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湘教版数学八年级上册1.1多项式的因式分解专项练习核心考点：因式分解的定义、因式分解与整式乘法的互逆关系、多项式因式判定、基础因式分解初步应用答题要求：规范书写解题步骤，精准区分因式分解与整式乘法变形，最终结果必须为几个整式积的形式，杜绝残留加减运算。一、知识要点梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种多项式的恒等变形叫做因式分解，也叫分解因式。2. 核心辨析：因式分解是整式乘法的逆运算。整式乘法是“整式积→多项式”，因式分解是“多项式→整式积”。3. 判定三要素：变形前后式子值相等；结果为整式乘积形式；针对多项式整体变形，而非局部改写。二、基础巩固选择题（每题5分，共30分）1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A. x +2x = x(x+2) B. x(x+2)=x +2x C. x +2x+1 = x(x+2)+1 D. x -4+3x = (x+2)(x-2)+3x2. 多项式a -1的因式是（）A. a-1 B. a+2 C. a D. a-23. 下列说法正确的是（）A.因式分解是整式乘法的正向变形B.所有多项式都可以分解为整式积的形式C.因式分解结果可以含分式D.变形x -x = x(x -1)是初步因式分解4. 多项式3x -6x的公因式是（）A. 3x B. 3 C. x D. 3x 5. 若多项式x +mx可分解为x(x-4)，则m的值为（）A. 4 B. -4 C. 8 D. -86. 下列变形不属于因式分解的是（）A. 2ab-2ac=2a(b-c) B. x -9=(x+3)(x-3) C. m +4m+4=(m+2) D. x +2x = x (1+2/x)三、填空题（每题6分，共30分）1. 因式分解：x -3x = __________。2. 多项式4a b-6ab 的公因式是__________。3. 若(x+1)是多项式x +kx+1的一个因式，则k=__________。4. 整式乘法(x-2)(x+3)=x +x-6，其逆变形因式分解为__________。5. 多项式2x -8x的因式有__________（写出两个即可）。四、基础解答题（每题10分，共40分）1. 判断下列各式是否为因式分解，说明理由。（1）3x+6=3(x+2) （2）x +5x+6=x(x+5)+62. 对下列多项式进行初步因式分解：（1）5x -10xy （2）-3a +6a3. 已知多项式x -5x+m可分解为(x-2)(x-3)，求m的值。4. 利用因式分解与整式乘法的互逆关系，验证变形：2x -4x=2x(x-2)是否正确。五、参考答案与详细解析选择题解析：1.A其余选项未化成整式积形式，B是整式乘法，C、D残留加减运算；2.A由平方差公式a -1=(a+1)(a-1)可得；3.D因式分解是逆运算，结果必为整式；4.A系数最大公约数3，相同字母最低次幂x；5.B展开x(x-4)=x -4x，对应m=-4；6.D结果含分式，不符合整式要求。填空题答案：1.x(x-3) 2.2ab 3.2 4.x +x-6=(x-2)(x+3) 5.2x、x-4（答案不唯一）解答题解析：1.（1）是，多项式化为整式积，符合定义；（2）不是，结果含加减，未完全分解。2.（1）原式=5x(x-2y)；（2）原式=-3a(a-2)。3.展开(x-2)(x-3)=x -5x+6，故m=6。4.将2x(x-2)展开得2x -4x，与原式相等，变形正确。六、易错点总结本次练习核心易错点集中在三点：一是混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将展开运算当作分解因式；二是分解不彻底，残留加减运算，未化为纯整式积形式；三是忽略因式必须为整式，出现含分式的错误结果。初学需牢记“多项式变积、整式无分式、恒等不变值”三大原则，夯实后续提公因式、公式法分解的基础。（全文共计1231字）湘教版（新教材）数学八年级上册1.1 多项式的因式分解授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第1章 因式分解1.理解因式分解的意义和概念；
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
02
新知导入
回顾：1.单项式与多项式相乘的法则是什么？
2.单项式与多项式相乘的法则是什么？
3.完全平方公式和平方差公式是什么？
单项式与多项式相乘的法则：
单项式与多项式相乘，先用单项式和多项式中的每一项，再把所得的积相加.
m·(a+b+…+p)=ma+mb+…+mp (m,a,b,…,p都是单项式)
(a+b+…+p)·m=am+bm+…+pm (m,a,b,…,p都是单项式)
02
新知导入
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式)
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
02
新知导入
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(ab)2=a22ab+b2
平方差公式
(a+b)(a)=a2b2
03
新知探究
探究一
因式分解的定义
做一做
（1） 因为(x+1)2=__________，所以x2+2x+1=(x+1)(_________)；
（2） 因为x(x)=__________，所以x2x=x(_________).
x2+2x+1
x+1
x2x
x
这两个式子有什么共同点？
都是将一个多项式转化为两个整式的乘积
03
新知探究
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f =gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式. 此时，h 也是 f 的一个因式.
在乘法中，相乘的两个数都叫做积的因数.
动脑筋：将一个多项式转化为两个整式的乘积,这两个整式可以叫做这个多项式的什么？你能给它命名吗？
03
新知探究
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
填空：
例1
因为(x – 2)(x – 3)=______________ ，
所以___________ =(x – 2)(x – 3)是多项式__________的因式分解.
x25x+6
x25x+6
x25x+6
03
新知探究
探究二
因式分解与整式乘法
议一议：多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法.
x2+2x+1 (x+1)2
x2x x(x)
x25x+6 (x – 2)(x – 3)
多项式的因式分解
多项式的乘法
03
新知探究
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。
x2+2x+1=(x+1)2
x2x=x(x)
x25x+6=(x – 2)(x – 3)
左边是多项式
右边是整式的乘积
左边是整式的乘积
右边是多项式
(x+1)2=x2+2x+1
x(x)=x2x
(x – 2)(x – 3)=x25x+6
03
新知探究
下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明
例2
理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
（1） x(x2y)=x22xy；
（2） x22x+1=x(x – 2)+1；
（3） 3x2x=x(3x – )；
（4） xyxy+1=(x – 1)(y – 1).
解：（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法.
（2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
03
新知探究
解：（3）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x – )=3x2x，因而符合因式分解的定义.3x2x的因式为x和(3x – ).
（4）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x – 1)(y – 1)=xyxy+1，因而符合因式分解的定义. xyxy+1的因式 为x – 1和y – 1.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A．
B．
C．
D．
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
能力提升题
1、已知多项式可分解为
方法技巧
整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。
解：(x+2y+m)(2x-y+n)
=2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn
=2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn
根据题意可得
n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6
所以m=-2,n=3
能力提升题
2. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为
( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
所以 a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
所以 b = 9.
因此 a + b = 15.
能力提升题
3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值.
解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4，
所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b).
则 x4 + mx3 + nx﹣16
= x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b.
比较系数得
a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16.
解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20.
所以 mn =﹣5×20 =﹣100．
方法技巧
整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。
4. 通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的
计算式子是( )
D
A.
B.
C.
D.
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5. ［2025衡阳月考］若多项式 有一个因式是
，则这个多项式中 的值是( )
A
A. 3 B. C. 5 D.
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6.［2025常德期末］下列各式中，是整式乘法的是______，
是因式分解的是______.（填序号）
① ；
② ;
③ ；
④ .
①②
③④
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05
课堂小结
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是不同的. 多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积， 而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式.多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。
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