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2025-2026学年吉林省长春市博硕学校八年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题1分，共8分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根是（　　）
A. . B. .± C. .2 D. 士2
2.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. a2a5=a10 B. （a2）3=a6 C. （3ab）2=3a2b2 D. a6÷a2=a3
4.下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A. ∠A+∠C=∠B B. （b+a）（b-a）=c2
C. a= D. ∠A：∠B：∠C=5：3：2
5.下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 等腰三角形的两底角相等
C. 三个角都相等的三角形是等边三角形
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6.三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，AB=AC，支撑杆BD，CD等长，当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.这里推断∠BAD=∠CAD的理由是（　　）
A. 由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，得△ABD≌△ACD
B. 由AB=AC，AD=AD，BD=CD，得△ABD≌△ACD
C. 由AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，得△ABD≌△ACD
D. 由AB=AC，∠BDA=∠CDA，BD=CD，得△ABD≌△ACD
7.观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（　　）
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④
8.如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，C点对应C′点，AD与BC′的交点为E，以下相关结论不一定成立的是（　　）
A. ∠ADB=∠ADC′
B. ∠EBD=∠EDB
C. AE=EC′
D. ∠ABE=∠EDC′
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.因式分解：4a2-36= ______.
10.小明在纸上写出数学期末考试日期的一组数字“20250105”，则这组数字中出现0的频率是 .
11.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是 ．
12.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 .
13.如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交BC于点D；②分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ，交BC于点E；③连结AD、AE.若∠BAC=110°，则∠DAE的大小为 度.
14.如图，在△ABC中，AC＞BC，AD平分∠BAC交边BC于点D，且AD=AB，延长AD到点E，使得AE=AC，连结EC、EB.给出下面四个结论：
①∠ABD=∠ADB；
②△ABE≌△ADC；
③CD=BD；
④∠CAE=∠CBE.
上述结论中，正确结论的序号有 .
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
15.计算：
（1）；
（2）.
16.计算：
(1) （x-y）（x2+xy+y2）
(2) （6x4-8x3+2x2）÷（-2x2）
四、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x-1）-4x（x+1），其中：x=-2．
18.(本小题9分)
如图，已知∠MON，A、B分别是射线OM，ON上的点.
（1）尺规作图：在∠MON的内部确定一点C，使得BC∥OA且BC=OA（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）中，连接OC，AB交于一点D，求证：OD=CD.
19.(本小题9分)
某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在BC上有一处古建筑，使得BC的长不能直接测出，于是工作人员在BC上取一点D，测得AD=120米，BD=50米后，又测得AB=130米，AC=150米.
（1）求证：∠ADB=90°.
（2）求BC的长.
20.(本小题9分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点.仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.
（1）在图①中，以线段AB为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形ABC（且为锐角三角形）；
（2）在图②中，以线段AB为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形ABD；
（3）在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形AEFG.
21.(本小题9分)
近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度：随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个滑雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1) 参与本次调查的学生人数
(2) 补全条形统计图
(3) 求出扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数
(4) 长春总共有5万名初中生，请你估计喜欢高山滑雪初中学生有多少人？
22.(本小题9分)
如图1，将长为2a,宽为2b的长方形对折后再对折，展开得到如图1所示的图形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图2所示的图形．
(1) 通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为
(2) 根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①若m+n=6，mn=3，求m-n的值；
②将边长分别为x、y的正方形ABCD、正方形CEFG按图3摆放，若xy=12，BG=1，求图3中阴影部分面积的和
23.(本小题9分)
通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC= ______，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______.
A.50
B.62
C.65
D.68
【深入探究】
如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点．
24.(本小题7分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，BC=6，过点A作AD⊥BC于点D.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BD-DA运动到终点A；同时，动点Q从点C出发，以相同的速度沿边CB运动到终点B.连接BP，过点P作PE⊥BP交边AB或CA的延长线于点E，连接BE、PQ.图①、图②分别表示点P在边BD、DA上运动，设点P的运动时间为t秒.
（1）AD的长为______.
（2）如图①，当BC=2PQ时，求t的值.
（3）如图②，求证：△BPQ≌△PEA.
（4）如图②，当点P是边AD的三等分点时，直接写出四边形AEBP的面积.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】4（a+3）（a-3）
10.【答案】
11.【答案】80°或20°
12.【答案】130cm
13.【答案】40
14.【答案】①②④
15.【答案】解：（1）原式=
=
=-1；
（2）原式=
=．
16.【答案】【小题1】（x-y）（x2+xy+y2）
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3+（x2y-x2y）+（xy2-xy2）-y3
=x3-y3
【小题2】（6x4-8x3+2x2）÷（-2x2）
=6x4÷（-2x2）-8x3÷（-2x2）+2x2÷（-2x2）
=-3x2+4x-1

17.【答案】解：原式=x2+4x+4+4x2-1-4x2-4x
=x2+3，
把x=-2代入得：原式=（-2）2+3=4+3=7.
18.【答案】如图所示，线段BC即为所求；
∵ BC∥OA，
∴∠AOD=∠BCD，
又∵∠ADO=∠BDC，
由 得BC=OA，
∴在△AOD与△BCD中，
，
∴△AOD≌△BCD（AAS），
∴OD=CD
19.【答案】（1）证明：∵AD=120米，BD=50米，AB=130米，
∴AB2=16900，AD2+BD2=16900，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°．
（2）解：由（1）知：∠ADB=90°．
在直角△ADC中，
由勾股定理，得AC2=AD2+CD2．
∴CD==50（米），
∴BC=BD+CD=50+90=140（米）．
20.【答案】解：（1）如图①，等腰三角形ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②，等腰直角三角形ABD即为所求（答案不唯一）．
（3）如图③，正方形AEFG即为所求．

21.【答案】【小题1】30÷30%=100（人），
故答案为：100
【小题2】“体验滑雪”的人数为100-30-20-10-5=35（人），
补全条形统计图：
【小题3】扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角度数为
【小题4】估计喜欢高山滑雪初中学生有（人）

22.【答案】【小题1】
（a-b）2=（a+b）2-4ab
【小题2】
①由（1）可知（m-n）2=（m+n）2-4mn,
∵m+n=6，mn=3，
∴（m-n）2=（m+n）2-4mn=62-4×3=36-12=24，
∴m-n=±=±2；
②∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，且边长分别为x和y,
∴AB=BC=CD=DA=x,EC=CG=EF=FG=y,
∵GB=1，即x-y=1，而xy=12，
∴（x+y）2=（x-y）2+4xy=12+4×12=49，
∵x＞y＞0，
∴x+y==7，
∴S阴影=（S大正方形-S小正方形）
=（x2-y2）
=（x+y）（x-y）
=×7×1
=

23.【答案】【模型呈现】DE；
【模型应用】A；
【深入探究】证明：如图3，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，
由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF=DM，
同理：AF=EN，
∴EN=DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD=∠GNE=90°，
在△DMG与△ENG中
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG=EG，
即点G是DE的中点．
24.【答案】3；
t=；
见解析；
6或．
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