资源简介

(共27张PPT)
# 湘教版数学八年级上册3.1.1 二次根式的概念及性质 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握二次根式的定义；能判断一个式子是不是二次根式；会求二次根式中字母的取值范围；理解二次根式两个核心性质：$\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|}$；会化简简单二次根式；区分$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)避免混淆。答题要求：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件：被开方数$a\ge0$；性质$(\sqrt{a})^2=a$前提$a\ge0$；$\sqrt{a^2}$化简结果一定是非负数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)要加绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再根据$a$正负去掉绝对值符号。## 一、知识梳理1. 二次根式定义：形如$\boldsymbol{\sqrt{a}}$（$a\ge0$）的式子叫做二次根式。$\sqrt{\ \ }$称为二次根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$a$叫做被开方数。判定二次根式两个要点：①带有二次根号；②被开方数是非负数。两个条件缺一不可。2. 二次根式有意义的条件：**被开方数大于或等于0**；如果同时在分母位置(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)还要满足分母≠0。3. 二次根式的性质性质1：$\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a\quad(a\ge0)}$。一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。性质2：$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a>0) \ 0 & (a=0) \ -a & (a<0) \end{cases}}$。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。4. 重要提醒$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$极易混淆：$(\sqrt{a})^2$要求$a\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果直接等于$a$；$\sqrt{a^2}$中$a$可取全体实数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果一定是$|a|$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不能直接写成$a$。二次根式本身$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)算术平方根永远是非负数。## 二、选择题（每题5分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共30分）1. 下列式子属于二次根式的是（）A.$\sqrt{-2}$ B.$\sqrt{3}$ C.$\sqrt[3]{5}$ D.$x$2. 二次根式$\sqrt{x-2}$有意义(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$x$取值范围是（）A.$(x>2)$ B.$x\ge2$ C.$(x<2)$ D.$x\le2$3. 计算$(\sqrt{7})^2$结果是（）A.$7$ B.$-7$ C.$\sqrt{7}$ D.$49$4. 化简$\sqrt{(-5)^2}$等于（）A.$-5$ B.$5$ C.$\pm5$ D.$25$5. 下列计算正确的是（）A.$(\sqrt{-3})^2=-3$ B.$\sqrt{(-4)^2}=-4$C.$(\sqrt{5})^2=5$ D.$\sqrt{a^2}=a$6. 若$\sqrt{(m-1)^2}=1-m$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$m$的取值范围是（）A.$(m>1)$ B.$m\ge1$ C.$(m<1)$ D.$m\le1$## 三、填空题（每题6分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共30分）1.$(\sqrt{11})^2=$**********。2.若$\sqrt{x+3}$有意义(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$x$的取值范围__________。3.化简$\sqrt{(-\dfrac13)^2}=$__________。4.若$\sqrt{a-2}+|b+1|=0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$(a+b=)$**********。5.化简$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=$__________。## 四、解答题（每题10分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共40分）1. 判断下列式子是不是二次根式：（1）$\sqrt{-5}$　（2）$\sqrt{0}$　（3）$\sqrt{x+1}(x<-1)$　（4）$\sqrt{\pi}$2. 求下列二次根式中字母的取值范围：（1）$\sqrt{2x-4}$　（2）$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$3. 利用性质化简：（1）$(\sqrt{0.6})^2$　（2）$\sqrt{(-0.7)^2}$4. 已知$(2<x<3)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)化简$\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2}$。## 五、参考答案与解析选择题：1.B；A被开方数负数无意义；C是三次根式；D没有根号；2.B；$x-2\ge0$；3.A；套用$(\sqrt{a})^2=a$；4.B；$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$；5.C；A被开方不能负；B结果应为4；D缺少$a\ge0$条件；6.D；$\sqrt{(m-1)^2}=|m-1|=1-m$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)说明$m-1\le0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$m\le1$。填空题：1.$11$；2.$x\ge-3$；3.$\dfrac13$；4.$1$；$\sqrt{a-2}\ge0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)|b+1|\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)两个非负数相加为0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则各自为0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$a=2,b=-1$；5.$2-\sqrt{3}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$2>\sqrt{3}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)绝对值直接去掉。解答题：1.（1）不是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)被开方数负数；（2）是；（3）不是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$x<-1$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$(x+1<0)$；（4）是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\pi>0$。2.（1）$2x-4\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)解得$x\ge2$；（2）$\begin{cases}x+1\ge0\x+1≠0\end{cases}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)即$(x+1>0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$x>-1$。3.（1）原式$(=0.6)$；（2）原式$=|-0.7|=0.7$。4.$\because (2<x<3)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\therefore x-2>0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)x-3<0$。原式$=|x-2|+|x-3|=(x-2)+(3-x)=1$。## 六、易错点总结二次根式概念和性质有四类高频丢分点。第一(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)混淆二次根式成立条件(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忽略被开方数必须大于等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)看到根号就认定是二次根式(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不看里面正负。第二(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)混淆$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$。$(\sqrt{a})^2$要求$(a\ge0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)而$\sqrt{a^2}$中$a$可以取任意实数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果是绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)很多同学直接写成$\sqrt{a^2}=a$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忽略$a$负数的情况。第三(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)求取值范围时遇到分母带根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)只写被开方数≥0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忘记分母不能等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)应该写成被开方数＞0。第四(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)非负性应用：$\sqrt{a}\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)遇到$\sqrt{A}+|B|=0$这类题型(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不会利用“两个非负数相加等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则各自等于0”解题。本节是二次根式整章的基础(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)后面二次根式化简、加减乘除运算全部依赖这两个性质。解题固定流程：判断是否二次根式(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)先看有没有根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再看被开方数是否非负；求取值范围(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)列不等式（注意分母）；化简$\sqrt{a^2}$先写成绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再根据字母范围去掉绝对值；看到算术平方根(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)记住结果一定≥0。做完代入数值检验(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)检查符号是否出错。掌握本节(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)接下来学习二次根式的化简。（全文：1231字）下一节：**3.1.2 二次根式的化简**(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.1.1二次根式的概念及性质授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 二次根式1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
（重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
# 3.1.1 二次根式的概念及性质（八年级数学课件）
## 幻灯片1：封面
- 标题：3.1.1 二次根式的概念及性质
- 副标题：八年级上册数学
- 授课教师：XXX
- 日期：XXXX年XX月XX日
## 幻灯片2：学习目标
1. 理解二次根式的定义，能准确判断一个式子是否为二次根式；
2. 掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中字母的取值范围；
3. 理解并运用二次根式的两个核心性质：$\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$）和$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）；
4. 能结合性质解决简单的计算和化简问题。
## 幻灯片3：情境导入（问题探究）
### 问题1：
- 一个正方形花坛的面积为$S$平方米，它的边长是多少米？
- 答案：边长为$\sqrt{S}$米（引导学生回忆正方形面积公式，自然引出根号）
### 问题2：
- 要制作一个容积为27立方厘米的正方体形状的包装盒，它的棱长是多少厘米？
- 答案：棱长为$\sqrt[3]{27}=3$厘米（对比立方根，突出“二次”根号）
### 问题3：
- 若一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长是多少？
- 答案：斜边为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$（通过勾股定理再次强化根号的应用）
### 思考：
- 上述问题中出现的$\sqrt{S}$、$\sqrt{3^2 + 4^2}$有什么共同特点？
- 它们与$\sqrt[3]{27}$有什么区别？（引出“二次根式”的概念）
## 幻灯片4：二次根式的定义
### 定义：
- 一般地，我们把形如$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）的式子叫做二次根式。
- 其中，“$\sqrt{}$”叫做二次根号，根号下的数$a$叫做被开方数。
### 关键词解读：
1. 形式要求：必须含有二次根号“$\sqrt{}$”（默认根指数为2，省略不写）；
2. 被开方数要求：$a$必须是非负数（即$a \geq 0$），因为在实数范围内，负数没有平方根。
### 注意：
- 二次根式是一个非负数（后续性质会详细说明）；
- 当$a = 0$时，$\sqrt{0} = 0$，也是二次根式。
## 幻灯片5：即时练习1（判断是否为二次根式）
### 下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
1. $\sqrt{5}$ 2. $\sqrt{-3}$ 3. $\sqrt{x^2 + 1}$ 4. $\sqrt[3]{7}$ 5. $-\sqrt{6}$ 6. $\sqrt{2m}$（$m < 0$）
### 答案解析：
- 是二次根式的有：1、3、5
- 1：$\sqrt{5}$，被开方数$5 > 0$，符合定义；
- 3：$\sqrt{x^2 + 1}$，因为$x^2 \geq 0$，所以$x^2 + 1 \geq 1 > 0$，被开方数恒为正；
- 5：$-\sqrt{6}$，虽然前面有负号，但整体是“$-\sqrt{6}$”，根号部分$\sqrt{6}$是二次根式，负号仅表示相反数；
- 不是二次根式的有：2、4、6
- 2：$\sqrt{-3}$，被开方数$-3 < 0$，无意义；
- 4：$\sqrt[3]{7}$，根指数为3，是立方根，不是二次根式；
- 6：$\sqrt{2m}$（$m < 0$），被开方数$2m < 0$，无意义。
## 幻灯片6：二次根式有意义的条件
### 核心结论：
- 对于二次根式$\sqrt{a}$，当且仅当被开方数$a \geq 0$时，式子有意义；
- 若二次根式在分母中（如$\frac{1}{\sqrt{a}}$），则还需满足$\sqrt{a} \neq 0$，即$a > 0$（分母不能为0）。
### 例题1：求下列二次根式中字母$x$的取值范围
1. $\sqrt{x - 2}$
- 解：由被开方数非负得$x - 2 \geq 0$，解得$x \geq 2$；
2. $\sqrt{3x + 1}$
- 解：$3x + 1 \geq 0$，解得$x \geq -\frac{1}{3}$；
3. $\frac{1}{\sqrt{5 - x}}$
- 解：既要满足被开方数非负，又要满足分母不为0：
- $5 - x > 0$（因为$\sqrt{5 - x}$在分母，不能为0），解得$x < 5$；
4. $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$
- 解：先化简被开方数：$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，
- 因为$(x - 2)^2 \geq 0$恒成立，所以$x$可取任意实数。
### 方法总结：
- 求字母取值范围的步骤：
1. 列出关于字母的不等式（组）：被开方数$\geq 0$，分母$\neq 0$（若在分母）；
2. 解不等式（组）；
3. 写出取值范围（用集合或区间表示均可，初中阶段用不等式表示）。
## 幻灯片7：即时练习2（求字母取值范围）
### 求下列式子中字母$x$的取值范围：
1. $\sqrt{2x - 3}$ 2. $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 3. $\sqrt{-x^2}$ 4. $\sqrt{(x - 1)^2 + 2}$
### 答案：
1. $x \geq \frac{3}{2}$；
2. $x \geq -1$且$x \neq 2$；
3. $x = 0$（因为$-x^2 \geq 0$，即$x^2 \leq 0$，而$x^2 \geq 0$，所以$x = 0$）；
4. 任意实数（因为$(x - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0$恒成立）。
## 幻灯片8：二次根式的性质1
### 性质1：
- 当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \geq 0$（双重非负性）。
- 解读：
1. 被开方数$a$是非负数（$a \geq 0$）；
2. 二次根式$\sqrt{a}$的结果也是非负数（$\sqrt{a} \geq 0$）。
### 常见的非负数形式：
1. 实数的平方：$a^2 \geq 0$；
2. 绝对值：$|a| \geq 0$；
3. 二次根式：$\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$）。
### 重要结论：
- 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0（即“非负性叠加”）。
- 例：若$\sqrt{x} + |y - 3| + (z + 2)^2 = 0$，则$\sqrt{x} = 0$，$|y - 3| = 0$，$(z + 2)^2 = 0$，解得$x = 0$，$y = 3$，$z = -2$。
## 幻灯片9：例题2（利用非负性求值）
### 例1：
- 已知$\sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + y = 5$，求$x + y$的值。
- 解：
1. 首先求$x$的取值范围：
- 由$\sqrt{x - 1}$有意义得$x - 1 \geq 0$，即$x \geq 1$；
- 由$\sqrt{1 - x}$有意义得$1 - x \geq 0$，即$x \leq 1$；
- 所以$x = 1$；
2. 代入原式：$\sqrt{0} + \sqrt{0} + y = 5$，解得$y = 5$；
3. 因此$x + y = 1 + 5 = 6$。
### 例2：
- 若$\sqrt{a - 2} + (b + 3)^2 = 0$，求$(a + b)^{2024}$的值。
- 解：
1. 由非负性得$\sqrt{a - 2} = 0$，$(b + 3)^2 = 0$；
2. 解得$a = 2$，$b = -3$；
3. 所以$(a + b)^{2024} = (2 - 3)^{2024} = (-1)^{2024} = 1$。
## 幻灯片10：即时练习3（利用非负性求值）
1. 已知$\sqrt{2x + 4} + |y - 1| = 0$，求$x^y$的值；
2. 若$\sqrt{m - 3} + \sqrt{n + 2} = 0$，求$m + n$的平方根。
### 答案：
1. $x = -2$，$y = 1$，$x^y = (-2)^1 = -2$；
2. $m = 3$，$n = -2$，$m + n = 1$，1的平方根为$\pm 1$。
## 幻灯片11：二次根式的性质2
### 性质2：
- 当$a \geq 0$时，$(\sqrt{a})^2 = a$。
- 解读：
1. 条件：$a \geq 0$（保证$\sqrt{a}$有意义）；
2. 含义：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数本身。
### 例题3（利用性质2计算）
1. $(\sqrt{5})^2$ 2. $(\sqrt{\frac{2}{3}})^2$ 3. $(-\sqrt{7})^2$ 4. $(\sqrt{0})^2$
### 解答：
1. $(\sqrt{5})^2 = 5$；
2. $(\sqrt{\frac{2}{3}})^2 = \frac{2}{3}$；
3. $(-\sqrt{7})^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$（先平方，负号消失）；
4. $(\sqrt{0})^2 = 0$。
### 逆向应用：
- 若$a \geq 0$，则$a = (\sqrt{a})^2$（可用于化简或配方）。
- 例：$3 = (\sqrt{3})^2$，$x = (\sqrt{x})^2$（$x \geq 0$）。
## 幻灯片12：即时练习4（利用性质2计算与化简）
1. 计算：
- $(\sqrt{12})^2$ - $(\sqrt{0.3})^2$ - $(-2\sqrt{3})^2$（提示：先算平方，$(-2)^2 = 4$，再乘$(\sqrt{3})^2$）
2. 化简：
- $(\sqrt{x + 1})^2$（$x \geq -1$） - $(\sqrt{2a - 5})^2$（$a \geq \frac{5}{2}$）
### 答案：
1. 12；0.3；12（$(-2\sqrt{3})^2 = (-2)^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$）；
2. $x + 1$；$2a - 5$。
## 幻灯片13：性质对比与易错点提醒
### 性质对比（$a$的取值范围关键）：
| 式子 | 成立条件 | 结果 |
|------|----------|------|
| $(\sqrt{a})^2$ | $a \geq 0$ | $a$ |
| $\sqrt{a^2}$ | 任意实数 | $|a|$（后续会学，此处先对比） |
### 易错点：
1. 忽略被开方数非负：如认为$(\sqrt{-3})^2 = -3$（错误，$\sqrt{-3}$无意义）；
2. 混淆性质适用条件：如$(\sqrt{x - 2})^2 = x - 2$，必须满足$x \geq 2$，否则不成立；
3. 负号平方处理错误：如$(-\sqrt{5})^2 = -5$（错误，应为$5$）。
## 幻灯片14：课堂小结
### 1. 二次根式的定义：
- 形如$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）的式子，核心是“二次根号+非负被开方数”；
### 2. 有意义的条件：
- 被开方数$a \geq 0$，分母含二次根式时需额外满足分母$\neq 0$；
### 3. 核心性质：
- 性质1（双重非负性）：$\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$），非负数和为0则各非负数为0；
- 性质2：$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$），用于计算和化简；
### 4. 关键方法：
- 求字母取值范围：列不等式（组）求解；
- 利用非负性求值：转化为各部分为0的方程。
## 幻灯片15：课后作业
### 基础题（必做）：
1. 下列式子中，哪些是二次根式？（写序号）
- ①$\sqrt{10}$ ②$\sqrt{-18}$ ③$\sqrt{x^2 + 2}$ ④$\sqrt[3]{-27}$ ⑤$\sqrt{2x}$（$x \geq 0$）
2. 求下列式子中$x$的取值范围：
- （1）$\sqrt{3x - 6}$ （2）$\frac{\sqrt{x + 4}}{x - 1}$ （3）$\sqrt{-(x - 5)^2}$
3. 计算：
- （1）$(\sqrt{8})^2$ （2）$(\sqrt{\frac{3}{4}})^2$ （3）$(-3\sqrt{2})^2$
4. 已知$\sqrt{x - 3} + |y + 2| = 0$，求$xy$的值。
### 提升题（选做）：
1. 若$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b - 2} = 0$，求$(a + b)^{2025}$的值；
2. 当$x$为何值时，$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x}$有意义？并求此时式子的最大值（提示：利用非负性分析）。
## 幻灯片16：结束页
- 感谢聆听！
- 疑问解答与交流
02
新知导入
（1）正方形的面积为2，它的边长为______________;
正方形的面积为3，它的边长为______________;
正方形的面积为5，它的边长为______________;
正方形的面积为7，它的边长为______________.
02
新知导入
（2） 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道 .第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为
重力加速度. 若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示）
因为速度一定大于0，
所以第一宇宙速度v= .
02
新知导入
（3)将 与你学过的等数比较，它们在表达形式上有什么共同特征？
共同特征：
1.均带二次根号“”,即形如的式子.
2.被开方数为非负数.
03
新知探究
探究一
二次根式的概念
二次根式：一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
小试牛刀：判断下列各式中哪些是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：（1）（2）（5）是二次根式。
03
新知探究
判断二次根式的方法：
1.带二次根号“”；
2.被开方数可能是数，也可能是代数式，但都大于或等于0.
03
新知探究
探究二
二次根式有意义的条件
问题1：正实数a的平方根是什么？它的算术平方根是什么？
每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和，其中称为a的算术平方根.
问题2:正实数的算术平方根具有双重非负性，双重非负性是什么
1.根号内的数a是非负数，即a≥0.
2.算术平方根是非负数，即 ≥0.
03
新知探究
由算术平方根和二次根式的概念可知二次根式实质上就是一个非负实数的算术平方根。
在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
问题3:二次根式有意义的条件是什么？
二次根式有意义的条件：
03
新知探究
当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
例1
解：由≥ 0，解得x≥ 1.
因此，当x≥ 1时，在实数范围内有意义.
1. 已知下列各式：，，，， ，
，, ,其中二次根式有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. 若在实数范围内有意义，则 的取
值范围是( )
B
A. B. 且
C. D. 且
返回
3. 若，则 的值可以是( )
C
A. 2 B. 3 C. D. 8
4. 若，则 ( )
D
A. B. C. 6 D.
返回
03
新知探究
探究三
二次根式的性质
填空：（1）=_______,;
（2）=_______,;
（3）=_______,;
（4）=_______,.
2
4
3
9
4
16
5
25
思考：观察上列式子，你能得出什么结论？
03
新知探究
计算：； .
例2
解： ;
.
回顾
03
新知探究
探究三
二次根式的性质
填空：（1）=_______; （2） ;
（3）=_______; （4）=.
2
1.2
思考：观察上列式子，你能得出什么结论？
2
1.2
03
新知探究
计算：； .
例3
解：;
.
方法技巧
化简:(1)先将它化为,即；
(2)再根据a的符号去绝对值.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式中不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2.当x为下列何值时，二次根式 有意义（ ）
A． B． C． D．
3.的值等于（　　）
A．2 B．2 C． D．
B
C
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如果是二次根式，那么应满足的条件是　 　．
5.函数的自变量的取值范围是　 　．
6.已知，，化简：=　 　 ．
2
新知应用
基础巩固题
1. 判断下列式子是否是二次根式
是
是
是
不是
是
不是
不是
不是
判断一个式子是否为二次根式，看所给的式子是否同时具备两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数
非负数+正数恒大于零
根指数是3
非负数+正数恒大于零
非负数
负数
新知应用
基础巩固题
2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是_______；
A
被开方数a≥0
紧扣与的结构特征
＝a (a≥0).
=∣∣
x=0
新知应用
基础巩固题
4. 则a的取值范围是( )
A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D. a≤3
B
5.当1＜x＜4时，化简结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5
解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0，
∴＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5
C
=∣∣
5. 已知二次根式满足条件“只含有字母 ，
且当 时有意义”，请写出一个这样的二次根式：
______________________.
（答案不唯一）
6.当___时，代数式 取值最大，最大值为___.
5
2
返回
7.母题教材P67练习 当 取何值时，下列各式在实数范围
内有意义.
（1） ；
【解】要使有意义，则必须有 .
因为 恒大于零，
所以取任意实数.所以取任意实数， 都有意义.
（2） ；
因为要使有意义，则有且 ，
解得，所以当时， 有意义.
（3） .
由题意，得且，即 ，
故或 ，
解得或.所以当或时, 有意义.
返回
05
课堂小结
判断二次根式的方法：
1.带二次根号“”；
2.被开方数可能是数，也可能是代数式，但都大于或等于0.
二次根式有意义的条件：
二次根式的性质：（1）
（2）
谢谢观看
THANKS

展开更多......

收起↑