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2026年9月份第一次月考综合训练卷苏科版2026—2027学年九年级数学上册（含参考答案）
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围:苏科版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
3．若点，都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
（单位：）
（单位：）
则功率与做功的时间之间的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图，是反比例函数 图像上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点，点在轴上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“”或“”）．
12．直线与双曲线交于、两点，则的值为______．
13．设函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为　　　　　　．
14．已知方程的两根分别为，，则的值为______．
15．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 _______．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程
(1)
(2)
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；
(2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
20．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
21．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案：
(1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少
(2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长．
22．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是．
(1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式；
(2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
23．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）．
(2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值．
(3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
24．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______；
(3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值．
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试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．B
【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意；
B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意；
C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意；
D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意；
故选：B．
2．B
【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3．
故选B．
3．C
【详解】解：在函数中，，
∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∵，
∴点在第三象限，，
∵，
∴点在第一象限，，
∴．
4．A
【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，
∴ ，
解得 ，
上述四个选项中只有，符合条件．
5．A
【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元，
∴7月份产值为 万元，
∴8月份产值为 万元，
∵预计8月份产值为万元，
∴列方程得
6．A
【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系，
∴设函数解析式为（为常数，），
∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系，
∴排除，
将，代入，得，
∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符．
7．A
【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年，
∴2024年研发投入为亿元，
2025年研发投入为亿元，
又∵2025年研发投入为亿元，
∴列方程得.
8．A
【详解】解：，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．B
【详解】解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，，
∴或，
解得，，，
∴方程的解是，，．
故选：B．
10．B
【详解】解：如图，连接、，延长交轴于，则，，
轴，
，
即，
，
，
，
故选：B．
11．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．16
【详解】解：∵、在双曲线上，
∴，且A和B关于原点对称．
∴，，
∴，
故答案为：16．
13．-1
【详解】解：∵函数与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），
∴ab=1，b-a=-1，
∴==，
故答案为： 1.
14．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴．
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
∴
．
15．
16．
【详解】解：如图，
过点作于，过点作，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴，，，
根据反比例函数的几何意义得：，
∴，，，
∴，，
∴，
∵四边形的面积为4，
∴，
∴，解得：，即：，
∴，
∵的图象经过点，
∴，化简得：，解得：，（舍），
∴．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得；
18．(1)
证明：∵，，，
∴，
∵是非负数，
∴．
∴无论m取何实数时，原方程总个实数根；
（2）解：，
解得，，
∵原方程有一个根不小于5，
∴，
∴．
19．【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，，
反比例函数解析式为：，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：在一次函数中，令，则，
，
；
（3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．
20．【详解】（1）将点代入，解得：
，
，
所以反比例函数解析式是：．
（2）将点的横坐标代入，解得：
，
，
所以点不在这个反比例函数的图象上．
21．【详解】（1）解：设的长为，则，
由矩形，得，
整理，得，
解得，
，
舍去；
，
．
（2）解：设长为，则，
由矩形，得，
由题意，得，
整理，得，
解得，
由长度不能为负数，
故舍去，
故，
故的长为．
22．【详解】（1）解：停止加热时，设，
由题意得，
解得：，
当时，，
解得，
∴点B的坐标为；
材料加热时，设，
由题意得，
解得．
∴材料加热时，与的函数关系式为：，
停止加热进行锻造时与的函数关系式为：．
（2）解：把代入中，
得，
．
答：锻造的操作时间为．
23．【详解】（1）解：①是黄金方程，理由：
∵，
∴，
∴
∴，
∴是黄金方程；
②不是黄金方程，理由：
∵
∴
∴，
∴，
故不是黄金方程；
③是黄金方程，
∴，
∴，
∴是黄金方程，
故答案为：①③；
（2）解：∵是关于的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵是此黄金方程的一个根，
∴，即
∴，
解得或；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴的最小值为4．
24．【详解】（1）解：对于①与②，联立得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，即与无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得，
整理，得，
∴，
∴与有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，
∴当时，的取值范围是或；
联立与，得，
，
整理，得，
∵与是“相连函数”，
∴，
解得；
（3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
联立与，得，
，
整理，得，
∵与是“相连函数”，
∴，
∴，即，
∴直线的函数解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
∴，即，
∴．

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