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2026年9月份第一次月考常考题型重难点训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．必有实根 B．有两个不相等的实根
C．无实根 D．不能确定根的情况
8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．15
9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ）
A．6 B． C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③存在实数，使得；
④若是方程的一个根，则一定有成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
12．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则___________．
13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为__________．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为_______．
15．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______．
16．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解一元二次方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)（因式分解法）
18．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另三边用木栏围成，木栏长．
(1)鸡场的面积能达到吗？
(2)鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
19．如图，在中，点，分别是边，上的中点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．已知关于的一元二次方程（m为常数）．
(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
(2)若某等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，求的值．
21．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，．
(1)求证：；
(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．
22．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元．
(1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围）
(2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？
(3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
23．已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形．
(1)若正方形边长为6．
①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标．
②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标．
(2)若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求．
24．【问题提出】
如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且．
(1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”）
(2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长；
【问题解决】
如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C A C A B D D
11．且
12．
13．
14．
15．96
16．或或
17．【详解】（1）解：
∴，；
（2）解：
，，
，
则，
∴，；
（3）解：
或
∴，．
18．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，
依题意得：，
整理得：，
，
鸡场的面积能达到，且方程有两个不相等的实数根，
解得．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
当鸡场垂直于墙的一边长为米时，鸡场的面积能达到．
(2)
不能，
根据题意可得，
整理得，
，
鸡场的面积不能达到．
19．(1)证明：四边形是平行四边形，
，，，
在中，点是的中点，
在中，点是的中点，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，交于点，
在中，，，，
由（1）知四边形是菱形，
，，.
是的中点，
是的中位线，
，
，
菱形的面积为．
20．(1)证明：．
，即，
无论取任何实数，方程总有实数根．
（2）解：等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得，
当时，方程为，
解得：，满足条件，
的值为3．
21．(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴的度数为．
22．【详解】（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：由题意得，，
解得，，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元；
(3)解：不能，理由如下：
由题意得，，
整理得，，
∵，
∴原方程无解，
∴不能平均每天盈利元．
23．【详解】（1）①，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
；
②如图2，过点作交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
连接，
，
，
又，
，
，
，，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
；
（2）为的中点，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
连接，，
是的中点，是的中点，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
在中，．
24．【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∵点都落在对角线上，
，，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：如图②，连接．
∵四边形是菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵四边形是菱形，且，
∴，与互相垂直平分，，
∴，是等边三角形，
∴．
∵三点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴是直角三角形，．
∴．
（3）解：如图③，取的中点，连接，
∴．
∵是菱形的对角线，且，
∴，
∴和均为等边三角形，
∴，
∴．
连接，
由（2）可知，是等边三角形，
∴，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上，
设交于点，连接，
∵点在的内部或边上运动，
∴，
∴当点在的边上时，最小，即最小，
∵四边形是菱形，
∴点与点关于对角线对称，
∴此时点与点重合，
即的最小值为的长．
∵是等边三角形，为的中点，，
∴,，
∴．
即的最小值为．
答：增设的灌溉水管的最小值为．
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