∠O的度数为 °．
13.如图，⊙O内切于四边形ABCD，且AB=8，CD=5，则四边形ABCD的周长 .
14.如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是的中点，连接AP，若∠BAP=30°，BC=8，则AC的长为 .
15.若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB：y=x+b与x轴交于点P（a,0），若直线AB与⊙O有公共点，则a的取值范围是 .
17.规定：对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★（mx）=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 .
18.如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）
(1) 若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m,求AB和BC的长度
(2) 若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m,请直接写出所有满足条件的围建方案
四、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解下列方程：
(1) x2+3x-2=0
(2) （x-1）2=3x-3
21.(本小题8分)
如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC=CD.
22.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.
（1）求实数k的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）=-1，求k的值.
23.(本小题10分)
△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图
(1) 在图1中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ACD，使∠ACD=90°
(2) 在图2中的圆上找一点F，使得BF平分∠ABC
24.(本小题10分)
某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件.
（1）如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出______件；
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，-2），B（-2，n）两点，与x轴交于点C.
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b的解集；
（3）将x轴下方的图象沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B，A′C，求△A′BC的面积.
26.(本小题10分)
如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当∠F=30°，BD=6，时，求BF的长.
27.(本小题10分)
定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称M为该一元二次方程的衍生点
(1) 直接写出方程x2+2x=0的衍生点P的坐标为
(2) 若关于x的一元二次方程qx2-x+1=0有衍生点：
①求实数q的取值范围．
②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值
(3) 已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点G始终在直线y=kx+3（2-k）上，求b,c的值
28.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OA=5，过点A的直线与边BC交于点D，且CD=2，DO平分∠ADC，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，以OC为直径作⊙P.
（1）求直线AD对应的函数表达式；
（2）判断DE与⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，将⊙P沿x轴向右滚动，当⊙P与直线AD相切时，请直接写出圆心P的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】x1=2，x2=-2
10.【答案】2.4
11.【答案】
12.【答案】72
13.【答案】26
14.【答案】4
15.【答案】6
16.【答案】-≤a≤
17.【答案】且m≠0
18.【答案】6
19.【答案】【小题1】根据题意得：2x+y-1=10，即y=11-2x,
代入xy=12得：x（11-2x）=12，
整理得：2x2-11x+12=0，即（2x-3）（x-4）=0，
解得：x=或x=4，
当x=时，y=11-3=8＞6，不符合题意；
当x=4时，y=11-8=3，符合题意，
则AB=4，BC=3
【小题2】根据题意得：2x+y-1＜10，即2x+y＜11，
∵AB，BC为整数，即x,y为整数，且y≤6，xy=12，
∴当y=6时，x=2；y=4时，x=3，
则满足条件的围建方案为：AB=2，BC=6或AB=3，BC=4

20.【答案】【小题1】x2+3x-2=0，
∵a=1，b=3，c=-2，
∴Δ=9-4×1×（-2）=17，
∴x=，
∴x1=，x2=
【小题2】（x-1）2=3x-3，
（x-1）2-3（x-1）=0，
（x-1）（x-1-3）=0，
（x-1）（x-4）=0，
x-1=0或x-4=0，
x1=1，x2=4

21.【答案】证明：连接OD，如图，
∵OC∥BD，
∴∠1=∠3，∠2=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴=，
∴AC=CD．
22.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴Δ=32-4×1×（k-2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范围是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-3，x1x2=k-2，
∵（x1+1）（x2+1）=-1，
∴x1x2+（x1+x2）+1=-1，
∴k-2+（-3）+1=-1，
解得k=3，
即k的值是3．
23.【答案】【小题1】如图所示，∠ACD即为所求；
【小题2】如图所示，点F即为所求：

24.【答案】8
25.【答案】（1）将A（3，-2）代入y=，得k2=-6．
∴y=-，
将（-2，n）代入y=-，求得n=3．
∴k2=-6，n=3；
（2）根据函数图象可知：不等式k1x+b≤的解集为x≥3或-2≤x＜0；
（3）将A（3，-2），B（-2，3）代入y=k1x+b,得k1=-1，b=1，
∴一次函数的关系式为y=-x+1，
与x轴交于点C（1，0），
∴图象沿x轴翻折后，得A′（3，2），
S△A'BC=（3+2）×4-×4×（3-1）=6，
∴△A'BC的面积为6．
26.【答案】连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∴∠OCF=∠DEF，
∵CE⊥DB，
∴∠DEF=90°，
∴∠OCF=90°
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
6
27.【答案】【小题1】
（-2，0）
【小题2】
①根据题意可得：，
解得q且q≠0；
②设关于x的一元二次方程qx2-x+1=0的两个实数根分别为m,m+2，
则m+（m+2）=，m（m+2）=，
∴2m+2=m2+2m,
解得m=，
当m=时，q====，
当m=-时，q===-=-，
综合，q的值为或-
【小题3】
∵y=kx+3（2-k）=k（x-3）+6，
∴直线过定点M（3，6），
∴方程x2+bx+c=0的两个实数根为x1=3，x2=6，
∴x1+x2=-b=3+6=9
x1x2=c=3×6=18，
∴b=-9，c=18

28.【答案】解：（1）∵DO平分∠ADC，则∠ODA=∠ODC，
∵BC∥OA，则∠AOD=∠CDO=∠ODA，
∴AD=OA=5，
则Rt△ADB中，BD=BC-CD=5-2=3，AD=5，
则AB=4=OC，
则圆P的半径为2，
则点D（2，4），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y=-x+；
（2）DE与⊙P的位置关系相切，理由：
过点P作PS⊥AD于点S，
则PS=CD=2=PC=OP，
故DE与⊙P的位置关系相切；
（3）当点P在DA的左侧时，
过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交CD于点G，过点P作x轴的平行线交DA于点T，
由题意得：CD、AD、x轴均与圆P相切，则DG=DN，AN=AH，
设点P（x,2），则CG=2-x=OH，
则AH=5-x=AN，DN=DG=2-x,
则AD=5=AN+DN=5-x+2-x,
解得：x=1，
即点P（1，2）；
当y=2时，y=-x+=2，则x=，
即点T（，2），
则点T为点PP′的中点，
由中点坐标公式得：点P（6，2），
综上，P（1，2）或（6，2）．
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