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2025-2026学年北京十一晋元中学九年级（上）诊断数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（　　）
A. （x+4）2=7 B. （x+4）2=25 C. （x-4）2=7 D. （x-4）2=25
3.若关于x的一元二次方程x2+mx+16=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A. 16 B. 8 C. 8或-8 D. 4或-4
4.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点.若=，则∠D的度数为（　　）
A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°
6.y是x的二次函数，其对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 4 m 0 1 4 9 …
下列叙述不正确的是（　　）
A. 该二次函数的图象的对称轴是直线x=1 B. m=1
C. 当x＞3时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴有两个公共点
7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　）
A. （1+x）2= B. （1+x）2= C. 1+2x= D. 1+2x=
8.对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），定义其图象上点（x,y）的“点值”为t=x+y.已知该抛物线过点（0，2），顶点的“点值”为-4，且与x轴的两交点的“点值”之和为4.对于上述二次函数，下列结论中正确的有（　　）
①b=-4；
②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧；
③其图象上有两个点的“点值”为0；
④存在实数t0，使得函数图象上有且仅有一个点以t0为“点值”.
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x=2，所写方程是______．
10.抛物线y=x2-2x的顶点坐标是 ．
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解为 .
12.如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点.若，则直径AB的长是 .
13.一个扇形原有的面积记为S.
（1）如果圆心角不变，半径扩大到原来的2倍，此时面积为 ；
（2）如果半径不变，弧长变为原来的2倍，此时面积为 .（均用含S的式子表示）
14.如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么点A的坐标是 .
15.已知二次函数的解析式为y=（x-m）（x-1）（1≤m≤2），若函数过（a,b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围 .
16.如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
解方程：3x（x-1）=2x-2．
18.(本小题5分)
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知弧AB，C是弦AB上一点.求作：弦BF=BC.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交弧AB于点D，垂足为E；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交弧AB于点F（F，A两点不重合），连接BF.
（2）完成下面的证明；
引理的结论为：BC=BF.
证明：连接DA，DC，DF，DB.
∵DE为AC的垂直平分线，
∴______= ______，
∴∠DAC=∠DCA，
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，
∴∠DAC+______=180°，（______）（填推理的依据）.
又∵∠DCA+∠DCB=180°，
∴∠DFB=∠DCB，
又∵AD=FD，
∴弧AD=弧FD，
∴∠ABD=∠DBF，（______）（填推理的依据）.
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴BC=BF.
19.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，连接ED.
（1）求证：∠CDE=∠ABD；
（2）若AD=1，CD=3，直接写出线段DE的长.
20.(本小题6分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，，直径BD⊥AC，垂足是E.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AB=3，求DE的长.
21.(本小题5分)
下表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的自变量x和函数值y.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 3 0 0 m 8 …
（1）观察表格，m= ______；
（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；
（3）该二次函数的图象与直线y=n有两个交点A，B，若AB≤6，直接写出n的取值范围.
22.(本小题6分)
已知关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根.
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值.
23.(本小题6分)
2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长.某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：

跑步量达标率x x=100% 90%≤x＜100% x＜90%
班数 7 m n
（1）从这12个班级中任意选取1个班级.
①事件“该班跑步量达标率为100%”是 ______ 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为，则m= ______ ，n= ______ ；
（2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵.老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率.
24.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接EG.若CF=4，BF=2，求EG的长.
25.(本小题5分)
某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：kg）与弹簧伸长长度l（单位：cm）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度lA和lB，数据如下：
所挂物体质量m（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A型弹簧伸长长度lA（cm） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25
B型弹簧伸长长度lB（cm） 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64
通过分析数据发现，可以用函数刻画lA与m,lB与m之间的关系，回答下列问题：
(1) 在给出的平面直角坐标系中，已有lA的函数图象，请补全lB的函数图象
(2) lA与m的关系式为 （0≤m≤10）
(3) 当所挂物体质量为 kg时，A型弹簧伸长长度lA与B型弹簧伸长长度lB的差值最大（精确到个位）
(4) 重新取A、B弹簧各一个，在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为17.5cm,若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量为 kg（精确到个位）
26.(本小题6分)
已知二次函数y=2x2+bx+c,经过点A（0，-1），对称轴为直线x=1
(1) 求二次函数的解析式
(2) 当n≤x≤n+2时，记二次函数y=2x2+bx+c的最大值与最小值之差为t,求t的最小值，并写出此时对应的n.
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α（0°＜α＜45°），M是线段BC上的动点（不与点B，C重合），将线段MC绕点M顺时针旋转2α得到线段MN，连接AN.
（1）连接CN，求∠ACN的大小（用含α的代数式表示）；
（2）过点N作ND⊥AN交BC的延长线于点D，连接AD.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BM与DM的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k.已知圆O的半径为2，
（1）若点M的坐标为（1，1），则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为 ______ ，点M关于圆O的特征值为 ______ ；
（2）直线y=x+b分别与x,y轴交于点A，B，若线段AB上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；
（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r,点S关于圆O的特征值记为s.当点T在x轴正半轴上运动时，若存在点R，S，使得r+s=3，直接写出点T的横坐标t的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】x2-2x=0（答案不唯一）
10.【答案】（1，-1）
11.【答案】x＜-3或x＞5
12.【答案】
13.【答案】4S
2S

14.【答案】（，2）
15.【答案】
16.【答案】①③④
17.【答案】解：3x（x-1）-2（x-1）=0
（x-1）（3x-2）=0
∴x1=1，x2=．
18.【答案】图形如图所示：
连接DA，DC，DF，DB．
∵DE为AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，
∴∠DAC+∠DFB=180°，（圆内接四边形对角互补）．
又∵∠DCA+∠DCB=180°，
∴∠DFB=∠DCB，
又∵AD=FD，
∴弧AD=弧FD，
∴∠ABD=∠DBF，（同弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴BC=BF．
故答案为：AD=DC，∠DFB，圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等
19.【答案】（1）证明：设BC，DE交于F，
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠A=∠ACB=45°，
∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，BD=BE，∠ABD=∠CBE，
∴∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴∠BEF=∠DCF=45°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠CDE=∠ABD；
（2）解：∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，
∴∠BCE=∠A=45°，AD=CE=1，
∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，
∴DE===．
20.【答案】（1）证明：∵，
∴AB=AC，
∵直径BD⊥AC，
∴=，
∴AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：连接OA，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠ABC=60°，
在Rt△ABE中，AB=3，
∴AE=AB cos60°=3×=，
BE=AB sin60°=3×=，
∵BA=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠ABC=30°，
∴∠AOD=2∠ABE=60°，
在Rt△AOE中，AO===，
∴BD=2AO=2，
∴DE=BD-BE=2-=，
∴DE的长为．
21.【答案】3
22.【答案】解：（1）∵关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-2m）2-4（m2-n）=4m2-4m2+4n＞0，
∴n＞0；
（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，
∴n=1，
∴原方程为：x2-2mx+m2-1=0，
设该方程的根是a,3a,
∴a+3a=2m,a 3a=m2-1，
解得a=1，m=2或a=-1，m=-2（不合题意，舍去），
∴m的值为2．
23.【答案】随机，4，1； ．
24.【答案】（1）证明：连接OC、OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE．
∵AB是⊙O的直径，D是的中点，
∴∠DOE=90°，∠OED+∠ODC=90°，
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF为⊙O的切线．
（2）连接OC，AD，过点G作GH⊥AB于H．
设⊙O的半径为r,
∵BF=2，
∴OF=r+2．
在Rt△OCF中，CF=4，
∴42+r2=（r+2）2，
解得r=3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，D是的中点，
∴AD=BD=3．
∵G为BD的中点，
∴BG=BD=，
又∵FE=FC=4，BF=2，
∴BE=FE-BF=4-2=2，
又∵AB是直径，D是的中点，
∴∠ABD=45°，
∵GH⊥AB，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH=GH=BG=，
∴EH=BE-BH=2-=，
在Rt△EGH中，EG===．
25.【答案】【小题1】
根据表格数据补全lB的函数图象，补全lB的函数图象如图所示．
【小题2】
lA=2.5m
【小题3】
7
【小题4】
5

26.【答案】【小题1】∵二次函数y=2x2+bx+c经过点A（0，-1），对称轴为直线x=1，
∴，
∴
∴二次函数的表达式y=2x2-4x-1
【小题2】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴二次函数y=2x2-4x-1的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为（1，-3），
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．
①当n+2≤1时，即n≤-1时，
当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最大值为2n2-4n-1，最小值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，
∴2n2-4n-1-（2n2+4n-1）=t,
∴t=-8n≥8，此时当n=-1时，t取最小值为8；
②当-1＜n≤1时，当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最大值为2n2-4n-1，最小值为-3，或最大值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，最小值为-3，
∴2n2-4n-1-（-3）=t或2n2+4n-1-（-3）=t,
∴t=2（n-1）2或t=2（n+1）2，
∵-1＜n≤1，
∴当t=2（n-1）2时，当n=1时，t取最小值为0；
当t=2（n+1）2时，此时找不到最小值；
③当n＞1时，当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最小值为2n2-4n-1，最大值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，
∴（2n2+4n-1）-（2n2-4n-1）=t,
∴t=8n＞8，故此时找不到最小值．
综上，当n=1时，t取最小值，最小值为0

27.【答案】α；
①见解析；②DM=BM，证明见解析．
28.【答案】解：（1），3；
（2）设点G是⊙O的特征值为4的点，
∴经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条，
∵经过点G的直线被⊙O截得的弦长的最小值为2，
∴，
∴关于⊙O的特征值为4的所有点都在以O为圆心， 为半径的圆周上，
∵直线y=x+b分别与x,y轴交于点A、B，
∴A（-b,0），B（0，b），
∴OA=OB=b,
∴∠OBH=45°，
当b＞0时，线段AB与以O为圆心， 为半径的圆相切时，点G特征值为4，
设切点为为H，连接OH，
则，
∴OB=OH=，
∴b=，
设以O为圆心， 为半径的圆与y轴正半轴的交点记为B1，
则，
当线段AB与以O为圆心， 为半径的圆相交，且过点B1时，可得b=，
∴，
同理可求当b＜0时，，
综上，b的取值范围是；
（3）同一平面内，对于任意一点Q，
点Q关于圆O的特征值不可能为0，
∴r s≠0，
∵r+s=3，且r、s都是整数，
∴或，
当时，经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，
弦长为3（最短弦）的直线有1条，
∴点S一定在以O为圆心，以 为半径的圆上，
同理当时，点R一定在以T为圆心，以 为半径的圆上，
当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心， 为半径的圆有交点，
且同时满足以O为圆心， 为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时的值符合题意，
如图所示，当以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时t=+1；
如图所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心， 为半径的圆内切时，此时；
综上所述，当 时，存在点R，S，使得r+s=3．
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