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# 湘教版数学八年级上册1.2.2 提多项式公因式 专项练习（全文约1231字）## 核心考点理解多项式公因式的含义，能识别形如$\((a+b)\)$、$(x-y)$这类整体形式的公因式；掌握把多项式看作一个整体提取公因式的方法；重点掌握符号变形：$a-b=-(b-a)$，$\(a+b=b+a\)$；提取多项式公因式后要检查括号内式子能否继续化简；牢记分解结果必须是整式乘积形式，分解要彻底。答题要求：将相同括号整体当作一个“字母”看待；注意互为相反数的多项式之间的符号转换；提取公因式后不要遗漏括号内的1。## 一、知识梳理1. 多项式公因式：公因式不再是单独单项式，而是一个多项式，如$\((x+2)\)$、$(a-b)$，我们可以把这个多项式看成一个整体，当作公因式提取。2. 符号变形规律（本节重中之重）$\(a+b=b+a\)$（和的形式，交换位置不变号）$a-b=-(b-a)$（差的形式，交换两项位置，整体添负号）3. 提多项式公因式法：若多项式各项含有相同的多项式因式，把这个多项式公因式整体提到括号外面。例：$m\((a+b)\)+n\((a+b)\)=\((a+b)\)(\(m+n\))$4. 易错提醒：当括号内项互为相反数时，先统一符号，再提取公因式；提取公因式后剩下的项如果是1，不能省略；分解完成后检查，不能还有加减运算。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. $x(a-b)+y(a-b)$的公因式是（）A.$x$ B.$y$ C.$a-b$ D.$\(x+y\)$2. 下列变形正确的是（）A.$m-n=n-m$ B.$m-n=-(n-m)$C.$\(m+n\)=-(\(m+n\))$ D.$-m-n=n-m$3. 分解因式$3a(x-2)-2b(x-2)$，结果正确的是（）A.$(x-2)(3a-2b)$ B.$(x-2)(3a+2b)$C.$(3a-2b)\((x+2)\)$ D.$(x-2)(3a)-2b$4. 多项式$2(x-y)^3-(y-x)^2$的公因式是（）A.$x-y$ B.$(x-y)^2$ C.$2(x-y)$ D.$(y-x)^3$5. 对$a(b-2)+(2-b)$因式分解，结果为（）A.$(b-2)(a+1)$ B.$(b-2)(a-1)$C.$(2-b)(a-1)$ D.$(b+2)(a-1)$6. 下列因式分解正确的是（）A.$\(2(x+3)+x(x+3)=(x+3)(2+x)\)$B.$a(x-y)-b(y-x)=(x-y)(a-b)$C.$m(a-b)+n(b-a)=(a-b)(\(m+n\))$D.$x\((a+b)\)-x\((a+b)\)=\((a+b)\)x$## 三、填空题（每题6分，共30分）1. $m(\(x+y\))+n(\(x+y\))=$__________。2. $a(m-2)-b(m-2)$的公因式是__________。3. $5(x-1)-(1-x)=5(x-1)+$__________。4. 因式分解：$3(a-b)^2-6(b-a)=$__________。5. 若$x(\(m+n\))+y(\(m+n\))=(\(m+n\))(\(x+y\))$，这里把____看作整体公因式。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 分解因式：（1）$\(a(x+4)+b(x+4)\)$ （2）$2m(y-3)-n(y-3)$2. 先变形符号，再因式分解：（1）$x(a-b)+y(b-a)$ （2）$4p(m-n)-2q(n-m)$3. 因式分解：$(\(x+y\))^2-2(\(x+y\))$4. 已知长方形周长相关代数式：$(a-2)x+(a-2)y$，将式子因式分解，若$a=5，x=3，y=7$，求式子的值。## 五、参考答案与解析选择题：1.C；2.B；3.A；4.B，$(y-x)^2=(x-y)^2$；5.B，原式$=a(b-2)-(b-2)=(b-2)(a-1)$；6.A。填空题：1.$(\(x+y\))(\(m+n\))$；2.$m-2$；3.$(x-1)$；4.$3(a-b)(a-b+2)$；5.$\(m+n\)$。解答题：1.（1）原式$=(x+4)\((a+b)\)$；（2）原式$=(y-3)(2m-n)$2.（1）原式$=x(a-b)-y(a-b)=(a-b)(x-y)$；（2）原式$=4p(m-n)+2q(m-n)=2(m-n)(2p+q)$3.原式$=(\(x+y\))(\(x+y\)-2)$4.原式$=(a-2)(\(x+y\))$；代入$\(a=5,x=3,y=7\)$，$(5-2)\times(3+7)=3\times10=30$。## 六、易错点总结提多项式公因式，最容易出错的地方集中在符号转换。很多同学分不清$a-b$和$b-a$的关系，平方时$(a-b)^2=(b-a)^2$不用变号，但一次式$a-b=-(b-a)$，交换位置必须添负号。其次，把多项式整体提取后，容易漏掉常数1，例如$2\((a+b)\)-\((a+b)\)$，提取$\((a+b)\)$后剩下$2-1$，结果为$\((a+b)\)(2-1)=a+b$，不能写成$\((a+b)\)\cdot2$。还有部分同学分解完成后，没有检查括号内是否还能继续分解。提多项式公因式是提公因式法的第二课时，承接上一节单项式公因式，核心思想是**整体思想**，把括号当作一个整体，这种思想在后续因式分解、化简求值中会反复使用。做题时先观察有没有相同的多项式括号；如果是互为相反数的括号，优先统一符号，再提取公因式，最后检验结果，保证分解彻底。（全文：1231字）要不要继续写**1.3 公式法（平方差）**同样1231字专项练习？湘教版（新教材）数学八年级上册1.2.2提多项式公因式授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第1章 因式分解1.会找多项式公因式；（重点）
2.能运用提公因式法分解因式.（难点）
下面为你呈现1.2.2提多项式公因式的课件和教案内容，衔接上一课时的提单项式公因式，聚焦多项式公因式的识别、提取步骤及符号处理等核心要点，助力高效教学：
# 1.2.2 提多项式公因式（七年级数学课件+教案）
## 一、幻灯片分页内容
### 第1页：标题页
- 标题：1.2.2 提多项式公因式
- 副标题：——因式分解的进阶方法
- 作者：XXX
- 班级：七年级（X）班
- 日期：XXXX年XX月XX日
### 第2页：学习目标
1. 理解多项式公因式的概念，能区分单项式公因式与多项式公因式。
2. 掌握找多项式公因式的技巧，尤其是互为相反数的多项式因式的转化方法。
3. 熟练运用提多项式公因式法分解因式，提升代数式变形能力。
### 第3页：复习回顾
1. 回顾提单项式公因式步骤：找系数最大公约数→找相同字母最低次幂→提公因式并检验。
2. 分解因式：$6ab^2 - 9a^2b$（答案：$3ab(2b - 3a)$）
3. 思考：多项式$5x(x - 2) - 3(x - 2)$的公因式是什么？引出本节课主题。
### 第4页：情境导入与概念讲解
1. 情境问题：观察$5x(x - 2) - 3(x - 2)$，各项中都含有的公共因式是$(x - 2)$，它不是单项式，而是多项式。
2. 核心概念：当多项式的公因式是一个多项式时，这个公因式叫做**多项式公因式**；将这种公因式提取出来分解因式的方法，就是**提多项式公因式法**。
### 第5页：找多项式公因式的技巧
1. 直接识别：若各项均含相同多项式，直接确定为公因式。例：$(a + b)(m - n) + 2(a + b)$的公因式是$(a + b)$。
2. 符号转化：遇到互为相反数的多项式因式，通过提取负号转化。规律为：$(b - a) = -(a - b)$；$(b - a)^2=(a - b)^2$；$(b - a)^3=-(a - b)^3$（奇次幂变号，偶次幂不变）。
3. 含系数组合：若多项式公因式还搭配数字系数，需结合系数最大公约数确定。例：$3(a - b)^2 + 6(b - a)$，先转化为$3(a - b)^2 - 6(a - b)$，公因式是$3(a - b)$。
### 第6页：例题讲解（基础型）
1. 例1：分解因式$2ac(b + 2c) - (b + 2c)$
- 步骤1：找公因式为$(b + 2c)$；
- 步骤2：提取公因式，注意括号内第二项提取后为1，得$(b + 2c)(2ac - 1)$；
- 步骤3：检验：$(b + 2c)\cdot2ac - (b + 2c)\cdot1 = 2ac(b + 2c) - (b + 2c)$，与原式一致。
2. 例2：分解因式$x(x + y) - (x + y)^2$
- 步骤1：公因式为$(x + y)$；
- 步骤2：提取后得$(x + y)[x - (x + y)]$，化简括号内式子得$(x + y)(-y)$，即$-y(x + y)$；
- 步骤3：检验展开结果与原式一致。
### 第7页：例题讲解（进阶型）
例3：分解因式$-2(x - y)^2 - 4(y - x)^3$
1. 步骤1：转化互为相反数的因式，$(y - x)^3 = -(x - y)^3$，原式变为$-2(x - y)^2 + 4(x - y)^3$；
2. 步骤2：找公因式为$2(x - y)^2$；
3. 步骤3：提取公因式得$2(x - y)^2[-1 + 2(x - y)]$，进一步化简为$2(x - y)^2(2x - 2y - 1)$；
4. 步骤4：展开检验，确保结果正确。
### 第8页：易错点警示
1. 漏写“1”或“-1”：如分解$(x - 3) - x(x - 3)$，易误写为$(x - 3)(-x)$，正确结果是$(x - 3)(1 - x)$。
2. 符号处理错误：转化互为相反数因式时，漏变括号内各项符号。例如将$m(a - b) + n(b - a)$错解为$(a - b)(m + n)$，正确应为$(a - b)(m - n)$。
3. 未提取完整公因式：如$3(a - b)^2 + 6(b - a)$只提取$(a - b)$，忽略系数3，正确公因式是$3(a - b)$。
### 第9页：课堂练习
1. 基础题：分解下列因式
- （1）$(m + n)a + (m + n)b$
- （2）$4x(x - 1) - 3(1 - x)$
2. 提升题：分解因式$5(x - y)^3 + 10(y - x)^2$
### 第10页：课堂小结
1. 核心：把多项式公因式看作一个整体提取，本质与提单项式公因式一致。
2. 关键技巧：互为相反数的多项式因式，奇次幂变号，偶次幂不变。
3. 步骤：转化统一因式→找公因式→提公因式→检验。
### 第11页：布置作业
1. 基础题：分解因式（1）$7(x + 2) - x(x + 2)$；（2）$-3(a - b) + (b - a)^2$
2. 拓展题：分解因式$2a(x^2 + 1)^2 - 2ax^2$
3. 思考题：尝试分解$x(a - 3) + y(3 - a) + z(a - 3)$，总结提公因式法的通用思路。
### 第12页：结束页
- 感谢观看！
- 疑问解答：XXX（教师联系方式）
## 二、配套教案
### 课题
1.2.2 提多项式公因式
### 教学目标
1. 知识与技能：学生能清晰认识多项式公因式，熟练掌握其提取方法，独立完成复杂多项式的因式分解。
2. 过程与方法：通过观察、转化、归纳，培养学生的整体思维和符号运算能力，体会转化思想在因式分解中的应用。
3. 情感态度与价值观：让学生感受数学知识的连贯性，通过解题成功体验，增强学习数学的自信心。
### 教学重难点
1. 重点：提多项式公因式的方法，互为相反数的多项式因式的转化。
2. 难点：转化过程中的符号处理，避免漏提系数和漏写“1”或“-1”的问题。
### 教学准备
多媒体课件、课堂练习单。
### 教学过程
1. **复习导入（5分钟）**
1. 提问学生提单项式公因式的关键步骤，邀请1 - 2名学生回答。
2. 板书复习题$6ab^2 - 9a^2b$，让学生板演分解过程，教师点评。
3. 出示多项式$5x(x - 2) - 3(x - 2)$，引导学生发现公因式是多项式，引出课题。
2. **探究新知（20分钟）**
1. 讲解多项式公因式的概念，结合导入题，让学生初步感知多项式公因式的形式。
2. 聚焦找多项式公因式的技巧，先讲直接识别的简单情况，再重点突破互为相反数因式的转化。通过举例$b - a$与$a - b$的关系，让学生分组讨论不同次数下的符号变化规律。
3. 分层次讲解例题，先讲基础型例1和例2，边讲边板书步骤，强调检验环节；再讲进阶型例3，着重演示符号转化和完整公因式的提取过程，每一步都引导学生思考。
3. **巩固练习（12分钟）**
1. 基础题让学生独立完成，教师巡视，对学困生进行个别指导；提升题鼓励学生小组讨论完成。
2. 挑选典型答题结果展示，纠正易错点，强化学生对知识的理解。
4. **课堂小结（2分钟）**
1. 让学生自主总结本节课的重点内容，分享自己认为最难掌握的部分。
2. 教师补充梳理，再次强调符号转化技巧和易错点，帮助学生构建知识框架。
5. **布置作业（1分钟）**
布置分层作业，确保基础薄弱的学生巩固核心知识，学有余力的学生得到拓展提升。
### 板书设计
```
1.2.2 提多项式公因式
一、概念
多项式公因式：公因式为多项式的形式
二、关键技巧
互为相反数因式转化：
(b - a) = -(a - b)
(b - a) =(a - b)
(b - a) =-(a - b)
三、例题
1. 2ac(b + 2c)-(b + 2c)
= (b + 2c)(2ac - 1)
2. -2(x - y) - 4(y - x)
= -2(x - y) + 4(x - y)
= 2(x - y) (2x - 2y - 1)
四、易错点
1. 漏写1或-1
2. 符号转化错误
3. 未提取完整公因式
```
02
新知导入
把下列多项式因式分解：(1)
你能快速找出它的公因式并把它提出来吗？
解：
(2)
解：
公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式。
03
新知探究
解：(1) =
(2)
=
=
=
做一做 把下列多项式因式分解：
（1）； （2）.
与不一样怎么办？
03
新知探究
视多为一：将多项式或相反多项式看成一个整体，作为公因式进行提取
03
新知探究
把多项式因式分解。
例5
解：
=
=
=
与有什么关系？
03
新知探究
常用的恒等变形
03
新知探究
把多项式因式分解。
例6
分析： =2×， ，所以公因式的系数为.
解：
=
= ()
1. ［2025郴州期末］将 因式分
解，应提取的公因式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 把 因式分解，正
确的结果是( )
B
A. B.
C. D.
3. 已知为有理数，则整式 的值( )
A
A. 不为负数 B. 恒为负数 C. 恒为正数 D. 不等于0
返回
4.母题教材P7例5 因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
03
新知探究
合作交流：将多项式因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？
解：
=
=
化分为整：先提出一个分数因式，将各系数化为正整数
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.把多项式提取公因式后得，括号中内容是（ ）
A． B． C． D．
2.把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B．
C． D．
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.把分解因式，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
新知应用
基础巩固题
1.你能说出下列多项式各项的公因式吗
(1)m(y-x)+n(y-x)　　 　;
(2)-2(m+n)-6(m+n)　　 　;
(3)6(a-b)3-12(b-a)2　　 　.
y-x
-2(m+n)
6(a-b)2
公因式的确定：
1.定系数：找多项式各项系数的最大公因数．
2.定因式：找多项式各项相同的因式．
3.定指数：相同因式的最低的次数.
方法技巧
(4)5a2b(m-n)2+10a3b2(n-m)3　
　 　.
5a2b(m-n)2
新知应用
基础巩固题
D
（a-b）2
它们互为相反数.
它们互为相反数.
ax2+by2作为一个整体是这个多项式的因式
新知应用
基础巩固题
3. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分是（　　）
A．x + 1 B．2x C．x + 2 D．x + 3
D
【注意】：整项提出莫漏 1
4. 若 9a2( x - y )2 - 3a( y - x )3 ＝ M·( 3a ＋ x - y )，则 M 等于___________.
3a( x - y )2
公因式的确定
1.定系数 2.定因式 3.定指数
新知应用
基础巩固题
5. 把下列多项式因式分解：
（1） (2)
(3) (4)
(5) (6)
提公因式法的步骤：
① 找出公因式
② 提取公因式
解：
（1）
=
(2)
=
=
=
新知应用
基础巩固题
(3)
=
=
=
(4)
=
=
(5)
=
=
(6)
=
=
5.已知， ，求
的值.
【解】原式
，
当，时，原式 .
返回
6. 三角形的三边长分别为,,，且 ，
则三角形 是( )
B
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
返回
7. 设 ,
,
,则,, 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.
05
课堂小结
1.一次提净：把各项中相同的因式一次性提出来，分解必须要彻底(分解到不能再分解为止)
2.切勿漏1：提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留
3.注意符号：提取负公因式后，需改变各项符号
4.视多为一：将多项式或相反多项式看成一个整体，作为公因式进行提取
5.化分为整：先提出一个分数因式，将各系数化为正整数
注意事项
谢谢观看
THANKS

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