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# 湘教版数学八年级上册2.4.2 零次幂和负整数指数幂 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握零次幂、负整数指数幂的定义；能进行零次幂、负整数指数幂的化简与计算；会把负整数指数幂转化为正整数指数幂的倒数形式；能用科学记数法表示绝对值小于1的小数；牢记底数不能为0的限制条件；熟练进行含零次幂、负整数指数幂的混合运算。答题要求：$a^0=1(a≠0)$；$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0，p为正整数)$；负指数幂不是负数，是底数正指数幂的倒数；科学记数法表示小数时，$1≤|a|<10$，指数为负整数。## 一、知识梳理1. 零次幂：任何不等于0的数的零次幂都等于1，即$\boldsymbol{a^0=1(a≠0)}$。当$\(\(a=\)0\)$时，$0^0$无意义。2. 负整数指数幂：任何不等于0的数的$-p$（$p$是正整数）次幂，等于这个数的$p$次幂的倒数。公式：$\boldsymbol{a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)}$。特别注意：负号只代表倒数，不代表结果是负数。3. 科学记数法：绝对值小于1的小数可以写成$a\times10^{-n}$（$\(1≤a<10\)$，$n$为正整数），$n$等于原数左边起第一个不为0的数字前面所有0的个数。4. 运算顺序：混合运算中，先算零次幂、负整数指数幂，再算乘除，最后加减；同级运算从左向右。5. 重要提醒：零次幂与负整数指数幂成立的前提都是底数不为0；底数为分数时，负指数等于分子分母颠倒后正指数运算，$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-p}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^p$。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. $(-2026)^0$的值是（）A.$-2026$ B.$0$ C.$1$ D.$2026$2. $3^{-2}$等于（）A.$-6$ B.$-\dfrac{1}{9}$ C.$\dfrac{1}{9}$ D.$-9$3. 若$(x+4)^0=1$，则$x$的取值范围是（）A.$x=-4$ B.$x≠-4$ C.$x>-4$ D.$x<-4$4. 将$0.\(0^0\)\(0^0\)52$用科学记数法表示正确的是（）A.$5.2\times10^{-5}$ B.$52\times10^{-6}$ C.$5.2\times10^{5}$ D.$0.52\times10^{-4}$5. 下列计算正确的是（）A.$(-1)^{-1}=1$ B.$2^{-2}=-4$C.$\left(\dfrac13\right)^{-1}=3$ D.$a^0=1$6. 计算$2^2+(-3)^0-4^{-1}$结果为（）A.$4$ B.$\dfrac{19}{4}$ C.$5$ D.$\dfrac{21}{4}$## 三、填空题（每题6分，共30分）1.$\left(-\dfrac12\right)^{-2}=$__________。2.$(\sqrt{3}-1)^0=$__________。3.$5^{-3}=$__________。4.$0.\(0^0\)\(0^0\)0108=$__________（科学记数法）。5.若$a^{-3}=\dfrac18$，则$\(a=\)$__________。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 直接计算零次幂与负整数指数幂：（1）$(-5)^0+\left(\dfrac14\right)^{-1}$ （2）$10^{-3}+(-2)^{-2}$2. 分数底数的负指数幂运算：（1）$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$ （2）$\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{-3}$3. 混合运算：$(-2)^2-(3-\pi)^0+\left(\dfrac13\right)^{-1}$4. 应用题：一粒灰尘直径约$0.\(0^0\)\(0^0\)\(0^0\)72$米，用科学记数法表示；再求$1\(0^0\)$粒这样灰尘并排的总长度。## 五、参考答案与解析选择题：1.C；非零数零次幂等于1；2.C；$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac19$；3.B；底数不能等于0；4.A；$0.\(0^0\)\(0^0\)52=5.2\times10^{-5}$；5.C；A等于$-1$；B等于$\dfrac14$；D缺少$a≠0$；6.B；原式$=4+1-\dfrac14=\dfrac{19}{4}$。填空题：1.$4$；2.$1$；3.$\dfrac{1}{125}$；4.$1.08\times10^{-6}$；5.$2$。解答题：1.（1）原式$\(=1+4=5\)$；（2）原式$=\dfrac{1}{1\(0^0\)0}+\dfrac14=\dfrac{251}{1\(0^0\)0}$。2.（1）原式$=\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac94$；（2）原式$=(-5)^3=-125$。3.原式$=4-1+3=6$。4.$0.\(0^0\)\(0^0\)\(0^0\)72=7.2\times10^{-7}$米；总长度$=7.2\times10^{-7}\times1\(0^0\)=7.2\times10^{-5}$米。## 六、易错点总结零次幂和负整数指数幂有四类高频错误。第一，误解负整数指数幂含义，直接把负指数当作负数，例如$3^{-2}$错误算成$-9$。负指数代表倒数，和正负符号无关。第二，忽略零次幂底数不为0的前提，看到$a^0$直接写1，不讨论底数，遇到$(x+4)^0$不排除$x=-4$。第三，分数底数负指数幂运算出错，不会颠倒分子分母，$\left(\dfrac23\right)^{-2}$错误写成$\dfrac{4}{9}$。第四，绝对值小于1的数用科学记数法时，负指数数错0的个数，或者$a$不在$\(1≤a<10\)$范围内。本节是幂运算的拓展，把指数范围从正整数扩大到全体整数，同时连接幂运算与分式，也是中考科学记数法必考题型。做题固定流程：先判断底数是否为0；零次幂非零底数结果为1；负整数指数幂转化为正指数幂的倒数；分数负指数幂颠倒分子分母；混合运算先算幂，再算加减；科学记数法规范书写。计算后可以还原验算，检验倒数和指数是否出错。掌握本节，幂的全部运算规则就完整了。（全文：1231字）下一节：**2.5 分式方程**，同样1231字专项练习，需要吗？湘教版（新教材）数学八年级上册2.4.2 零次幂和负整数指数幂授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章 分式同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即
问题 同底数幂的除法法则是什么？
若 m≤n，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
= am－n
下面是适配人教版八年级数学的2.4.2零次幂和负整数指数幂的教学课件及教学过程设计，涵盖定义推导、例题练习等核心内容，助力学生完善幂的运算知识体系：
# 2.4.2 零次幂和负整数指数幂（初中数学八年级）
## 一、教学课件（幻灯片分页内容）
### 第1页：封面
- 标题：2.4.2 零次幂和负整数指数幂
- 副标题：八年级数学（人教版）
- 授课教师：XXX
- 日期：XXXX年XX月XX日
### 第2页：学习目标
1. 理解零次幂和负整数指数幂的定义及推导依据，明确适用条件。
2. 熟练运用零次幂和负整数指数幂的运算法则进行各类运算。
3. 掌握整数指数幂的统一运算性质，能解决混合运算问题。
4. 体会数学知识的拓展性，培养从特殊到一般的推理能力。
### 第3页：复习回顾
1. 同底数幂除法法则：$a^m÷a^n = a^{m - n}$（$a≠0$，$m$、$n$为正整数，且$m > n$）
2. 举例计算：$2^5÷2^3 = 2^{2}=4$，$a^4÷a^2 = a^2$（$a≠0$）
3. 提出疑问：当$m = n$时，如$2^3÷2^3$；当$m < n$时，如$2^3÷2^5$，该如何计算？原有法则已不适用，需拓展幂的概念。
### 第4页：新知探究1——零次幂
1. 推导过程：当$m = n$时，根据同底数幂除法法则，$a^m÷a^m = a^{m - m}=a^0$；从除法意义来看，非零数除以自身结果为1，即$a^m÷a^m = 1$（$a≠0$）。
2. 定义归纳：任何不等于0的数的0次幂都等于1，符号表示：$a^0 = 1$（$a≠0$）。
3. 关键提醒：$0^0$无意义，因为0不能作为除数。
### 第5页：例题讲解1——零次幂运算
例1：计算下列各式或求取值范围
（1）$(-5)^0$ 解：$∵ -5≠0$，$∴ (-5)^0 = 1$
（2）$(2x - 3)^0$ 解：需满足$2x - 3≠0$，即$x≠\frac{3}{2}$，此时$(2x - 3)^0 = 1$
（3）$3^0 + (-0.1)^0$ 解：$3^0 = 1$，$(-0.1)^0 = 1$，原式$=1 + 1 = 2$
### 第6页：新知探究2——负整数指数幂
1. 推导过程：以$2^3÷2^5$为例，从分式约分角度：$2^3÷2^5 = \frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2}$；若忽略$m > n$的条件，用同底数幂除法法则计算：$2^3÷2^5 = 2^{3 - 5}=2^{-2}$。
2. 定义归纳：任何不等于0的数的$-n$（$n$为正整数）次幂，等于这个数的$n$次幂的倒数，符号表示：$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）。
3. 等价形式：也可表示为$a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$（$a≠0$，$n$为正整数）。
### 第7页：例题讲解2——负整数指数幂运算
例2：计算下列各式
（1）$2^{-3}$ 解：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
（2）$(-\frac{1}{3})^{-2}$ 解：$(-\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{1}{-\frac{1}{3}})^2 = (-3)^2 = 9$
（3）$(2a)^{-2}$（$a≠0$） 解：$(2a)^{-2} = \frac{1}{(2a)^2} = \frac{1}{4a^2}$
### 第8页：整数指数幂的统一运算性质
引入零次幂和负整数指数幂后，指数范围拓展到全体整数，原有的幂运算性质仍成立，统一为：
1. $a^m·a^n = a^{m + n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
2. $(a^m)^n = a^{mn}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
3. $(ab)^n = a^n b^n$（$a≠0$，$b≠0$，$n$为整数）
### 第9页：例题讲解3——混合运算
例3：计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）
（1）$a^2·a^{-3}$（$a≠0$） 解：$a^2·a^{-3}=a^{2 + (-3)}=a^{-1} = \frac{1}{a}$
（2）$(x^{-2})^3$（$x≠0$） 解：$(x^{-2})^3 = x^{-2×3}=x^{-6} = \frac{1}{x^6}$
（3）$(2ab^{-1})^2$（$a≠0$，$b≠0$） 解：$(2ab^{-1})^2 = 2^2a^2(b^{-1})^2 = 4a^2b^{-2} = \frac{4a^2}{b^2}$
### 第10页：课堂练习（分层）
1. 基础题（必做）
（1）$(-3.14)^0$ （2）$3^{-2}$ （3）$(x - 1)^0$（求$x$取值范围）
（4）$a^5·a^{-3}$（$a≠0$） （5）$(xy^{-2})^3$（$x≠0$，$y≠0$）
2. 提高题（选做）
（1）$2^0 + 3^{-1} - 2^{-2}$ （2）$(a^{-2}b)^2÷a^{-3}b$（$a≠0$，$b≠0$）
### 第11页：练习答案与解析
1. 基础题答案
（1）1（$-3.14≠0$） （2）$\frac{1}{9}$ （3）$x≠1$
（4）$a^{2}$ （5）$\frac{x^3}{y^6}$
2. 提高题答案
（1）$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{13}{12}$ （2）$a^{-4}b^2÷a^{-3}b = a^{-1}b = \frac{b}{a}$
### 第12页：易错点警示
1. 忽略底数不为0的条件，如误将$0^0$计算为1。
2. 负整数指数幂运算时符号错误，如$(-2)^{-1}$误算为2。
3. 混合运算中混淆幂的运算性质，如$(a^{-2})^3$误算为$a^{-5}$。
4. 结果未化为正整数指数幂形式，不符合常规书写要求。
### 第13页：课堂小结
1. 核心定义：$a^0 = 1$（$a≠0$）；$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）。
2. 运算关键：整数指数幂运算性质统一适用，运算时注意符号和底数取值。
3. 数学思想：通过拓展正整数指数幂的运算，体现从特殊到一般的数学思想。
### 第14页：布置作业
1. 课本对应习题中零次幂和负整数指数幂相关题目。
2. 补充作业
（1）$(-\frac{1}{2})^{-3}$ （2）$(3a^0b^{-2})×2a^{-1}b$（$a≠0$，$b≠0$）
3. 拓展思考：如何用10的负整数指数幂表示0.00001？预习科学记数法。
### 第15页：结束页
- 感谢聆听！
- 疑问解答
## 二、教学过程（详细课堂流程）
### （一）导入新课（5分钟）
1. 教师提问同底数幂除法法则及适用条件，邀请学生回答并板书示例。
2. 抛出课前准备的两个特殊算式$2^3÷2^3$和$2^3÷2^5$，引导学生发现原有法则无法解决。
3. 引出课题：这就需要我们学习新的知识——零次幂和负整数指数幂，从而完善幂的运算体系。
### （二）探究新知（18分钟）
1. 推导零次幂定义：先让学生自主计算$a^m÷a^m$（$a≠0$），从除法意义和原有法则两个角度得出结果。随后师生共同归纳零次幂定义，着重强调$0^0$无意义，通过举例$5^0$、$(2a)^0$（$a≠0$）加深理解。
2. 推导负整数指数幂定义：以$a^3÷a^5$（$a≠0$）为例子，先让学生用分式约分得出结果，再尝试用同底数幂除法法则计算指数为负数的情况。对比两个结果，归纳负整数指数幂的定义，通过$3^{-2}$、$(-\frac{1}{2})^{-4}$等例子巩固转换方法。
3. 梳理整数指数幂运算性质：带领学生验证原有幂的运算性质对零指数幂和负整数指数幂是否适用，如$a^2·a^{-3}$既可用新定义计算，也可用同底数幂乘法法则计算，最终结果一致，从而确定性质的统一性。
### （三）例题讲解与巩固（12分钟）
1. 基础例题讲解时，让学生口述解题思路，教师板书关键步骤，重点纠正零次幂中底数取值判断、负整数指数幂的倒数转换等易错点。
2. 混合运算例题讲解时，强调运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右。每一步运算都要求学生说明依据的法则，如$(2ab^{-1})^2$需说明运用积的乘方和幂的乘方性质。
3. 安排5分钟让学生独立完成基础题，教师巡视，对学困生进行个别指导，之后选取典型解答和错误进行集中点评。
### （四）课堂小结（2分钟）
1. 请2 - 3名学生总结本节课的核心知识点，包括两个定义和运算性质。
2. 教师补充强调：零次幂和负整数指数幂是对幂运算的重要拓展，解题时务必牢记底数不为0的核心条件，运算结果优先化为正整数指数幂形式。
### （五）布置作业（3分钟）
1. 明确必做题和选做题的要求，必做题侧重基础巩固，选做题侧重能力提升。
2. 提醒学生完成作业时标注每一步的运算依据，养成严谨的解题习惯。
3. 引导学生带着拓展思考问题预习后续科学记数法的内容。
02
新知导入
计算：(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
解： (1) ;
(2) ;
(3);
(4) .
02
新知导入
同底数幂的除法法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减.
思考：当时，同底数幂的除法怎么计算呢？该法则还适用吗？
03
新知探究
探究一
零次幂
动脑筋：根据分式的基本性质计算(,m是正整数)
分子、分母同时乘1
分子、分母同时除以
03
新知探究
如果把推广到 的情形，那么就会有
03
新知探究
零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1.
1.底数不为0
2.指数为0
3.结果等于1
计算：(1) ;
(2) ;
(3) .
1
1
1
03
新知探究
探究二
负整数指数幂
如果把推广到 的情形，那么就会有
03
新知探究
负整数指数幂：任何非零实数的(n为是正整数)次幂都等于这个数的n次幂的倒数.
由于,
因此.
计算：
.
03
新知探究
()
同底数幂的除法法则：
零次幂
负整数指数幂
同底数幂的除法法则：
03
新知探究
计算：（1）； （2） .
例3
解：（1） .
（2） .
1. 计算 的结果是( )
C
A. B. C. 16 D.
2. 下列计算结果正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术
不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某
种电子元件大约占.将 用科学记
数法表示应为( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 若有意义，则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. 且 D. 或
5. 若，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
03
新知探究
把下列各式写成分式的形式：（1）； （2） .
例4
解：（1） .
（2）.
在化简、计算中，结果不能含有负整数指数幂,如果出现负整数指数幂，一定要化成对应的正整数指数幂.
03
新知探究
探究三
用科学记数法表示一些绝对值较小的数
做一做：先填空，并将结果与同学交流.
（1）;
（2）_____________==.
0.0036
03
新知探究
用科学记数法表示一些绝对值较小的数：
利用10的负整数指数幂，可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|< 10.
1.的确定：将原数的小数点移动到第一个非零数字的右边
2.的确定：小数点向右移动几位，10的指数就是负几。
03
新知探究
近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心
例5
解：0. 000 000 000 34 = 3. 4×0. 000 000 000 1 = 3. 4×，
用科学记数法表示这个长度为3. 4×m.
技术实现突破. 比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚 1 nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为 0. 000 000 000 34 m，请用科学记数法表示这个长度（单位：m）.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若，那么m的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．12
2.冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.若，，则点A与点B在数轴上的位置（　　）
A．相同
B．都在数轴原点右侧，且点A距离原点远
C．都在数轴原点左侧，且点B距离原点远
D．在数轴原点两侧，且与原点距离相等
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知，则满足条件的所有x的值为 ．
5. .
6.若，则 ．
16
新知应用
基础巩固题
3.计算 的结果是( ) .
A. B.2 C.3 D.
C
1.计算 的结果是( ) .
B
A.0 B.1 C. D.
2.计算 的结果是( ) .
D
A. B. C. D.9
a0＝1(a≠0)
一个非零数的负整数指数幂等于这个数的倒数的正整数指数幂
新知应用
基础巩固题
6.已知 ，则 ____.

解：因为 ，所以 .故 .
5.当y　≠－1　时，(y＋1)－3＝.
≠－1　
4．若a＝-22，b＝2-2，，，则（　　）
A．a＜b＜d＜c B．a＜b＜c＜d
C．b＜a＜d＜c D．a＜c＜b＜d
A
底数不能等于零
新知应用
基础巩固题
8.中国科学院自主研制的科学仪器"STED超分辨光学显微镜"的空间分辨率达到0.000 000 02 m，请用科学记数法表示该光学显微镜的空间分辨率（单位：m).
7. 用小数表示5.6x10-4.
5.6前面4个零
解 5.6 × 10-4 =0.00056 .
新知应用
基础巩固题
9. 计算：
（1） （2）（3）（4）
解： （1） 1.
（2） .
（3） .
（4） .
方法总结：关键是理解零次幂和负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
6. 2024年6月4日7时38分，备受瞩目的嫦
娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，
并顺利进入预定的环月轨道.这一壮举是世界航天历史上的又
一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞.返回器在接
近大气层时，飞行大约需要 .数据
表示的原数为____________.
返回
7.［2025娄底期末］已知,, ,
,则,,, 的大小关系为______________.
（用“ ”号连接起来）
返回
8.计算：
（1）［2025常德月考］ ；
【解】 .
（2）［2025郴州月考］
.
.
返回
05
课堂小结
零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1.
负整数指数幂：任何非零实数的(n为是正整数)次幂都等于这个数的n次幂的倒数.
用科学记数法表示一些绝对值较小的数：
利用10的负整数指数幂，可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成的形式，其中n是正整数，1≤|a|< 10.
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