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第1章一元二次方程（单元自测·拔尖卷）苏科版2026—2027学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．若方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．设是方程的两根，且，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
9．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知是方程的一个根，则________．
12．已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为________．
14．若，则的值为___________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
16．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
(1)降价后商场日销售量是________件，每件商品盈利________元（用含的代数式表示）；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
17．解答下列问题
(1)因为，所以1，3，4是一元三次方程的三个根，计算，，的值，它们与一元三次方程的系数有什么关系？
(2)如果一元三次方程有三个实数根，，，那么可以化为．由此你能发现，，与一元三次方程的系数a，b，c，d之间的关系吗？
18．如果2是方程的一个根，求解如下问题：
(1)常数c是多少？
(2)此方程是否有其他根？如果有，求出这个根．
19．已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值．
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)判断方程是否为“伴根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，
①求m的值；
②在①的条件下，若，解关于的方程
参考答案
1．B
【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意；
B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意；
C选项方程为，不是整式方程，不符合题意；
D选项方程为，最高次数为1，不符合题意．
2．B
【详解】解：在中，，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根．
3．B
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，且，
由得，即，
由得，
∴．
4．A
【详解】解：，
移项得，
两边加，得，
即.
5．D
【详解】解：∵ 关于的方程有两个实数根，
∴ ，即，
解得．
6．C
【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为，
∴第二个月新建充电桩个数为，
∴第三个月新建充电桩个数为，
∵第三个月新建个充电桩，
∴可列方程为．
7．A
【详解】解：，
，
则或，
解得，；
当第三边长为时，三边长为，
由，可知不符合构成三角形的三边关系，
不能构成三角形，即此种情况不存在；
当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系，
此时三角形周长为．
8．D
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
9．C
【详解】解：方程的解是使的值为1的．
∵当时，，当时，．
∴方程的一个解的取值范围是．
10．D
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
，，，
．
11．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴将代入原方程，得，
整理得，
解得.
12．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
∵由根与系数的关系可得，，
∴．
13．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
14．5或
【详解】解：设，则原方程可化为，
展开整理得，即，因式分解得，
解得或，
因此的值为或．
15．【详解】（1）解：
或
，；
（2）解：
，；
（3）解：，，，
则，
，
，；
（4）解：
或，
，．
16．【详解】（1）解：由题可得降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元；
（2）解：根据题意，可列方程，
解得，，
为了尽快减少库存，
，
则每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
17．(1)计算结果：，，．
关系：该方程三次项系数为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为；三根之和等于二次项系数与三次项系数比值的相反数，任意两根乘积之和等于一次项系数与三次项系数的比值，三根乘积等于常数项与三次项系数比值的相反数．
（2）解：
．
与各系数对比可得
，，，
，，．
18．【详解】（1）解：∵2是方程的一个根，
∴将代入方程得，
∴；
（2）解：由（1）得方程为，
∴或，
∴此方程有其他根，另一个根为．
19．【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
，
由根与系数的关系得，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
（2）解：菱形周长为，
菱形边长，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
、是方程的两根
，，
，
，
，
，
，
，
∴．
20．【详解】（1）解：，
，
或，
解得，，
∵，
∴方程是“伴根方程”；
（2）解：①∵，
∴或，
∴，，
∵方程（m是常数）是“伴根方程”，
∴，
∴或；
②∵，
∴，
∴关于t的方程为，
∴，
∴．
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