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2025-2026学年江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A. 2x+1=0 B. x2+2x-3=0 C. x2+y=1 D.
2.⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 无法确定 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 点P在⊙O 内
3.在某次数学测绘中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的众数与中位数分别为（　　）
A. 81，76.5 B. 81，81 C. 81，82 D. 83，77
4.若关于x的一元二次方程mx2-x-1=0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＞- B. m≥- C. m＞-且m≠0 D. m≥-且m≠0
5.《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　）
A. x2+（x-68）2=102 B. x2+（x-6.8）2=12
C. x2+（x+68）2=1002 D. x2+（x-6.8）2=102
6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　）
A. 3
B.
C. 5
D.
7.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 …
y … 0.56 0.25 -0.04 -0.31 -0.56 …
则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是（　　）
A. -2.6＜x1＜-2.5 B. -2.5＜x1＜-2.4 C. -2.4＜x1＜-2.3 D. -2.3＜x1＜-2.2
8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，3），B（-6，0），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA'B'，则△OA′B′的重心坐标是（　　）
A. （6，-1）或（-6，1）
B. （3，-2）或（-3，2）
C. （3，-1）或（-3，1）
D. （6，-2）或（-6，2）
9.如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，且，点E沿BD从点B运动到点D.设点E到边BC的距离为x,EF+EC=y,y随x变化的函数图象如图2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a（a≥0），到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a方内点”.
对于下列四个结论：
①点（1，2）是一次函数y=2x图象的“2方内点”；
②函数图象上存在四个“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则-1＜k＜0；
④当函数的“a方内点”恰有3个时，符合条件的a的值也有3个.
其中正确的序号为（　　）
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.一组数据5、3、-1、4的极差是 .
12.设x1，x2是一元二次方程x2+x-2026=0的两个根，则x1+x2= .
13.已知抛物线y=ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 .
14.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 ．
15.已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，则△ABC外接圆的半径等于 .
16.如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC=45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE.若AB=2，则阴影部分面积为 .
17.如图，A，B是抛物线y=x2上两点，点P为AB的中点，过P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，PQ=3.设A，B两点的横坐标分别为x1，x2（x2＞x1）.则x2-x1的值为 .
18.如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB=4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC.上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得线段∠MPB=45°的点，则线段BM长x的取值范围是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：
(1)
(2) 先化简，再求代数式的值，其中x=2sin60°+tan45°
四、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解方程：
（1）x2-6x+9=0；
（2）2x2-5x+1=0.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是边AB上一点，∠BCD=∠A
(1) 求证：△BDC∽△BCA
(2) 若BC=3，AB=6，求BD的长
22.(本小题10分)
某校进行环保知识测试．测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名男生和20名女生的成绩进行整理，得到了如下所示的统计图和统计表：
统计量 中位数 众数
男生 a 9
女生 8 b
(1) 根据以上图表信息，直接写出表中a,b的值：a= ，b=
(2) 请分别计算被抽查男生与女生的平均成绩
(3) 请选用（1）与（2）中的一个统计量说明该校男生成绩与女生成绩哪个更好？
(4) 被抽查的20名男生成绩的方差为
23.(本小题10分)
有A，B，C三种款式的帽子，E，F，G三种款式的围巾，小慧任意选一顶帽子和一条围巾.
（1）小慧选择A款式帽子的概率是______.
（2）利用画树状图或列表的方法，求出小慧恰好选中A款式帽子和E款式围巾的概率.
24.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E，DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF=CD.
（1）求∠F的度数；
（2）若DE DC=16，求⊙O的半径.
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角
(1) 将线段AD绕点A逆时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，EC，若，试求的值
26.(本小题10分)
学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿AB、CD、EF，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（BD=DF=6米），收集到与投影有关的生活情境；小明和小红分别在不同时间收集到竹竿AB、CD的影子分别为BG、DH，如图1和图2的示意图．请解决下列问题：
(1) 反映平行投影的情形图是 ，反映中心投影的情形图是 ；（填“图1”或“图2”）
【画图操作】
(2) 结合图1中的影子BG、DH画出表示竹竿EF的影子FM；
【解决问题】
(3) 在图1中，学习小组经测量：竹竿AB=3.6米，竹竿CD=2.25米，竹竿EF=1.5米，竹竿AB、CD的影长BG=DH=4米，求竹竿EF的影长
27.(本小题16分)
已知抛物线y=x2+（2m+3）x+1-2m（m为常数）
(1) 若该抛物线与y轴交于点（0，-1）．
①求该抛物线的解析式；
②已知A（x1，y1），B（2，y2）在该抛物线上，若对于2t＜x1＜2t+2，都有y1＞y2，则t的取值范围为
(2) 若对于任意实数x,都有x2+（2m+3）x+1-2m≥3x+2，此时抛物线y=x2+（2m+3）x+1-2m与直线y=9交于M，N两点，求MN的长
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】6
12.【答案】-1
13.【答案】y=2（x+1）2-2（答案不唯一）
14.【答案】3π
15.【答案】5
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】x=或1< x≤
19.【答案】【小题1】原式=
=
【小题2】原式=
=
=，
∵，
∴当时，原式=

20.【答案】x1=x2=3 ，
21.【答案】【小题1】证明：∵∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BDC∽△BCA
【小题2】解：由（1）知：△BDC∽△BCA，且BC=3，AB=6，
∴，即，
解得：

22.【答案】【小题1】
8.5
8
【小题2】
根据平均数的定义可知：
被抽查的男生的平均成绩是：；
被抽查的女生的平均成绩是
【小题3】
男生的成绩较好，理由如下：
男生的成绩的平均数比女生高，中位数，众数都比女生高，
所以男生的成绩较好
【小题4】
1.04

23.【答案】 （2）
24.【答案】67.5°
25.【答案】【小题1】如图，以点C为圆心，CD的长为半径画弧，再以点A为圆心，AD的长为半径画弧，两弧相交于点E，
则点E即为所求．
【小题2】连接DF，
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴．
∵，
∴CE=CD．
由旋转得，AE=AD，
∵AC=AC，
∴△ACE≌△ACD（SSS），
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠DCA，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF．
∵BF⊥AC，
∴sin∠BCF=sin∠ECA=．
设BF=4a,BC=5a,
∵，
∴DF是Rt△BCF斜边上的中线，
∴，
∴，
∴

26.【答案】【小题1】
图2
图1
【小题2】
如图所示，FM即为所作；
【小题3】
如图，记图1的投影中心为O，过点O作ON⊥BM交BM的延长线于点N，
∵AB⊥MN，CD⊥MN，ON⊥BM，
∴CD∥ON，AB∥ON，
∴△CDH∽△ONH，△ABG∽△ONG，
∴，，
∵AB=3.6米，BG=DH=4米，CD=2.25米，BD=6米，
∴，
即3.6（NB+4）=4ON，
，
即2.25（NB+10）=4ON，
则，
解得，
∵ON⊥BM，EF⊥MN，
∴EF∥ON，
∴△EFM∽△ONM，
∴，
∵NB=6米，ON=9米，EF=1.5米，BD=DF=6米，
∴，
即1.5（FM+18）=9FM，
解得FM=3.6，
则竹竿EF的影长为3.6米

27.【答案】【小题1】
或t≥1
【小题2】
∵对于任意实数x,都有x2+（2m+3）x+1-2m≥3x+2，
∴x2+2mx-1-2m≥0对于任意x都成立，
∴Δ=（2m）2-4（-1-2m）≤0，即（m+1）2≤0，
∴m=-1，
∴y=x2+x+3，
令y=9，得x2+x+3=9，解得x1=-3，x2=2，
∴点M、N的横坐标分别为-3和2，
∴MN=2-（-3）=5

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