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# 湘教版数学八年级上册3.2.2 二次根式的除法 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握二次根式除法法则以及逆用；会进行二次根式除法运算；理解法则成立的前提条件；掌握分母有理化；运算结果化为最简二次根式；区分二次根式乘法与除法公式；能解决含系数的二次根式除法计算。答题要求：$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0,b>0)}$；逆公式：$\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0,b>0)}$；系数相除放在根号前面\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)被开方数相除放在根号里面；结果分母不含根号\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)化成最简二次根式。## 一、知识梳理1. 二次根式除法法则：两个二次根式相除\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)把被开方数相除\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)根指数不变。$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0,b>0)}$2. 公式逆用（商的算术平方根）：商的算术平方根等于算术平方根的商。$\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0,b>0)}$3. 带系数二次根式除法：$\boldsymbol{m\sqrt{a}\div n\sqrt{b}=\dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0,b>0,n\neq0)}$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)系数除以系数\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)被开方数除以被开方数。4. 分母有理化：把分母中的根号化去\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)常用方法：分子分母同乘分母的二次根式。例：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$5. 最简二次根式两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)分母不含根号。6. 重要提醒：公式要求$a\ge0\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)b>0$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)分母$b$不能等于0；计算结束必须分母有理化\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)分母不能留有根号。## 二、选择题（每题5分\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)共30分）1.$\sqrt{10}\div\sqrt{2}$的结果是（）A.$\sqrt{5}$ B.$5$ C.$\sqrt{20}$ D.$2\sqrt{5}$2. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$化简后等于（）A.$\dfrac13$ B.$\sqrt{3}$ C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D.$3\sqrt{3}$3.$6\sqrt{15}\div2\sqrt{3}$结果是（）A.$3\sqrt{5}$ B.$4\sqrt{12}$ C.$12\sqrt{5}$ D.$3\sqrt{12}$4. 下列计算正确的是（）A.$\dfrac{\sqrt{-6}}{\sqrt{-2}}=\sqrt{3}$ B.$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$C.$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4}{9}$ D.$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$5. 化简$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$正确的是（）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{5}$ B.$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ C.$\sqrt{10}$ D.$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$6. 若$\sqrt{\dfrac{x}{x-3}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-3}}$成立\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)则$x$取值范围（）A.$x\ge0$ B.$\(x>3\)$ C.$x\ge3$ D.$x\neq3$## 三、填空题（每题6分\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)共30分）1.$\sqrt{24}\div\sqrt{3}=$__________。2.$\sqrt{\dfrac{9}{16}}=$__________。3.$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=$__________。4.$4\sqrt{48}\div2\sqrt{3}=$__________。5.$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=$__________（分母有理化）。## 四、解答题（每题10分\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)共40分）1. 直接利用除法法则计算：（1）$\sqrt{45}\div\sqrt{5}$　（2）$\sqrt{\dfrac{2}{3}}\div\sqrt{\dfrac{1}{6}}$2. 带系数二次根式除法运算：（1）$8\sqrt{24}\div4\sqrt{6}$　（2）$-6\sqrt{\dfrac{4}{5}}\div3\sqrt{\dfrac{2}{15}}$3. 分母有理化化简：（1）$\dfrac{3}{\sqrt{6}}$　（2）$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{14}}$4. 应用题：一个三角形面积为$\sqrt{72}\ \text{cm}^2$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)底边长为$\sqrt{8}\ \text{cm}$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)求这条底边上的高。## 五、参考答案与解析选择题：1.A；$\sqrt{10\div2}=\sqrt{5}$；2.C；$\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；3.A；系数$6\div2=3$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)$\sqrt{15\div3}=\sqrt{5}$；4.B；A被开方数不能负数；C$\sqrt{\dfrac49}=\dfrac23$；D结果应为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；5.B；$\sqrt{\dfrac25}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$；6.B；$x\ge0\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)x-3>0$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)得$\(x>3\)$。填空题：1.$2\sqrt{2}$；2.$\dfrac34$；3.$\dfrac43$；4.$8$；5.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。解答题：1.（1）原式$=\sqrt{45\div5}=\sqrt{9}=3$；（2）原式$=\sqrt{\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{6}}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\times6}=\sqrt{4}=2$。2.（1）原式$=(8\div4)\times\sqrt{24\div6}=2\sqrt{4}=2\times2=4$；（2）原式$=(-6\div3)\times\sqrt{\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{15}}=-2\sqrt{\dfrac{4}{5}\times\dfrac{15}{2}}=-2\sqrt{6}$。3.（1）原式$=\dfrac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{6}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$；（2）原式$=\sqrt{\dfrac{7}{14}}=\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。4.解：三角形面积公式$S=\dfrac12ah$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)$h=\dfrac{2S}{a}$$h=\dfrac{2\times\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=2\sqrt{\dfrac{72}{8}}=2\sqrt{9}=2\times3=6$答：底边上的高为$6\ \text{cm}$。## 六、易错点总结二次根式除法四类高频丢分点。第一\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)忽略$a\ge0,b>0$条件\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)被开方数为负数直接套用除法公式；分母不能为0\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)求字母范围时容易只写$x\ge0$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)漏掉分母大于0。第二\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)混淆分子分母\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)商的算术平方根容易写成$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)颠倒上下。第三\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)忘记分母有理化\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)结果分母保留根号\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)不符合最简二次根式要求\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)考试直接扣分。第四\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)带系数除法\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)容易把系数和被开方数一起相减或相乘\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)系数相除、被开方数相除要分开计算。本节和二次根式乘法成对出现\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)是二次根式混合运算基础。做题固定流程：判断被开方数取值范围；系数相除\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)被开方数相除；根号内化简；分母有理化；检查结果是否为最简二次根式。做完可以用乘法反向验算。（全文：1231字）下一节：**3.3.1 二次根式的加减**\(a\ge0\(x\ge0，x-3>0\)b>0\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.2.2二次根式的除法授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 二次根式
01
教学目标
掌握商的算术平方根的性质：。
01
理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。
02
掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。
03
02
新知导入
计算：（1）×；（2） 2×3.
解：（1）×= = = 2.
（2）.
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
=
03
新知探究
思考
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) =__________，=__________；
(2) =__________，=__________.
猜想： ()
03
新知探究
理由：一般地，如果，则 ，
因此， （）.
设，则
.
与互为倒数.
03
新知探究
商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
03
新知探究
化简下列二次根式： (1)； (2) .
例3
解：（1） ==.
（2）.
化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式.
注意
03
新知探究
思考
等式具有对称性，即若a=b,则b=a,根据等式的对称性填空：
(1)若= ，则________________;
(2)若，则________________.
=
03
新知探究
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变.
返回
B
返回
B
03
新知探究
例4
解： （1）
（2）= .
计算：（1）；（2） .
二次根式的除法法则的推广：
03
新知探究
议一议
小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下：
（1） === 3；
（2） == 3.
你更喜欢哪种做法？
更喜欢小华的做法.因为小华的做法直接套用二次根式的除法法则,计算直接，不易出错.（答案不唯一）
03
新知探究
例5
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接
收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足 r=(其中R是地球半径). 现有两座高分别为 h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
03
新知探究
解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.
因为r=，600m=0.6km，450m=0.45km，
所以.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算÷的结果是（　　）
A．2　　　　B．　　　　C．3　　　　D．
2.如果，，那么下面各式不正确的是（　　）
A．　　　　B．　　　　
C．　　　　D．
D
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列各式化成最简二次根式正确的是（　　）
A．=　　　　B．　　　　
C．=　　　　 D．=
C
新知应用
基础巩固题
1．计算的结果为（ ）
A．9 B．3 C． D．
B
C
=
=
带分数化成假分数
新知应用
基础巩固题
3.能使等式 成立的x的取值范围是（　）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2
C
4.实数的倒数是（　　）
A． B． C． D．
A
=
新知应用
基础巩固题
B
6.计算：的值为（ ）
A．2024 B．1012 C．1 D．
C
二次根式的乘除混合运算按照从左到右的顺序进行计算
新知应用
基础巩固题
A
返回
B
返回
1
返回
返回
05
课堂小结
商的算术平方根：
二次根式的除法法则：
二次根式的除法法则的推广：
谢谢观看
THANKS

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