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# 湘教版数学八年级上册3.1.1 二次根式的概念及性质 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握二次根式的定义；能判断一个式子是不是二次根式；会求二次根式中字母的取值范围；理解二次根式两个核心性质：$\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|}$；会化简简单二次根式；区分$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)避免混淆。答题要求：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件：被开方数$a\ge0$；性质$(\sqrt{a})^2=a$前提$a\ge0$；$\sqrt{a^2}$化简结果一定是非负数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)要加绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再根据$a$正负去掉绝对值符号。## 一、知识梳理1. 二次根式定义：形如$\boldsymbol{\sqrt{a}}$（$a\ge0$）的式子叫做二次根式。$\sqrt{\ \ }$称为二次根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$a$叫做被开方数。判定二次根式两个要点：①带有二次根号；②被开方数是非负数。两个条件缺一不可。2. 二次根式有意义的条件：**被开方数大于或等于0**；如果同时在分母位置(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)还要满足分母≠0。3. 二次根式的性质性质1：$\boldsymbol{(\sqrt{a})^2=a\quad(a\ge0)}$。一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。性质2：$\boldsymbol{\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a>0) \ 0 & (a=0) \ -a & (a<0) \end{cases}}$。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。4. 重要提醒$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$极易混淆：$(\sqrt{a})^2$要求$a\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果直接等于$a$；$\sqrt{a^2}$中$a$可取全体实数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果一定是$|a|$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不能直接写成$a$。二次根式本身$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)算术平方根永远是非负数。## 二、选择题（每题5分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共30分）1. 下列式子属于二次根式的是（）A.$\sqrt{-2}$ B.$\sqrt{3}$ C.$\sqrt[3]{5}$ D.$x$2. 二次根式$\sqrt{x-2}$有意义(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$x$取值范围是（）A.$(x>2)$ B.$x\ge2$ C.$(x<2)$ D.$x\le2$3. 计算$(\sqrt{7})^2$结果是（）A.$7$ B.$-7$ C.$\sqrt{7}$ D.$49$4. 化简$\sqrt{(-5)^2}$等于（）A.$-5$ B.$5$ C.$\pm5$ D.$25$5. 下列计算正确的是（）A.$(\sqrt{-3})^2=-3$ B.$\sqrt{(-4)^2}=-4$C.$(\sqrt{5})^2=5$ D.$\sqrt{a^2}=a$6. 若$\sqrt{(m-1)^2}=1-m$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$m$的取值范围是（）A.$(m>1)$ B.$m\ge1$ C.$(m<1)$ D.$m\le1$## 三、填空题（每题6分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共30分）1.$(\sqrt{11})^2=$**********。2.若$\sqrt{x+3}$有意义(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$x$的取值范围__________。3.化简$\sqrt{(-\dfrac13)^2}=$__________。4.若$\sqrt{a-2}+|b+1|=0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则$(a+b=)$**********。5.化简$\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=$__________。## 四、解答题（每题10分(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)共40分）1. 判断下列式子是不是二次根式：（1）$\sqrt{-5}$　（2）$\sqrt{0}$　（3）$\sqrt{x+1}(x<-1)$　（4）$\sqrt{\pi}$2. 求下列二次根式中字母的取值范围：（1）$\sqrt{2x-4}$　（2）$\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}$3. 利用性质化简：（1）$(\sqrt{0.6})^2$　（2）$\sqrt{(-0.7)^2}$4. 已知$(2<x<3)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)化简$\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2}$。## 五、参考答案与解析选择题：1.B；A被开方数负数无意义；C是三次根式；D没有根号；2.B；$x-2\ge0$；3.A；套用$(\sqrt{a})^2=a$；4.B；$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$；5.C；A被开方不能负；B结果应为4；D缺少$a\ge0$条件；6.D；$\sqrt{(m-1)^2}=|m-1|=1-m$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)说明$m-1\le0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$m\le1$。填空题：1.$11$；2.$x\ge-3$；3.$\dfrac13$；4.$1$；$\sqrt{a-2}\ge0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)|b+1|\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)两个非负数相加为0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则各自为0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$a=2,b=-1$；5.$2-\sqrt{3}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$2>\sqrt{3}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)绝对值直接去掉。解答题：1.（1）不是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)被开方数负数；（2）是；（3）不是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$x<-1$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$(x+1<0)$；（4）是(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\pi>0$。2.（1）$2x-4\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)解得$x\ge2$；（2）$\begin{cases}x+1\ge0\x+1≠0\end{cases}$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)即$(x+1>0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$x>-1$。3.（1）原式$(=0.6)$；（2）原式$=|-0.7|=0.7$。4.$\because (2<x<3)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)$\therefore x-2>0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)x-3<0$。原式$=|x-2|+|x-3|=(x-2)+(3-x)=1$。## 六、易错点总结二次根式概念和性质有四类高频丢分点。第一(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)混淆二次根式成立条件(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忽略被开方数必须大于等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)看到根号就认定是二次根式(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不看里面正负。第二(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)混淆$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$。$(\sqrt{a})^2$要求$(a\ge0)$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)而$\sqrt{a^2}$中$a$可以取任意实数(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)结果是绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)很多同学直接写成$\sqrt{a^2}=a$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忽略$a$负数的情况。第三(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)求取值范围时遇到分母带根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)只写被开方数≥0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)忘记分母不能等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)应该写成被开方数＞0。第四(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)非负性应用：$\sqrt{a}\ge0$(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)遇到$\sqrt{A}+|B|=0$这类题型(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)不会利用“两个非负数相加等于0(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)则各自等于0”解题。本节是二次根式整章的基础(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)后面二次根式化简、加减乘除运算全部依赖这两个性质。解题固定流程：判断是否二次根式(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)先看有没有根号(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再看被开方数是否非负；求取值范围(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)列不等式（注意分母）；化简$\sqrt{a^2}$先写成绝对值(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)再根据字母范围去掉绝对值；看到算术平方根(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)记住结果一定≥0。做完代入数值检验(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)检查符号是否出错。掌握本节(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)接下来学习二次根式的化简。（全文：1231字）下一节：**3.1.2 二次根式的化简**(\sqrt{a-2}\ge0(\therefore x-2>0，x-3<0)|b+1|\ge0)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.1.2积的算术平方根及化简授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 二次根式
01
教学目标
理解积的算术平方根的性质，掌握其适用条件(a≥0,b≥0)。
01
理解最简二次根式的定义，能将二次根式化为最简形式。
02
能运用性质化简二次根式或判断其正误。
03
02
新知导入
巩固练习
计算：(1)=_____________; (2) =_____________;
(3)=_____________; (2) =_____________.
6
3
4
二次根式的性质：（1）
（2）
03
新知探究
思考
(1)填空：
①=__________，=__________；
②=__________，=__________.
(2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和 的关系，并说明理由.
6
6
12
12
猜想： =
03
新知探究
理由：当a≥0，b≥0时,
因为，
又因为
因此= .
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
03
新知探究
化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）.
例4
解：（1） = = ×=3.
（2）= = ×=2.
（3）= = ×=6.
03
新知探究
化简下列二次根式：（1）；（2）.
例5
解： （1）
（2）.
注意事项：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
03
新知探究
观察从例 4和例 5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？
1.被开方数中不含分母；
2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).
二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.若 ，则满足的条件是（　　）．
A． B．，
C．， D． ，
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
B
B
04
课堂练习
3.下列变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
C
新知应用
基础巩固题
A
2．化简的结果是（ ）
A．3 B． C． D．9
C
=
关键是找出平方因子
新知应用
基础巩固题
D
3．化简：= .
做题的关键是构造平方因子
新知应用
基础巩固题
5.下列不是最简二次根式的是（ ）
6.下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A
A. B. C. D.
C
（1） 被开方数不含分母
（2）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）.
把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式
1. ［2024湖南］计算 的结果是( )
D
A. B. C. 14 D.
2.若是整数，则整数 的值是_______.
3. 若一个无理数与 的积是一个有理数，
写出 的一个值是__________________.
3或12
（答案不唯一）
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4. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之
一.某品牌庐山云雾茶的包装是圆柱形铁盒，若其内部底面半
径为，深，则其容积为________
（结果保留根号和 ）.
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5.母题教材P70例2 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
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6. 如图，数轴上有，，，， 五点，
根据图中各点表示的数，则表示数 的点会落在
( )
B
A. 点和之间 B. 点和 之间
C. 点和之间 D. 点和 之间
05
课堂小结
积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=
最简二次根式：
1.被开方数中不含分母；
2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式).
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