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2026年9月份第一次月考常考题型综合训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B．
C． D．
2．四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是（　　　）
A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D．AB∥CD，AD∥BC，AO=BO
3．据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知是关于的一元二次方程，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与交于点，添加下列条件后仍不能判定为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
8．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．将一元二次方程化为一般形式后，若常数项为，则一次项的系数为_____．
12．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________.
13．一个非零数的平方的3倍等于这个数的2倍，则这个数是______．
14．如图，四边形是菱形，其中，，则菱形的面积为______．
15．如图，在矩形中，对角线，交于点O，，，P是上一点，且，则的长为__________．
16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．如图，在中，点E、F、G、H分别在边、、、上，，，且平分．求证：四边形是菱形．
19．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形．
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值．
21．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施．
(1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？
(2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
22．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
23．【问题探究】
（1）如图，点是正方形的边上一点，连接，作交的延长线于点，连接．判断与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（2）为了引导学生关注科学，培养学生的创新意识，某校修建了校园科创角，如图2，正方形是校园科创角的平面示意图，是该校园科创角内一条长为的小路，现要从向铺设一条地下水管，在与的交点处修建灌溉水井，要求与小路GH的夹角．已知，求地下水管的长．
24．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接．
(1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　．
(2)【深入思考】请求出的度数．
(3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页（共3页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C D D B C B C
11．
12．11
13．
14．
15．
16．
17．【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
（3）解：，
，，，
，
，
，．
（4）解：，
，
，
，
或．
，．
18．证明：∵四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，，，
，，
．
四边形是平行四边形．
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
19．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形．
20．(1)证明：将原方程整理为一般形式，得，
∴根的判别式，
∵，
∴，
即，
∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得方程的一般形式为，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，且，
∴，
解得，
∴．
21．【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得
，
解得．
答：每台电暖器应降价15元或20元．
(2)不能．理由如下：
设每台电暖器降价元．根据题意，得
，
整理，得．
∵，
∴该方程无实数根．
∴该商场平均每天盈利不能达到2500元．
22．(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
23．（）解：，理由：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（）过点作交于点，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
作交的延长线于点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴地下水管的长为．
24．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得，，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
．
，
，
又，
；
(3)，理由如下：
连接，如图，
在菱形中，，
，．
又∵，
，
，．
，
，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，
∴．

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