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2026年9月份第一次月考常考题型重难点训练卷苏科版2026—2027学年九年级数学上册
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:苏科版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．3 D． 3
3．下列各点，不在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象在一、三象限
B．当时，随增大而减小
C．若在该函数图象上，则
D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有
7．一元二次方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
8．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点坐标为，连接，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．一元二次方程的解为________．
12．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____．
13．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______．
14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支．
15．如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______．
16．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)
(2)（公式法）
18．已知反比例函数y=的图象经过点．
(1)求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的取值范围．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求的值．
20．已知是关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根：
(2)若方程的两个实数根为，，且，求实数a的值．
21．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；
(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．
22．已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
23．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
24．在平面直角坐标系中，点和点（点不与点重合，点在点的下方）都在反比例函数第一象限内的图象上．
(1)延长与轴交于点．
①如图1，如果，，且平分，求的面积；
②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值；
(2)如图3，直线分别与轴、轴交于点、，若，是否存在点，使得？若存在求出的度数；若不存在请说明理由．
参考答案
1．D
【详解】解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴ A错误；
B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴ B错误；
C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴ C错误；
D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴ D正确．
2．B
【详解】∵ 是方程的一个根，
∴ 将代入原方程得，
，
整理得 ，即 ，
解得 ．
3．D
【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且．
A选项：，满足条件，点在图象上．
B选项：，满足条件，点在图象上．
C选项：，满足条件，点在图象上．
D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上．
4．D
【详解】解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x，
由题意，得：．
故选：D．
5．B
【详解】解：∵点，，在的图象上，
∴，，．
∵，
∴，
即．
6．C
【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意；
、当时，随增大而增大，故不符合题意;
、若在该函数图象上，则，故符合题意；
、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意；
故选：.
7．C
【详解】解：∵在一元二次方程中，，，，
∴这个方程根的判别式，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
8．D
【详解】解：∵，，且，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴反比例函数的比例系数，
解得.
9．D
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵轴．
∴四边形是矩形
∴
∵菱形，对角线轴
∴
∵菱形的面积为，
∴
故选：D．
10．A
【详解】解：对于一次函数， 令，得，解得，
∴点的坐标为，
∵点坐标为，
∴，
设点坐标为，
∵，
∴，
即， 整理得，
解得：，，
当时，，此时点与点重合，不合题意，舍去；
当时，，此时点坐标为，在第二象限，符合题意；
∵反比例函数的图象过点，
∴．
11．，
【详解】解：原方程变形得，
，
即，
∴原方程的解为：，，
故答案为，．
12．且
【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且
故答案为：且
13．
【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．
已知一个交点坐标为，因此另一个交点坐标为．
14．8
【详解】解：设参加小组赛的球队有支，
∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛，
∴总比赛场数为，
根据题意，得，
解得，，
∵球队数量为正整数，
∴舍去，
∴，
故参加小组赛的球队有8支．
15．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
解得．
16．或
【详解】解：将代入反比例函数的解析式得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入反比例函数解析式得，
∴，
∴，
∵直线与双曲线交于点和点，
∴由函数图象可得，不等式的解集是或．
17．【详解】（1）解：
，
解得；
（2）解：
化为一般式得，
则，
∴，
∴，
解得．
18．【详解】（1）解：将点代入得，
解得，
∴的值为；
（2）解：由（）得，，
∴反比例函数解析式为，
当时，；
（3）解：当时，；当时，，
∵在每个象限内，随增大而减小，
∴．
19．(1)证明：∵，
∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是
∴，即，
∴．
20．(1)证明：，
故方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
21．【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
（2）解：四边形是矩形，
，
，
解得：，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
不合题意舍去，
．
答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．
22．【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，
所以反比例函数解析式为，
把B（n，﹣4）代入，
得﹣4n=﹣8
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx＋b ＞0的解集为：x＜ 4或0＜x＜2．
23．【详解】（1）解：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为：，
则，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
∴方程为：或；
，
∴，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍去），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得，
综上，n的值为0或3．
24．【详解】（1）在反比例函数的图象上，
，
过点作轴交于，
平分，，
，，，
，
的面积的面积；
设，，
，，
点是线段的中点，
，
，
．
(2)存在点B，使得，理由如下；
过点作轴交于，过点作轴交于点，过点作交于，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∴反比例函数为，
，
∴点A是的中点，
设点，，
，
，
，
把代入中，得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式，
当时，，当时，，
，，
∵，
，，，
，
在中，，
，，
，，，
，
在中，，
在中，，
，
．
，，
是等腰直角三角形且，
．
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