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2026年9月份第一次月考常考题型训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列关于方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知四边形为平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若，则该四边形为矩形
B．若，则该四边形为菱形
C．若，则该四边形为矩形
D．若，则该四边形为正方形
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．如图，在菱形中，对角线，交于点O，是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9
7．若关于的一元二次方程的常数项为0，则这个一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．，
8．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如表是代数式的部分值的情况．
1.1 1.2 1.3 1.4
－0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点是的中点，与交于点，且，下列说法正确的个数是（ ）
①的垂直平分线交于点；
②；
③当时，；
④当为中点时，．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知：、是方程的两根，则_______．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
13．如图，在正方形中，连接，延长至点，使得，连接，则的度数为___________°．
14．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是_______．
15．如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______．
16．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为________．

三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)
(2)
18．为丰富校园艺术节活动，某校筹备文艺展演，准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为
24米）作为一边，用50米隔栏绳作为另三边，设立一个矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），将矩形表演区中的长度用米表示．
(1)的长度可表示为 米，并直接写出的取值范围；
(2)若矩形表演区的面积为320平方米，那么的长度多少米？
19．关于x的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围．
(2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值．
20．如图，已知四边形为菱形，延长到点，使得，过点作，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，用无刻度的直尺作直线直线不与重合）；
(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．
21．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
22．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
23．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究．
定义：对角线相等的四边形是等对四边形．
(1)判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________；
①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形
(2)操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；
(3)推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形．
24.综合实践
【初步探究】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转得到．易证：．

根据以上信息填空：
①________；
②线段，，之间满足的数量关系为________．
【迁移探究】
如图2，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明．
【拓展探索】
如图3，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A C C A B B C
11．
【详解】解：、是方程的两根，
，
，
故答案为：．
12．且
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得，
故答案为：且．
13．22.5
【详解】解：在正方形中，平分，
，
，
，
．
故答案为：22.5．
14．
【详解】设商场4、5两个月销售额的增长率为x，四月份的销售额为， 5月份的销售额为，
则根据题意列方程：
解得：（负数已舍 ）
故答案为：
15．
【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
16．
17．【详解】（1）解：
或
解得，．
（2）
或
解得，．
18．【详解】（1）解：∵的长为x米，
∴的长为（米）．
由题意可得，
解得，
即x的取值范围为．
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
由（1）有，
∴．
答：的长度为16米．
19．【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，，
∴，
解得，．
∵方程有两个实数根，
∴，解得，
∴．
20．(1)解：如图，直线即为所求．
(2)解：如图，矩形即为所求．
21．(1)证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
四边形是矩形，，
，
，
，
四边形是菱形，
．
22．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：，
解得：或舍；
四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）设降价y元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
23．【详解】（1）解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等，
∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形，
故答案为：①③
(2)如图所示，四边形即为所求；
由勾股定理可知：．
(3)证明：如图，连接，，
∵与是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是等对四边形．
得出结论．
24.【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）．
证明如下：如图（2），在上截取，连接．
在和中，
，
，
，，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，，
，
，
由旋转可得，
，，，，
，
，，
．
．
，
．
设，则．
在中，

解得：，
．
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