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# 湘教版数学八年级上册2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法 专项练习（全文1231字）## 核心考点理解分式方程的定义；掌握可化为一元一次方程的分式方程的解题步骤；明白解分式方程必须检验的原因，分清增根概念；会找最简公分母去分母，把分式方程转化为整式方程；能根据增根求参数的值；区分分式方程与整式方程。答题要求：分式方程解题流程：去分母化为整式方程→解整式方程→检验；检验要代入最简公分母，公分母≠0，才是原方程根；公分母=0，则为增根，原方程无解。## 一、知识梳理1. 分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。整式方程：分母不含未知数。2. 解法核心：去分母，将分式方程转化为一元一次整式方程求解。3. 解题步骤：① 找各分母最简公分母；② 方程两边同乘最简公分母，消去分母，化为整式方程；③ 解一元一次整式方程；④ **检验（必不可少）**：把整式方程的根代入最简公分母。若最简公分母不等于0，是原分式方程的根；若等于0，该根是增根，原分式方程无解。4. 增根：去分母过程中，方程两边同乘一个可能等于0的代数式，产生的不适合原分式方程的根，叫做增根。增根不是原分式方程的根。5. 重要提醒：去分母时，方程里不含分母的常数项也要乘最简公分母，极易漏乘；增根一定让最简公分母等于0，但让公分母为0的值不一定是整式方程的解。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. 下列方程属于分式方程的是（）A.$\(2x+1=0\)$ B.$\dfrac1\(x=2\)$ C.$x^2=1$ D.$\(2x+y=3\)$2. 解分式方程$\dfrac{1}{x-1}=2$，去分母后得到的整式方程是（）A.$1=2(x-1)$ B.$1=2x-1$ C.$\(1=2(x+1)\)$ D.$x-1=2$3. 分式方程$\dfrac{2}{x-2}=\dfrac1x$的最简公分母是（）A.$x$ B.$x-2$ C.$x(x-2)$ D.$2x(x-2)$4. 解方程$\dfrac{x}{x-3}-2=\dfrac{3}{x-3}$，得到的解$\(x=3\)$，则（）A.$\(x=3\)$是原方程的根B.$\(x=3\)$是增根，原方程无解C.原方程根为$\(x=0\)$ D.原方程根为$\(x=1\)$5. 解方程$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac4x$，正确的解是（）A.$\(x=1\)$ B.$\(x=4\)$ C.$\(x=3\)$ D.$x=-4$6. 关于分式方程增根说法正确的是（）A.增根是方程的根B.增根产生是移项错误造成C.增根会使最简公分母等于0D.增根一定是负数## 三、填空题（每题6分，共30分）1. 方程$\dfrac{2}{x}=\dfrac{1}{3}$的解是__________。2. 解方程$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2}{2-x}$，最简公分母为__________。3. 若分式方程$\dfrac{x}{x-4}=2+\dfrac{a}{x-4}$有增根，则增根是__________。4. 方程$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac1x$的解为__________。5. 去分母解方程$\dfrac{x}{x-1}+1=\dfrac{2}{x-1}$，整式方程为__________。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 解分式方程：（1）$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+3}$ （2）$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x}$2. 含常数项，去分母注意不漏乘：（1）$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$3. 已知分式方程$\dfrac{x-3}{x-2}=\dfrac{m}{2-x}$有增根，求$m$的值。4. 解方程$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{6}{x^2-1}$。## 五、参考答案与解析选择题：1.B；分母含有未知数$x$；2.A；两边同乘$(x-1)$；3.C；两个分母$x$、$x-2$；4.B；$\(x=3\)$代入公分母$x-3=0$，是增根，原方程无解；5.B；交叉相乘$3\(x=4\)(x-1)$，解得$\(x=4\)$；6.C；增根定义。填空题：1.$\(x=6\)$；2.$x-2$；3.$\(x=4\)$；4.$\(x=1\)$；5.$x+(x-1)=2$。解答题：1.（1）两边同乘$\(x(x+3)\)$，$\(x+3=2x\)$，解得$\(x=3\)$。检验：$\(x=3\)$时$\(x(x+3)\)≠0$，故$\(x=3\)$是方程的解。（2）两边同乘$x(x-1)$，$2\(x=3\)(x-1)$，$2\(x=3\)x-3$，解得$\(x=3\)$。检验：$\(x=3\)$时分母不为0，解为$\(x=3\)$。2.（1）两边同乘$(x-1)(x+2)$，$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$，化简：$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$，$\(x+2=3\)$，$\(x=1\)$。检验：$\(x=1\)$时，最简公分母为0，$\(x=1\)$是增根，原方程无解。3.方程增根满足$x-2=0$，$\(x=2\)$；原方程变形：$x-3=-m$；把$\(x=2\)$代入，$2-3=-m$，得$\(m=1\)$。4.最简公分母$(x+1)(x-1)$，两边同乘公分母：$2(x-1)+3(x+1)=6$；$2x-2+3x+3=6$；$\(5x=5\)$；$\(x=1\)$。检验：$\(x=1\)$时公分母等于0，$\(x=1\)$是增根，原方程无解。## 六、易错点总结解分式方程有四类高频错误。第一，去分母时，整式项（不含分母的项）忘记乘以最简公分母。例如$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$，$-1$这一项漏乘公分母，是最常见丢分点。第二，忘记检验，直接把整式方程解当作分式方程答案。分式方程检验是必写步骤，不检验会扣分，出现增根时直接写根会完全错误。第三，找增根求参数题目，分不清增根是使公分母等于0的值，不是直接代入原方程。第四，符号出错，分母互为相反数如$x-2$和$2-x$，去分母时符号处理错误。分式方程是本章重点难点，也是中考必考题型。解题固定流程：确认分式方程；找最简公分母；方程每一项都乘公分母；解整式方程；代入最简公分母检验；判断是根还是增根，写出结论。做完检验步骤后，确认分母不为0才算完成。掌握分式方程解法后，接下来可以学习分式方程的实际应用。（全文：1231字）下一节：**2.5.2 分式方程的应用**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册2.5.1 可化为一元一次方程的分式方程的解法授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章 分式1. 理解分式方程的概念；
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
（重点）
3. 掌握检验分式方程的解的方法.（难点）
# 2.4.3 整数指数幂的基本性质（初中数学八年级）
## 一、教学课件（幻灯片分页内容）
### 第1页：封面
- 标题：2.4.3 整数指数幂的基本性质
- 副标题：八年级数学（人教版）
- 授课教师：XXX
- 日期：XXXX年XX月XX日
### 第2页：学习目标
1. 掌握整数指数幂（正整数、零、负整数指数幂）的全部基本性质，理解性质的适用范围拓展过程。
2. 能熟练运用整数指数幂的性质进行各类运算（乘除、乘方、混合运算），并规范化简结果。
3. 体会数学知识的连贯性和拓展性，培养类比推理、归纳总结的数学能力。
4. 解决与整数指数幂相关的简单实际问题，提升运算应用能力。
### 第3页：复习回顾
1. 已学幂的定义：
- 正整数指数幂：$a^n = \underbrace{a·a·…·a}_{n个}$（$n$为正整数）
- 零指数幂：$a^0 = 1$（$a≠0$）
- 负整数指数幂：$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数）
2. 正整数指数幂的性质（$a≠0$，$b≠0$，$m$、$n$为正整数）：
- 同底数幂相乘：$a^m·a^n = a^{m+n}$
- 同底数幂相除：$a^m÷a^n = a^{m-n}$（$m > n$）
- 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
- 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
- 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
3. 提问：当指数拓展到零和负整数时，这些性质是否仍然成立？如何统一应用？
### 第4页：性质拓展1——同底数幂的乘法（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
1. 验证过程（分情况讨论）：
- 情况1：$m$、$n$为正整数（已知成立），如$2^3·2^2 = 2^{5}$
- 情况2：$m = 0$，$n$为正整数：$a^0·a^n = 1·a^n = a^n = a^{0+n}$，成立（例：$3^0·3^2 = 1·9 = 9 = 3^{0+2}$）
- 情况3：$m$为负整数，$n$为正整数：设$m = -p$（$p$为正整数），则$a^{-p}·a^n = \frac{1}{a^p}·a^n = a^{n-p} = a^{-p+n} = a^{m+n}$，成立（例：$2^{-3}·2^5 = \frac{1}{8}·32 = 4 = 2^{-3+5}$）
- 情况4：$m$、$n$为负整数：设$m = -p$，$n = -q$（$p$、$q$为正整数），则$a^{-p}·a^{-q} = \frac{1}{a^p}·\frac{1}{a^q} = \frac{1}{a^{p+q}} = a^{-(p+q)} = a^{-p+(-q)} = a^{m+n}$，成立（例：$3^{-2}·3^{-1} = \frac{1}{9}·\frac{1}{3} = \frac{1}{27} = 3^{-2+(-1)}$）
2. 性质归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，符号表示：$a^m·a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
### 第5页：性质拓展2——同底数幂的除法（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
1. 验证过程：
- 利用负整数指数幂定义推导：$a^m÷a^n = a^m·a^{-n} = a^{m+(-n)} = a^{m-n}$，成立（例：$2^3÷2^5 = 2^3·2^{-5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$；$5^{-2}÷5^{-3} = 5^{-2}·5^{3} = 5^{-2+3} = 5^1 = 5$）
2. 性质归纳：同底数幂相除，底数不变，指数相减，符号表示：$a^m÷a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
3. 说明：此性质可统一到“同底数幂相乘”性质中（除法转化为乘法），无需单独记忆
### 第6页：性质拓展3——幂的乘方（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
1. 验证过程：
- 例1（$n$为负整数）：$(a^2)^{-3} = a^{2×(-3)} = a^{-6}$，用定义验证：$(a^2)^{-3} = \frac{1}{(a^2)^3} = \frac{1}{a^6} = a^{-6}$，成立
- 例2（$m$为负整数）：$(a^{-3})^2 = a^{-3×2} = a^{-6}$，用定义验证：$(a^{-3})^2 = (\frac{1}{a^3})^2 = \frac{1}{a^6} = a^{-6}$，成立
- 例3（$m$、$n$为负整数）：$(a^{-2})^{-4} = a^{-2×(-4)} = a^8$，用定义验证：$(a^{-2})^{-4} = \frac{1}{(a^{-2})^4} = \frac{1}{a^{-8}} = a^8$，成立
2. 性质归纳：幂的乘方，底数不变，指数相乘，符号表示：$(a^m)^n = a^{mn}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）
### 第7页：性质拓展4——积的乘方（$a≠0$，$b≠0$，$n$为整数）
1. 验证过程：
- 例1（$n$为负整数）：$(ab)^{-2} = a^{-2}b^{-2}$，用定义验证：$(ab)^{-2} = \frac{1}{(ab)^2} = \frac{1}{a^2b^2} = a^{-2}b^{-2}$，成立
- 例2（含负指数底数）：$(-2a^{-3})^3 = (-2)^3·(a^{-3})^3 = -8a^{-9}$，用定义验证：$(-2a^{-3})^3 = (-2·\frac{1}{a^3})^3 = -\frac{8}{a^9} = -8a^{-9}$，成立
2. 性质归纳：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，符号表示：$(ab)^n = a^n b^n$（$a≠0$，$b≠0$，$n$为整数）
### 第8页：性质拓展5——商的乘方（$a≠0$，$b≠0$，$n$为整数）
1. 验证过程：
- 例1（$n$为负整数）：$(\frac{a}{b})^{-3} = \frac{a^{-3}}{b^{-3}}$，用定义验证：$(\frac{a}{b})^{-3} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^3} = \frac{b^3}{a^3} = a^{-3}b^3 = \frac{a^{-3}}{b^{-3}}$，成立
- 例2（分子含零指数）：$(\frac{a^0}{b^{-2}})^4 = \frac{(a^0)^4}{(b^{-2})^4} = \frac{1}{b^{-8}} = b^8$，用性质验证：$\frac{1^4}{b^{-8}} = b^8$，成立
2. 性质归纳：商的乘方，把被除数和除数分别乘方，再把所得的幂相除，符号表示：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$（$a≠0$，$b≠0$，$n$为整数）
### 第9页：整数指数幂基本性质汇总（$a≠0$，$b≠0$，$m$、$n$为整数）
| 性质名称 | 符号表示 | 语言描述 |
|----------------|------------------------------|--------------------------------------------|
| 同底数幂相乘 | $a^m·a^n = a^{m+n}$ | 底数不变，指数相加 |
| 同底数幂相除 | $a^m÷a^n = a^{m-n}$ | 底数不变，指数相减（可转化为相乘） |
| 幂的乘方 | $(a^m)^n = a^{mn}$ | 底数不变，指数相乘 |
| 积的乘方 | $(ab)^n = a^n b^n$ | 各因式分别乘方，所得幂相乘 |
| 商的乘方 | $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ | 被除数、除数分别乘方，所得幂相除 |
| 核心原则 | 结果化为正整数指数幂形式 | 不含负指数，分母无字母（最简形式） |
### 第10页：例题讲解1——基础运算（单一性质应用）
例1：计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）
（1）$a^{-2}·a^5$（$a≠0$）
解：$a^{-2}·a^5 = a^{-2+5} = a^3$（同底数幂相乘）
（2）$(x^{-3})^{-4}$（$x≠0$）
解：$(x^{-3})^{-4} = x^{-3×(-4)} = x^{12}$（幂的乘方）
（3）$(3a^{-2}b)^2$（$a≠0$，$b≠0$）
解：$(3a^{-2}b)^2 = 3^2·(a^{-2})^2·b^2 = 9a^{-4}b^2 = \frac{9b^2}{a^4}$（积的乘方+幂的乘方）
（4）$(\frac{2x}{y^{-3}})^3$（$x≠0$，$y≠0$）
解：$(\frac{2x}{y^{-3}})^3 = \frac{(2x)^3}{(y^{-3})^3} = \frac{8x^3}{y^{-9}} = 8x^3y^9$（商的乘方+负指数转化）
### 第11页：例题讲解2——混合运算（多性质综合应用）
例2：计算下列各式（结果化为正整数指数幂形式）
（1）$a^3·(a^{-2})^4÷a^5$（$a≠0$）
解：先算乘方→再算乘除
$a^3·a^{-8}÷a^5 = a^{3-8}÷a^5 = a^{-5}÷a^5 = a^{-5-5} = a^{-10} = \frac{1}{a^{10}}$
（2）$(2x^{-1}y^2)^3·(3x^2y^{-4})^2$（$x≠0$，$y≠0$）
解：先算积的乘方→再算同底数幂相乘
$8x^{-3}y^6·9x^4y^{-8} = (8×9)·x^{-3+4}·y^6+(-8) = 72x^1y^{-2} = \frac{72x}{y^2}$
（3）$(\frac{a^{-2}b^3}{c^{-1}})^2÷(\frac{a^3b^{-1}}{c^2})^{-1}$（$a≠0$，$b≠0$，$c≠0$）
解：先算商的乘方→再转化除法为乘法→最后化简
$\frac{a^{-4}b^6}{c^{-2}}·\frac{a^3b^{-1}}{c^2} = a^{-4+3}·b^6+(-1)·c^{-2+2} = a^{-1}b^5c^0 = \frac{b^5}{a}$（$c^0 = 1$）
### 第12页：课堂练习（分层）
1. 基础题（必做）：
（1）$x^{-3}·x^7$（$x≠0$） （2）$(y^4)^{-2}$（$y≠0$） （3）$(-2ab^{-3})^3$（$a≠0$，$b≠0$）
（4）$\frac{a^5}{a^{-2}}$（$a≠0$） （5）$(\frac{3x^{-2}}{y})^2$（$x≠0$，$y≠0$）
2. 提高题（选做）：
（1）$a^2·(a^3)^4÷a^7$（$a≠0$） （2）$(2x^2y^{-3})^2·(xy^2)^3$（$x≠0$，$y≠0$）
（3）已知$a^m = 2$，$a^n = 3$，求$a^{2m-3n}$的值（$a≠0$）
### 第13页：练习答案与解析
1. 基础题答案：
（1）$x^{-3+7} = x^4$ （2）$y^{4×(-2)} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}$ （3）$-8a^3b^{-9} = -\frac{8a^3}{b^9}$
（4）$a^5·a^2 = a^7$ （5）$\frac{9x^{-4}}{y^2} = \frac{9}{x^4y^2}$
2. 提高题答案：
（1）$a^2·a^{12}÷a^7 = a^{14-7} = a^7$ （2）$4x^4y^{-6}·x^3y^6 = 4x^7$
（3）$a^{2m-3n} = (a^m)^2÷(a^n)^3 = 2^2÷3^3 = 4÷27 = \frac{4}{27}$（逆用性质）
### 第14页：易错点警示
1. 混合运算顺序错误：先算乘除再算乘方，如$(a^2·a^{-3})^4$误算为$a^2·a^{-12} = a^{-10}$
2. 幂的乘方与同底数幂相乘混淆：$(a^m)^n$误算为$a^{m+n}$，如$(x^{-2})^3$误算为$x^{-5}$
3. 积的乘方漏乘系数：$(-3a^{-2})^2$误算为$-3a^{-4}$，正确应为$9a^{-4}$
4. 负指数转化不彻底：结果仍含负指数，如$a^3·a^{-5}$化简为$a^{-2}$，未转化为$\frac{1}{a^2}$
5. 忽略底数不为0的条件：未注明字母取值范围，或在计算中隐含$a=0$的情况
### 第15页：课堂小结
1. 核心内容：整数指数幂的5个基本性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、商的乘方），适用范围拓展到全体整数。
2. 运算关键：
- 顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右；
- 转化：负指数转化为正指数，除法转化为乘法；
- 化简：结果必须化为正整数指数幂形式（最简形式）。
3. 数学思想：类比推理（从正整数指数幂拓展到整数指数幂）、归纳总结（验证性质统一性）。
### 第16页：布置作业
1. 课本习题2.4第3题（1）（2）（3）（4）、第4题、第5题。
2. 补充作业：
（1）$(5a^{-3}b^2)^2·(2a^2b^{-1})^3$（$a≠0$，$b≠0$） （2）$\frac{(x^{-2}y)^3}{(x^3y^{-1})^2}$（$x≠0$，$y≠0$）
3. 拓展思考：如何用整数指数幂的性质推导科学记数法中$10^{-n}$的表示形式？（如$0.001 = 10^{-3}$）
### 第17页：结束页
- 感谢聆听！
- 疑问解答
## 二、教学过程（详细课堂流程）
### （一）导入新课（5分钟）
1. 复习旧知：提问学生零指数幂、负整数指数幂的定义，以及正整数指数幂的5个基本性质，板书核心公式和定义。
2. 引发思考：出示算式$2^{-3}·2^2$、$(3^{-2})^3$，提问：“这些算式含负指数，能否用原来的正整数指数幂性质计算？结果是否和用定义计算一致？”
3. 引出课题：通过对比验证，说明指数拓展后性质仍适用，今天我们系统学习“2.4.3 整数指数幂的基本性质”，完善幂的运算体系。
### （二）探究新知（20分钟）
1. 性质拓展验证（以小组合作形式）：
- 分组任务：将学生分为5组，每组负责验证一个性质（同底数幂相乘、相除、幂的乘方、积的乘方、商的乘方），要求每组选取正整数、零、负整数指数的不同组合举例验证。
- 小组展示：每组派代表分享验证过程和结果，如验证“同底数幂相乘”时，举例$a^{-2}·a^{-3}$（负负）、$a^0·a^{-4}$（零负）等，说明性质成立。
- 教师总结：师生共同归纳整数指数幂的5个基本性质，强调适用条件（$a≠0$，$b≠0$，$m$、$n$为整数），并板书性质汇总表。
2. 重点强调：
- 同底数幂相除可转化为相乘（$a^m÷a^n = a^m·a^{-n}$），无需单独记忆；
- 商的乘方可看作“积的乘方”的特例（$\frac{a}{b} = ab^{-1}$），即$(\frac{a}{b})^n = (ab^{-1})^n = a^n b^{-n} = \frac{a^n}{b^n}$；
- 所有性质的核心是“指数运算规则”，底数保持不变。
### （三）例题讲解与巩固（12分钟）
1. 基础例题讲解：
- 例1（1）（2）题：侧重单一性质应用，让学生口述解题依据，如“$a^{-2}·a^5$用同底数幂相乘性质，指数相加”。
- 例1（3）（4）题：侧重积的乘方、商的乘方与负指数转化结合，板书关键步骤，如$(3a^{-2}b)^2$先算系数$3^2=9$，再算$(a^{-2})^2=a^{-4}$，最后转化为$\frac{9b^2}{a^4}$。
2. 混合运算例题讲解：
- 例2（1）题：强调运算顺序“先乘方，再乘除”，分步书写：$(a^{-2})^4 = a^{-8}$→$a^3·a^{-8}=a^{-5}$→$a^{-5}÷a^5=a^{-10}$→$\frac{1}{a^{10}}$。
- 例2（2）（3）题：引导学生自主分析，每一步标注运算性质，如“$(2x^{-1}y^2)^3$用积的乘方性质”“$8x^{-3}y^6·9x^4y^{-8}$用同底数幂相乘性质”。
3. 即时练习：让学生独立完成课堂练习基础题（1）（2）（3），教师巡视，对学困生进行个别指导，重点纠正“漏乘系数”“指数运算错误”等问题。
### （四）课堂练习与反馈（8分钟）
1. 分层练习：
- 基础题：全体学生完成，巩固单一性质和简单混合运算，确保核心知识掌握。
- 提高题：学有余力的学生完成，强化性质逆用（如例3求$a^{2m-3n}$）和复杂混合运算。
2. 反馈点评：
- 选取典型解答展示，如提高题（3），讲解逆用性质的思路：$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$，$a^{2m-3n}=a^{2m}÷a^{3n}$。
- 集中纠正共性错误：如$(y^4)^{-2}$误算为$y^2$，强调幂的乘方是指数相乘（$4×(-2)=-8$）；$(-2ab^{-3})^3$误算为$8a^3b^{-9}$，强调负号的奇次幂为负（$(-2)^3=-8$）。
### （五）课堂小结（2分钟）
1. 学生自主总结：请2-3名学生分享本节课的收获，包括知识点、运算技巧和易错点。
2. 教师梳理升华：
- 知识脉络：正整数指数幂→零指数幂、负整数指数幂→整数指数幂性质（统一适用）；
- 运算口诀：“乘方优先，乘除随后，同底不变，指数运算，负指转正，结果最简”；
- 应用价值：整数指数幂性质是后续学习科学记数法、分式运算、整式乘除的基础，务必熟练掌握。
### （六）布置作业（3分钟）
1. 明确作业要求：必做题侧重基础巩固，选做题侧重能力提升，完成作业时标注每一步的运算依据。
2. 提醒注意事项：结果必须化为正整数指数幂形式，避免出现负指数；检查底数是否为0的隐含条件。
3. 预习提示：带着拓展思考问题预习科学记数法，思考如何用$10^{-n}$表示较小的数。
## 三、教学说明
1. 本设计以“复习→验证→归纳→应用”为主线，通过小组合作验证性质拓展过程，突出学生的主体地位，培养类比推理能力。
2. 重点突破“混合运算顺序”“负指数转化”“性质逆用”三个核心难点，通过分步讲解、例题示范、错题点评等环节强化掌握。
3. 练习和作业采用分层设计，兼顾学困生的基础巩固和优等生的思维拓展，满足不同层次学生的需求。
4. 注重知识的连贯性，强调整数指数幂性质是对原有知识的拓展和统一，帮助学生构建完整的幂运算知识体系。
5. 强化运算规范性，要求学生每一步标注运算依据，培养严谨的数学思维习惯，同时通过口诀辅助记忆，提升运算效率。
02
新知导入
解方程：=.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得x=11，
两边都除以1，得x.
解一元一次方程的基本步骤：
①去分母；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤化系数为1.
03
新知探究
做一做
某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系.

等量关系：走线路一的时间走线路二的时间=10min .
03
新知探究
做一做
某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系.
这个等式正确吗？
单位不统一
像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
03
新知探究
我们前面所学的解方程都有什么特征？
思考：如何求解分式方程
前面求解的方程左右两边都是整式.
有没有方法将分式方程转化为整式方程？
分式方程
整式方程
分式的基本性质
两边同乘最简公分母
03
新知探究
思考：如何求解分式方程
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
检验：将用 30代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值，
因此， 是原分式方程的解.
03
新知探究
解方程：=.
例1
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值，
因此， 是原分式方程的解.
03
新知探究
解方程：.
例2
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ，
解得 .
检验：将用2代入原分式方程，方程左边的值为，不存在这种数，因
此不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
03
新知探究
从例 2 可发现，将x用2代入最简公分母，则它的值为 0，所以不是原分式方程的解.
注意：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的解.
增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根.
03
新知探究
议一议
为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？
当最简公分母的值为0时，原分式方程无意义，所以该未知数的值不是分式方程的解.
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ）
D
A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 )
1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( )
A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8
C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8
A
4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( )
A. －1 或 5 B. 1
C. －1.5 或 2 D. －0.5 或－1.5
D
03
新知探究
解方程：=5.
例3
解：由于最简公分母为3，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
03
新知探究
议一议
解分式方程的一般步骤是什么？
解分式方程的一般步骤：
1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解
2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程
3.解整式方程
4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根
5.将检验后的解写出来
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.若代数式和的值相等，则的值是（ ）
A． B． C． D．
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
B
新知应用
基础巩固题
不含等号
1.下列关于x的式子：① ；② ；
；④ ；⑤ .其中是分式方
程的有_______________
分母不含未知数
②⑤
判断一个方程是否为分式方程，是取决于分母中是否含有未知数.
新知应用
基础巩固题
2.分式方程 的解是( ) .
D
A. B. C. D.
3.解分式方程 =8 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A. 2(x-8)+5x=16(x-7) B. 2(x-8)+5x=8
C. 2(x-8)-5x=16(x-7) D. 2(x-8)-5x=8
A
勿漏乘整式项！
因式分解，注意符号
新知应用
基础巩固题
4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。
解：方程两边同乘2（x+1），得
2（x+1）x3＝6x． 第①步
解得x＝ 第②步
检验：当x＝ 时，有2（x+1）≠ 0 第③步
∴原方程的解为x＝ 第④步
分子是多项式，去分母后要加括号
新知应用
基础巩固题
4.下列解分式方程是否有误，若有误，请指出。
解：方程两边同乘（x﹣3），得
2﹣x+3＝2 第①步
解得x＝3 第②步
∴原方程的解为x＝3 第③步
漏乘
没有检验
7. 解方程：
解：方程两边同乘 ，得
解得
经检验 是原分式方程的解
1. 下列关于的式子：； ；
；； .是分式方程的有( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 解分式方程 的步骤：①方
程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程
;③解得;④故 是原方程的解.
其中有误的一步为( )
D
A. ① B. ② C. ③ D. ④
返回
3. ［2025株洲期末］已知关于的方程的解是 ，
则 的值为( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
4.若关于的方程无解，则 的值为____.
【点拨】，去分母，得 ，
解得.因为当，即 时，方程
无解，所以，所以 .
返回
5.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则
的值为___.
的取值 4 16
分式的值 不存在 0 0.1
05
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解
2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程
3.解整式方程
4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根
5.将检验后的解写出来
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