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# 湘教版数学八年级上册2.1.2 分式的基本性质 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握分式的基本性质；会利用性质对分式进行恒等变形；理解分式的约分\(x=2，y=3\)识别最简分式；掌握分式符号变化法则；注意分子分母同乘（除）的整式不能为0；区分分式变形与等式变形。答题要求：分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式\(x=2，y=3\)分式值不变；约分要彻底\(x=2，y=3\)化为最简分式；处理符号时\(x=2，y=3\)改变分子\(x、y\)分母\(x、y\)分式本身三处符号中的任意两处\(x=2，y=3\)分式的值不变。## 一\(x、y\)知识梳理1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式\(x=2，y=3\)分式的值不变。用字母表示：$\dfrac{f}{g}=\dfrac{f\cdot h}{g\cdot h}$\(x=2，y=3\)$\dfrac{f}{g}=\dfrac{f\div h}{g\div h}$（$h≠0$\(x=2，y=3\)$f\(x、y\)g\(x、y\)h$都是整式）。这里必须强调$h≠0$\(x=2，y=3\)如果$\(h=0\)$\(x=2，y=3\)分母为0\(x=2，y=3\)分式无意义。2. 约分：把分式的分子与分母的公因式约去\(x=2，y=3\)叫做分式的约分。约分的依据就是分式的基本性质。约分一般先对分子\(x、y\)分母因式分解\(x=2，y=3\)再找出公因式约去。3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式\(x=2，y=3\)叫做最简分式。约分最终结果必须化为最简分式或整式。4. 分式符号法则：$\dfrac{f}{g}=\dfrac{-f}{-g}=-\dfrac{f}{-g}=-\dfrac{-f}{g}$。简单记：分子\(x、y\)分母\(x、y\)分式前的负号\(x=2，y=3\)改变任意两处\(x=2，y=3\)分式的值不变。## 二\(x、y\)选择题（每题5分\(x=2，y=3\)共30分）1. 根据分式基本性质\(x=2，y=3\)$\dfrac{a}{b}$可变形为（）A.$\dfrac{a+2}{b+2}$ B.$\dfrac{a-2}{b-2}$ C.$\dfrac{2a}{2b}$ D.$\dfrac{a^2}{b^2}$2. 下列分式属于最简分式的是（）A.$\dfrac{2x}{4y}$ B.$\dfrac{\(x+1\)}{x^2-1}$ C.$\dfrac{x-1}{\(x+1\)}$ D.$\dfrac{x^2}{xy}$3. 将分式$\dfrac{-a}{a-b}$变形\(x=2，y=3\)结果正确的是（）A.$\dfrac{a}{a-b}$ B.$\dfrac{a}{b-a}$ C.$-\dfrac{a}{b-a}$ D.$\dfrac{-a}{b-a}$4. 分式$\dfrac{3xy}{x^2}$约分后的结果是（）A.$3y$ B.$\dfrac{3y}{x}$ C.$\dfrac{y}{x}$ D.$3xy$5. 如果把分式$\dfrac{2x}{x+y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的3倍\(x=2，y=3\)那么分式的值（）A.扩大3倍B.扩大9倍C.不变D.缩小为原来$\dfrac13$6. 下列变形正确的是（）A.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{\(x+1\)}{y+1}$ B.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{mx}{my}$ C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x\div m}{y\div m}(m≠0)$ D.$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x^2}{y^2}$## 三\(x、y\)填空题（每题6分\(x=2，y=3\)共30分）1. $\dfrac{xy}{x^2}=\dfrac{y}{(\quad)}$。2. 分式$\dfrac{2a-2b}{4a+4b}$约分结果为__________。3. $\dfrac{-\(m+n\)}{-m-n}=\dfrac{m-n}{(\quad)}$。4. 分式$\dfrac{x^2-4}{x+2}$约分结果为__________。5. 若$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x(x+2)}{(x-1)(x+2)}$成立\(x=2，y=3\)则$x$应满足__________。## 四\(x、y\)解答题（每题10分\(x=2，y=3\)共40分）1. 利用分式基本性质填空：（1）$\dfrac{3}{ab}=\dfrac{(\quad)}{a^2b}$ （2）$\dfrac{x}{x+y}=\dfrac{x(\quad)}{(x+y)(x-y)}$2. 将下列分式约分为最简分式：（1）$\dfrac{6a^2b}{9ab^2}$　（2）$\dfrac{x^2-2x}{x^2-4x+4}$3. 不改变分式的值\(x=2，y=3\)把下列分式的分子\(x、y\)分母最高次项系数化为正数：（1）$\dfrac{-\(x+1\)}{-x^2-2}$ （2）$\dfrac{2-x}{-x^2+3}$4. 已知分式$\dfrac{x+y}{xy}$\(x=2，y=3\)若$x=2\(x=2，y=3\)y=3$\(x=2，y=3\)分式值为$\dfrac56$；若$x\(x、y\)y$同时扩大为原来2倍\(x=2，y=3\)求新分式的值。## 五\(x、y\)参考答案与解析选择题：1.C；分子分母同乘2\(x=2，y=3\)符合分式基本性质；A\(x、y\)B是分子分母同加\(x=2，y=3\)不成立；D是分别平方\(x=2，y=3\)错误。2.C；A公因式2；B分母因式分解后含$\(x+1\)$；D公因式$x$。3.B；分子提取负号\(x=2，y=3\)分母$a-b=-(b-a)$。4.B；约去公因式$x$。5.C；代入$\(3x,3y\)$\(x=2，y=3\)$\dfrac{6x}{3x+3y}=\dfrac{2x}{x+y}$\(x=2，y=3\)值不变。6.C；缺少$m≠0$条件时B错误。填空题：1.$x$；2.$\dfrac{a-b}{2(a+b)}$；3.$\(m+n\)$；4.$x-2$；5.$x≠-2$。解答题：1.（1）分子分母同乘$a$\(x=2，y=3\)填$3a$；（2）同乘$x-y$\(x=2，y=3\)填$x-y$。2.（1）原式$=\dfrac{3ab\cdot 2a}{3ab\cdot3b}=\dfrac{2a}{3b}$；（2）原式$=\dfrac{x(x-2)}{(x-2)^2}=\dfrac{x}{x-2}$。3.（1）原式$=\dfrac{x-1}{x^2+2}$；（2）原式$=\dfrac{x-2}{x^2-3}$。4.新分式：$\dfrac{2x+2y}{(2x)(2y)}=\dfrac{2(x+y)}{4xy}=\dfrac12\cdot\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{5}{12}$。## 六\(x、y\)易错点总结分式基本性质的易错点集中在五个方面。第一\(x=2，y=3\)混淆“同乘除”和“同加减”\(x=2，y=3\)很多同学误以为分子分母同时加一个数\(x=2，y=3\)分式值不变\(x=2，y=3\)这是最常见错误。分式基本性质只能同乘或者同除\(x=2，y=3\)不能加减。第二\(x=2，y=3\)忽略条件$h≠0$\(x=2，y=3\)在变形题目中\(x=2，y=3\)默认字母可以取任意数\(x=2，y=3\)忘记限制使得乘式不为0。第三\(x=2，y=3\)约分前不对分子分母因式分解\(x=2，y=3\)无法正确找到公因式；约分没有约干净\(x=2，y=3\)结果不是最简分式。第四\(x=2，y=3\)符号变形混乱\(x=2，y=3\)分不清分子\(x、y\)分母\(x、y\)分式本身三处符号的变化规则\(x=2，y=3\)一次性改动三处符号\(x=2，y=3\)导致分式符号出错。第五\(x=2，y=3\)字母扩大倍数题型\(x=2，y=3\)直接认为分式值一定不变。只有分子分母每一项都为一次齐次式时\(x=2，y=3\)值才不变\(x=2，y=3\)若分子分母次数不一致\(x=2，y=3\)分式值会改变。本节是分式运算的基础\(x=2，y=3\)后续分式乘除\(x、y\)通分都依靠分式基本性质。做题时\(x=2，y=3\)先看清题目要求\(x=2，y=3\)约分先因式分解；恒等变形要检验附加条件；符号变化牢记“改两处\(x=2，y=3\)值不变”。做完后可以代入数值验算\(x=2，y=3\)检验变形前后分式的值是否相等。（全文：1231字）继续下一节 **2.2分式的乘除法**\(x=2，y=3\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册2.1.2分式的基本性质授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章 分式1. 理解并掌握分式的基本性质；（重点）
2. 会运用分式的基本性质进行分式的约分.（难点）
# 2.1.2 分式的基本性质（七年级数学课件+教案）
## 一、幻灯片分页内容（可直接复制制作PPT）
### 第1页：标题页
- 标题：2.1.2 分式的基本性质
- 副标题：——分式变形的核心依据
- 作者：XXX（教师姓名）
- 班级：七年级（X）班
- 日期：XXXX年XX月XX日
### 第2页：学习目标
1. 理解分式的基本性质，能准确表述性质的内容
2. 掌握利用分式基本性质进行分式变形（约分、通分）的方法
3. 能灵活运用分式基本性质解决字母取值、分式化简等问题
4. 体会类比思想（分数→分式）和转化思想在数学中的应用
### 第3页：复习回顾
1. 分数的基本性质：分数的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变。用式子表示为：$\frac{a}{b} = \frac{a×c}{b×c} = \frac{a÷c}{b÷c}$（$c ≠ 0$）
2. 分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母且$B ≠ 0$）的式子叫做分式
3. 思考：分数有基本性质，分式是否也有类似的性质？（引出课题）
### 第4页：情境导入与性质推导
1. 观察下列分数的变形，思考依据是什么？
- $\frac{2}{3} = \frac{2×4}{3×4} = \frac{8}{12}$
- $\frac{12}{18} = \frac{12÷6}{18÷6} = \frac{2}{3}$（依据：分数的基本性质）
2. 类比迁移：分式$\frac{a}{b}$（$b ≠ 0$），若分子分母同乘一个不为0的整式$c$，分式的值是否改变？
- 举例：$\frac{1}{x} = \frac{1×2}{x×2} = \frac{2}{2x}$（$x ≠ 0$，$2 ≠ 0$）
- $\frac{2a}{3b} = \frac{2a÷a}{3b÷a} = \frac{2}{3b/a}$（$a ≠ 0$，$b ≠ 0$）
3. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：
$\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C}$，$\frac{A}{B} = \frac{A÷C}{B÷C}$（其中$A$、$B$、$C$是整式，且$B ≠ 0$，$C ≠ 0$）
4. 关键词：同乘（或除以）、不等于0的整式、值不变
### 第5页：性质解读与注意事项
1. 核心条件：$C ≠ 0$（整式$C$不能为0，否则分母会变为0，分式无意义）
2. 变形对象：分子和分母同时变形，不能只变分子或只变分母
3. 变形依据：保持分式的值不变（仅形式改变，本质不变）
4. 拓展：$C$可以是单项式（如$2x$）、多项式（如$x + 1$），但需保证$C ≠ 0$
5. 反例警示：
- 错误：$\frac{x}{y} = \frac{x×0}{y×0}$（$C = 0$，无意义）
- 错误：$\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)×2}$（只变分母，值改变）
### 第6页：利用分式基本性质进行约分（重点）
#### 1. 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分
#### 2. 约分的步骤：
1. 找公因式：找出分子与分母的公因式（系数的最大公约数+相同字母的最低次幂+相同多项式的最低次幂）
2. 去公因式：分子与分母同时除以公因式，得到最简分式
#### 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终目标）
#### 4. 例题1：约分 $\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$
- 步骤1：找公因式：系数12和18的最大公约数是6；相同字母$a$（最低次幂$a^1$）、$b$（最低次幂$b^2$）；公因式为$6ab^2$
- 步骤2：约分：$\frac{12a^2b^3 ÷ 6ab^2}{18ab^2 ÷ 6ab^2} = \frac{2ab}{3}$
- 结果：$\frac{2ab}{3}$（最简分式）
#### 例题2：约分 $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$
- 步骤1：因式分解：分子$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$；分母$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
- 步骤2：找公因式：$(x + 2)$
- 步骤3：约分：$\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}$（分子分母同时除以$(x + 2)$，$x ≠ -2$）
### 第7页：利用分式基本性质进行通分（重点）
#### 1. 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分
#### 2. 通分的关键：确定几个分式的最简公分母
#### 3. 最简公分母的确定方法：
1. 取各分母系数的最小公倍数
2. 取各分母所有字母（或多项式）的最高次幂
3. 组合：将最小公倍数与最高次幂相乘，即为最简公分母
#### 4. 例题3：通分 $\frac{1}{2x^2y}$ 和 $\frac{3}{4xy^2}$
- 步骤1：找最简公分母：系数2和4的最小公倍数是4；字母$x$（最高次幂$x^2$）、$y$（最高次幂$y^2$）；最简公分母为$4x^2y^2$
- 步骤2：通分：
- $\frac{1}{2x^2y} = \frac{1×2y}{2x^2y×2y} = \frac{2y}{4x^2y^2}$
- $\frac{3}{4xy^2} = \frac{3×x}{4xy^2×x} = \frac{3x}{4x^2y^2}$
#### 例题4：通分 $\frac{2}{x - 1}$ 和 $\frac{3}{x + 2}$
- 步骤1：找最简公分母：分母为多项式$(x - 1)$和$(x + 2)$，无公因式，最简公分母为$(x - 1)(x + 2)$
- 步骤2：通分：
- $\frac{2}{x - 1} = \frac{2(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2x + 4}{x^2 + x - 2}$
- $\frac{3}{x + 2} = \frac{3(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3x - 3}{x^2 + x - 2}$
### 第8页：综合例题讲解
例5：先约分，再通分 $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$ 和 $\frac{x + 3}{x - 3}$
- 步骤1：对第一个分式约分：
- 分子$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$；分母$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
- 约分后：$\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}$
- 步骤2：通分：两个分式约分后为同一个分式，最简公分母为$(x - 3)$，通分结果均为$\frac{x + 3}{x - 3}$
例6：已知分式$\frac{2x - 4}{x^2 - 4}$，（1）约分；（2）当$x$为何值时，约分后的分式有意义？
- 解：（1）约分：$\frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2}{x + 2}$（$x ≠ 2$）
- （2）约分后的分式$\frac{2}{x + 2}$有意义的条件：$x + 2 ≠ 0$ → $x ≠ -2$
- 注意：原分式有意义的条件是$x ≠ ±2$，约分后需结合原分式的取值限制
### 第9页：易错点警示
1. 忽略$C ≠ 0$的条件：如$\frac{x}{x + 1} = \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$，未注明$x ≠ 1$
2. 约分不彻底：如$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x + 2)}$，未约去$(x + 2)$，应化为$\frac{x - 2}{x}$
3. 最简公分母确定错误：如通分$\frac{1}{x^2 - 1}$和$\frac{1}{x - 1}$，误将最简公分母定为$x - 1$，正确应为$(x + 1)(x - 1)$
4. 约分后忽略原分式的取值限制：如例6中，约分后分式有意义的条件是$x ≠ -2$，但原分式中$x ≠ 2$，需同时满足
### 第10页：课堂练习（分层）
#### 基础题（必做）
1. 填空：
- $\frac{a}{b} = \frac{()}{bc}$（$c ≠ 0$）→ 答案：$ac$
- $\frac{x^2 + xy}{x^2} = \frac{x + y}{()}$ → 答案：$x$
2. 约分：
- （1）$\frac{15xy^2}{25x^2y}$ → 答案：$\frac{3y}{5x}$
- （2）$\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$ → 答案：$\frac{x + 4}{x - 4}$
3. 通分：
- （1）$\frac{1}{3x}$ 和 $\frac{1}{6x^2}$ → 答案：$\frac{2x}{6x^2}$，$\frac{1}{6x^2}$
- （2）$\frac{3}{x - 2}$ 和 $\frac{2}{2 - x}$ → 答案：$\frac{3}{x - 2}$，$\frac{-2}{x - 2}$（提示：$2 - x = -(x - 2)$）
#### 提升题（选做）
1. 约分：$\frac{(x - y)^3}{(y - x)^2}$ → 答案：$x - y$（提示：$(y - x)^2 = (x - y)^2$）
2. 通分：$\frac{1}{x^2 - 4}$ 和 $\frac{x}{x^2 - 4x + 4}$ → 答案：$\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)^2}$，$\frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)^2}$
3. 已知$\frac{a}{b} = 2$，求$\frac{a^2 + ab}{b^2}$的值（提示：利用分式基本性质变形，答案：6）
### 第11页：课堂小结
1. 核心性质：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变）
2. 两大应用：
- 约分：找公因式→约去→化为最简分式（分子分母无公因式）
- 通分：找最简公分母→同乘变形→化为同分母分式
3. 关键技巧：
- 约分前先因式分解（分子分母为多项式时）
- 最简公分母：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂
4. 数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（异分母→同分母）
### 第12页：布置作业
1. 基础题：课本习题2.1 第4、5、6题
2. 提升题：
- （1）约分：$\frac{2x^2y - 4xy^2}{x^2 - 4xy + 4y^2}$ → 答案：$\frac{2xy}{x - 2y}$
- （2）通分：$\frac{x}{x^2 - 9}$ 和 $\frac{1}{x^2 + 6x + 9}$ → 答案：$\frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)^2}$，$\frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)^2}$
3. 思考题：若$\frac{x}{y} = 3$，求$\frac{x^2 + 2xy - 3y^2}{x^2 - xy + y^2}$的值（提示：分子分母同时除以$y^2$，答案：$\frac{12}{7}$）
### 第13页：结束页
- 感谢观看！
- 疑问解答：XXX（教师联系方式）
## 二、配套教案（详细教学过程）
### 课题：2.1.2 分式的基本性质
### 教学目标：
1. 知识与技能：理解分式的基本性质，掌握分式约分、通分的定义和方法，能熟练进行分式的约分和通分，能解决与分式变形相关的综合问题
2. 过程与方法：通过类比分数的基本性质，探究分式的基本性质，培养学生的类比推理能力；通过约分、通分的练习，提升学生的因式分解能力和代数式变形能力
3. 情感态度与价值观：感受数学知识的内在联系，体会类比思想的实用性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的思维习惯和主动探究的意识
### 教学重难点：
- 重点：分式的基本性质，分式的约分和通分方法
- 难点：最简公分母的确定（尤其是分母为多项式的情况），约分后分式有意义的条件限制
### 教学准备：
- 多媒体课件（上述幻灯片内容）
- 课堂练习单（打印分层练习题）
- 预习任务单（提前让学生复习分数的基本性质和因式分解）
### 教学过程：
#### 一、复习导入（5分钟）
1. 回顾旧知：
- 提问1：同学们，我们学过分数的基本性质，谁能说说它的内容？用式子怎么表示？（学生口答，教师板书分数的基本性质）
- 提问2：什么是分式？分式有意义的条件是什么？（学生回答，巩固分式的定义和有意义的条件）
2. 类比引入：
- 教师：分数有基本性质，能进行约分、通分等变形，分式作为分数的“代数推广”，是否也有类似的性质？今天我们就来学习分式的基本性质（板书课题）
#### 二、探究新知（20分钟）
### （一）分式的基本性质推导与解读（7分钟）
1. 推导性质：
- 出示课件第4页的分数变形例子，引导学生回忆分数基本性质的核心：“同乘/除以不为0的数，值不变”
- 类比迁移：将分数中的“数”换成“整式”，引导学生猜想分式的基本性质
- 教师板书分式的基本性质，强调式子表示中的条件：$B ≠ 0$，$C ≠ 0$（整式$C$不能为0）
2. 性质解读：
- 出示课件第5页的注意事项，逐一讲解：
- 关键条件$C ≠ 0$：举例说明若$C = 0$，分式会无意义
- 变形要求：分子分母同时变形，不能单独变形
- 变形本质：值不变，仅形式改变
- 让学生判断反例的错误之处，强化对性质的理解
### （二）分式的约分（6分钟）
1. 定义与步骤：
- 教师：类比分数的约分，给出分式约分的定义：约去分子分母的公因式，化为最简分式
- 板书约分步骤：找公因式→约去公因式→得到最简分式
- 强调：分子分母为多项式时，需先因式分解，再找公因式
2. 例题讲解：
- 出示例题1（$\frac{12a^2b^3}{18ab^2}$）：教师板书完整步骤，重点讲解公因式的寻找方法（系数最大公约数+相同字母最低次幂）
- 出示例题2（$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$）：先引导学生因式分解分子分母，再找公因式$(x + 2)$，最后约分，强调最简分式的特征（分子分母无公因式）
- 学生模仿练习：约分$\frac{9x^2y}{15xy^3}$（指名板演，教师纠错）
### （三）分式的通分（7分钟）
1. 定义与关键：
- 给出通分的定义：将异分母分式化为同分母且与原分式相等的分式
- 强调通分的关键：确定最简公分母（类比分数的最小公倍数）
2. 最简公分母的确定方法：
- 板书确定步骤：系数最小公倍数+字母/多项式最高次幂→组合
- 分情况讲解：
- 分母为单项式（如例题3）：直接按步骤确定
- 分母为多项式（如例题4）：先因式分解，再取各因式的最高次幂
3. 例题讲解：
- 出示例题3（$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$）：教师板书最简公分母的确定过程和通分步骤
- 出示例题4（$\frac{2}{x - 1}$和$\frac{3}{x + 2}$）：重点讲解分母为互异多项式时，最简公分母为它们的乘积，通分时分子需相应乘对方的分母
- 学生模仿练习：通分$\frac{1}{x}$和$\frac{1}{x + 1}$（指名板演，教师点评）
#### 三、巩固练习（12分钟）
1. 基础题练习（8分钟）：
- 出示课堂练习单上的基础题，让学生独立完成，教师巡视，重点关注：
- 约分题中多项式的因式分解是否正确
- 通分题中最简公分母的确定是否准确（尤其是第3题中$2 - x$与$x - 2$的关系）
- 集体订正：针对易错题目（如通分$\frac{3}{x - 2}$和$\frac{2}{2 - x}$）进行详细讲解，强调符号转化
2. 提升题练习（4分钟）：
- 让学有余力的学生尝试完成提升题，鼓励小组合作讨论
- 指名分享解题思路（如第1题中$(y - x)^2$与$(x - y)^2$的关系，第3题中利用分式基本性质将分子分母同时除以$b^2$），教师补充讲解，拓展学生思维
#### 四、课堂小结（2分钟）
1. 学生自主总结：
- 提问：今天我们学习了分式的什么性质？它有哪些应用？约分和通分的关键是什么？（让学生自由发言）
2. 教师梳理升华：
- 核心内容：分式的基本性质（同乘/除以不为0的整式，值不变）
- 两大应用：约分（化为最简分式）、通分（化为同分母分式）
- 关键技巧：因式分解是约分和通分的基础，最简公分母的确定是通分的核心
- 注意事项：变形时需保证$C ≠ 0$，约分后需考虑原分式的取值限制
- 数学思想：类比思想（分数→分式）、转化思想（多项式→因式分解→单项式）
#### 五、布置作业（1分钟）
1. 基础题：课本习题2.1第4、5、6题（巩固约分和通分的基本方法）
2. 提升题：约分和通分的综合题（强化因式分解与分式变形的结合）
3. 思考题：分式求值问题（引导学生利用分式基本性质进行整体代换，为后续分式的运算做铺垫）
### 板书设计：
```
2.1.2 分式的基本性质
一、分式的基本性质
$\frac{A}{B} = \frac{A×C}{B×C} = \frac{A÷C}{B÷C}$（$B ≠ 0$，$C ≠ 0$）
- 核心：同乘/除以不为0的整式，值不变
二、约分
1. 定义：约去分子分母的公因式→最简分式
2. 步骤：因式分解→找公因式→约去
例1：$\frac{12a^2b^3}{18ab^2} = \frac{2ab}{3}$
例2：$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} = \frac{x - 2}{x + 2}$
三、通分
1. 定义：异分母→同分母（值不变）
2. 关键：找最简公分母（系数最小公倍数+最高次幂）
例3：$\frac{1}{2x^2y}$和$\frac{3}{4xy^2}$→最简公分母$4x^2y^2$
例4：$\frac{2}{x - 1}$和$\frac{3}{x + 2}$→最简公分母$(x - 1)(x + 2)$
四、易错点
1. 忽略$C ≠ 0$
2. 约分不彻底、通分公分母错误
3. 忽略原分式的取值限制
```
02
新知导入
分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.
(,且为数字)
02
新知导入
小长方形的面积为2a,长为a,它的宽为多少
大长方形的面积为4a,长为2a,它的宽为多少
小长方形的宽：
大长方形的宽：
03
新知探究
分子和分母同时乘2
分子和分母同时除以2
你能类比分数的基本性质归纳出分式的基本性质吗？
03
新知探究
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，所得分式与原分式相等.
(,且为整式)
03
新知探究
下列关于分式的等式是否成立？为什么？
（1） （2） .
解：（1） 分式的分子与分母都除以，根据分式的基本性质得，
即 .
03
新知探究
下列关于分式的等式是否成立？为什么？
（1） （2） .
解：（2） 分式的分子与分母都乘，根据分式的基本性质得，
即 .
03
新知探究
利用分式的基本性质填空，并说明理由.
分子除以x
分母除以x
解：由于， ，于是，由分式的基本性质得.
1. 下列各式中最简分式是( )
D
A. B.
C. D.
2. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. ［2025长沙开福区月考］如果把分式中的， 都扩大
为原来的10倍，那么分式的值( )
B
A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的
C. 不变 D. 扩大为原来的10倍
【点拨】把分式中的和 都扩大为原来的10倍后可得
.所以分式的值缩小为原来的 .
返回
03
新知探究
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.
如果一个分数的分子与分母没有公因数，那么称这个分数是最简分数.
分式
公因式
分式
最简分式
03
新知探究
把下列分式化成最简分式：
例3
； .
解： (1) .
(2) .
03
新知探究
合作交流：你能归纳出确定分子、分母的公因式的方法吗？
分子、分母 分子、分母的公因式
单项式 1.系数取各系数的最大公约数;2.相同字母取字母的最低次幂
多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式
03
新知探究
当x=23，y=17时，求分式的值.
例4
解：
将中的x，y分别用23，17代入，则分式的值为
.
因此，当x=23，y=17时，分式的值为.
直接将 x，y 的值代入原分式，算一算，哪个简便？
03
新知探究
当x=23，y=17时，求分式的值.
例4
解：当x=23，y=17时，
=
.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列分式中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
2.小明把分式中的、的值都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大4倍
B
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列分式是最简分式是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
新知应用
基础巩固题
1.下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A. = B. = - C. = D. =
2.下列各分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
D
A
判断分式是不是最简分式，就是看分子与分母有没有公因式，而且遇多项式先要因式分解，再看有没有公因式。
新知应用
基础巩固题
3.要使分式与的值相等，则x满足什么条件
x 。
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以它们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等.
新知应用
基础巩固题
4、利用分式的基本性质填空。
（1） （2）
（3） （4）
观察：看分子如何变化，想分母如何变化.
乘－１
乘－１
乘2xy
乘2xy
乘(x-1)
乘(x-1)
除以（x+1）
除以（x+1）
新知应用
基础巩固题
5、 把下列分式化成最简分式。
（1） (2)
（3）（4）
（5）
约分：
（1）根据：
分式的基本性质
（2）前提：
找出分子与分母的公因式： ①系数②字母③次数
分子、分母是多项式时：先分解因式：①提公因式；②公式法，
再约分。
新知应用
基础巩固题
5.解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
新知应用
基础巩固题
6、 当x=41，y=13时，求分式 的值。
解：
当x=41，y=13时
原式
4.如果成立，则 的取值范围是______.
5.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号：
（1） ______;
（2） ____;
（3） ____;
（4） ____.
返回
6.不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数
化为整数，其结果为_ _______.
返回
7.母题教材P28例4 当，时，求分式 的值.
【解】原式
，
当，时，原式 .
返回
8. 请从下列三个代数式中任选两个
（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该
分式，然后请你自选一个合理的数代入求值.
，， .
【解】把作为分子， 作为分母，可得
，当时，原式 .
（答案不唯一）
返回
05
课堂小结
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
(,且为数字)
05
课堂小结
把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.
分子、分母 分子、分母的公因式
单项式 1.系数取各系数的最大公约数;2.相同字母取字母的最低次幂
多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式
确定公因式的方法
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