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4.4 一次函数的应用
第四章 一次函数
北师大版（2024）
素养目标
1.训练识图能力，通过函数图象获取信息，能用一次函数解决复杂的实际问题；
2.能根据两个一次函数图象分析解决问题.
重点
难点
一次函数与一元一次方程的关系：
(1)一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为 时，相应的 的值就是方程kx+b=0的解；
(2)从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与 轴交点的 坐标，就是方程kx+b=0的解.
0
x
横
自变量
问题　某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y(单位：升)与摩托车行驶路程x(单位：千米)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题：
(1)油箱最多可储油多少升？
提示　根据图象可知，当y=0时，x=500，故一箱油可供摩托车行驶500千米.
提示　根据图象可知，当x=0时，y=10，故油箱最多可储油10升.
(2)一箱油可供摩托车行驶多少千米？
(3)摩托车每行驶100千米消耗多少升油？
提示　设函数表达式为y=kx+b，将(0，10)代
入得b=10，
将(500，0)代入得500k+b=0，
解得k=-
所以函数表达式为y=-x+10(0≤x≤500)，
当x=100时，y=8，
消耗的油为10-8=2(升)，
所以摩托车每行驶100千米消耗2升油.
探究新知
在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0)，由题意得：14.5=b，16=3k+b
解得：b=14.5；k=0.5
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5
当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5(厘米)
故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米
归纳总结
(1)设：设一次函数表达式，如y=kx+b；
(2)代：把已知点或已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，得到关于待定系数的两个方程；
(3)求：解两个方程，求出k，b的值；
(4)写：将k，b值代回写出表达式.
确定一次函数的表达式的步骤
待定系数法.
想一想：l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1，b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2，b2的实际意义各是什么？
新课讲授
解：k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量；
b的实际意义是表示变化的起始值.
如k1=1000表示销售每吨产品可收入1000元，
b2=2000表示未销售时，所花的成本为2000元.
b1=0表示未销售时，销售收入为0.
如k2=500表示销售每吨产品成本为500元，
销售收入
销售成本
y/元
x/吨
例.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶(如图).下图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题：
典例分析
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t/分
s/海里
l1
l2
海岸
公
海
(1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间
的关系？
解：观察图象得，当t＝0时，B距海岸0海里，
即s＝0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.
如图是气象台某天用仪器记录的空中气温t(℃)与距地面高度h(km)之间的函数图象.
①根据图象，求出图中的t关于h的函数表达式；
解　设t关于h的函数表达式为t=kh+b(k，b为常数，且k≠0).
将坐标(0，24)代入t=kh+b，得b=24，
将(4，0)代入t=kh+24，得4k+24=0，
解得k=-6，
所以t关于h的函数表达式为t=-6h+24.
教师示范
问题5：结合例2想一想,一元一次方程与一次函数:有什么联系？一般地,一元一次方程与一次函数有什么联系？与同伴进行交流。
(1)一次函数交点A的坐标是
(5,0)
(2)一元一次解是
我们发现：一次函数与轴交点的横坐标是对应的一元一次方程的解.
教师示范
一般地,一元一次方程与一次函数有什么联系？
(2)一次函数交点A的坐标是
(-2,0)
(1)一元一次解是
我们发现：一元一次方程的解是它对应的一次函数与轴交点的横坐标.
新课讲授
做一做：如图是某一次函数的图象，根据图象填空：
(1)当y=0时，x= ；
(2)这个函数的表达式是 .
2
0
1
3
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
(-2，0)
(0，1)
-2


探究二：一次函数与一元一次方程
新课讲授
议一议：一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？
1.从“数”的方面看，当一次函数
y=0.5x+1的y的值为0时，相应的x的
值即为方程0.5x+1=0的解.
2.从“形”的方面看，函数y=0.5x+1
与x轴交点的横坐标，即为方程
0.5x+1=0的解.
2
0
1
3
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
　　 　(1)关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点
A.(3，0) B.(7，0)
C.(3，7) D.(7，3)
跟踪训练2
√
解析　因为关于x的方程kx+b=3的解为x=7，
所以x=7时，y=kx+b=3，
所以直线y=kx+b的图象一定过点(7，3).
一次函数y=mx+n的图象如图所示，则关于x的方程mx+n-3=0的解是　　　.
解析　由条件可知mx+n=3，
所以mx+n-3=0的解可以看作函数y=mx+n与函数y=3的交点横坐标，
所以关于x的方程mx+n-3=0的解是x=0.
x=0
如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果点A的坐标为(2，0)，且OA=OB，试求一次函数的表达式.
解　因为A(2，0)，OA=OB，所以B(0，-2).
设一次函数的表达式为y=kx-2(k≠0).
又因为一次函数的图象过A点，
所以2k-2=0，解得k=1，
所以一次函数的表达式为y=x-2.
C
已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一
高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
解：令，则 .
.
答：该车的剩余电量占“满电量”的 .
反思总结
1.从图象中获取信息，你有哪些方法？
2.如何借助图象分析预测，并作出相应的决策？
3. 一次函数与一元一次方程有什么关系？

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