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# 湘教版数学八年级上册3.3.1 二次根式的加减运算 专项练习（全文1231字）## 核心考点理解同类二次根式的概念；掌握二次根式加减的运算步骤：先化简，再合并同类二次根式；能准确判断同类二次根式；区分二次根式加减与乘除运算；合并同类二次根式时，只合并根号外系数，根号与被开方数保持不变。答题要求：二次根式加减口诀：一化简，二判断，三合并；只有同类二次根式才可以合并；合并方法类似合并同类项，根号部分不变，系数相加减；计算结果必须化为最简二次根式。## 一、知识梳理1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果**被开方数相同**，这几个二次根式就叫做同类二次根式。判断前提：必须先化成最简二次根式，再看被开方数。例：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，化简后被开方数都是3，属于同类二次根式。2. 二次根式加减运算步骤：① 化简：把每一个二次根式都化为最简二次根式；② 判断：找出其中的同类二次根式；③ 合并：把同类二次根式的系数相加减，根号以及被开方数保持不变；非同类二次根式不能合并，保留原式。3. 公式示例：$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$4. 重要提醒：不是被开方数不同就不能合并，一定要先化简；非同类二次根式不能合并，不能直接把根号里面的数相加减；加减运算不能像乘除那样直接把被开方数加减。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. 下列二次根式中，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是（）A.$\sqrt{4}$ B.$\sqrt{8}$ C.$\sqrt{12}$ D.$\sqrt{20}$2. 计算$\sqrt{3}+2\sqrt{3}$结果正确的是（）A.$3\sqrt{3}$ B.$2\sqrt{6}$ C.$3$ D.$\sqrt{6}$3. 下列计算正确的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$C.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ D.$\sqrt{18}-\sqrt{2}=2$4. 化简$\sqrt{27}-\sqrt{12}$等于（）A.$\sqrt{15}$ B.$\sqrt{3}$ C.$3\sqrt{3}$ D.$2\sqrt{3}$5. 下列各组属于同类二次根式的是（）A.$\sqrt{2}$和$\sqrt{12}$ B.$\sqrt{5}$和$\sqrt{0.5}$C.$\sqrt{18}$和$\sqrt{8}$ D.$\sqrt{3}$和$\sqrt{15}$6. 计算$5\sqrt{a}-3\sqrt{a}(a\ge0)$结果为（）A.$2$ B.$2\sqrt{a}$ C.$\sqrt{2a}$ D.$8\sqrt{a}$## 三、填空题（每题6分，共30分）1.$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=$__________。2.$\sqrt{50}-\sqrt{18}=$__________。3.化简：$\sqrt{48}+\sqrt{27}=$__________。4.若最简二次根式$\sqrt{2a-1}$与$\sqrt{7}$是同类二次根式，则$\(a=\)$__________。5.$\sqrt{2}+\sqrt{8}-\sqrt{18}=$__________。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 直接合并同类二次根式：（1）$4\sqrt{7}-2\sqrt{7}+\sqrt{7}$　（2）$\sqrt{6}+3\sqrt{6}-5\sqrt{6}$2. 先化简，再计算：（1）$\sqrt{12}+\sqrt{27}$　（2）$\sqrt{50}-\sqrt{32}$3. 混合加减运算：（1）$\sqrt{18}+\sqrt{24}-\sqrt{8}$　（2）$\sqrt{45}-\sqrt{\dfrac15}+\sqrt{20}$4. 几何应用题：一个长方形相邻两边长分别是$\sqrt{12}\ \text{cm}$和$\sqrt{27}\ \text{cm}$，求长方形周长。## 五、参考答案与解析选择题：1.B；$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；2.A；系数相加$\(1+2=3\)$；3.C；$\sqrt{8}=2\sqrt{2},2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$；A、B非同类不能合并；D结果应为$2\sqrt{2}$；4.B；$\sqrt{27}=3\sqrt{3},\sqrt{12}=2\sqrt{3},3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$；5.C；$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；6.B；$5\sqrt{a}-3\sqrt{a}=2\sqrt{a}$。填空题：1.$5\sqrt{5}$；2.$2\sqrt{2}$；3.$7\sqrt{3}$；4.$4$；$2a-1=7$；5.$0$。解答题：1.（1）原式$=(4-2+1)\sqrt{7}=3\sqrt{7}$；（2）原式$=(1+3-5)\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。2.（1）原式$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；（2）原式$=5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{2}$。3.（1）原式$=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}+2\sqrt{6}$；（2）原式$=3\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}+2\sqrt{5}=\dfrac{15\sqrt{5}-\sqrt{5}+10\sqrt{5}}{5}=\dfrac{24\sqrt{5}}{5}$。4.解：周长$C=2(\sqrt{12}+\sqrt{27})=2(2\sqrt{3}+3\sqrt{3})=2\times5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$答：长方形周长为$10\sqrt{3}\ \text{cm}$。## 六、易错点总结二次根式加减运算四类高频丢分点。第一，不化简直接判断同类二次根式，看到被开方数不一样就下结论，忽略$\sqrt{8}$和$\sqrt{2}$这种情况。第二，错误合并非同类二次根式，如$\sqrt{2}+\sqrt{3}$强行合并成$\sqrt{5}$，加减不能把根号内数字相加。第三，合并时改动根号内部，只允许系数相加减，被开方数不能改变。第四，含分数被开方数的二次根式，化简时分母有理化出错，计算不彻底。本节是二次根式混合运算的基础，后面加减乘除混合运算都依赖这个规则。做题固定流程：把所有根式化成最简二次根式；识别同类二次根式；系数相加减，根号部分不变；非同类根式原样保留；最后检查是否为最简形式。做完可以代入近似小数验算，验证等式两边数值是否相等。（全文：1231字）下一节：**3.3.2 二次根式的混合运算**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.3.1二次根式的加减运算授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 二次根式
01
教学目标
理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。
01
掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。。
02
经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。
03
02
新知导入
解：（1） = = ×=2.
（2）= = ×=3.
（3）= = ×=4.
（4）= = ×=5.
化简：（1）； （2）； （3）； （4）.
观察：这四个二次根式的化简结果有什么共同特征？
共同特征：化成最简二次根式后，被开方数相同.
03
新知探究
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
关键条件：1.必须为最简二次根式（即被开方数无平方因数、分母不含根号）;
2.指数至少需要两个二次根式才能构成同类关系;
3.同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的因式无关.
03
新知探究
试一试
若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（　　）
A．11 B．13 C．3 D．2
D
合并同类项：合并时系数相加减，字母和指数不变
合并同类二次根式：合并时系数相加减，根式部分不变
03
新知探究
我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数(即同类二次根式)进行运算.
计算： (1)； (2)2.
做一做
解： (1)
=
=
=
加法结合律
03
新知探究
计算： (1)； (2)2.
解： (2)2
=2
=
=
=
乘法对加法的分配律
加法交换律和结合律，
乘法对加法的分配律
做一做
03
新知探究
思考
(1)3等于多少？
(2) 3等于多少？
被开方数不同应该怎么计算？
解： (1)
=
=
=
= 2
先将每一个二次根式化简.
03
新知探究
思考
(1)3等于多少？
(2) 3等于多少？
解： (2)
=
=
= 2
最简二次根式的被开方数不同时，不能合并.
03
新知探究
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
03
新知探究
计算： .
例1
解：
=2
=
=
返回
C
2
返回
3. 若，则 ( )
A
A. B. 5 C. D. 15
03
新知探究
做一做
先计算，再将你的结果与同学比较.
法一：解：原式
法二：解：原式
03
新知探究
例2
下是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成 . 已知大圆
和小圆的面积分别为763.02和150.72，求圆环的宽度d(π取3. 14).
03
新知探究
解：设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为由, 可知，,则
= =
==9=5（m）.
答：圆环的宽度d为5m.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算 的结果是（　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2.估算（　　）
A．在2和3之间　B．在3和4之间　C．在5和6之间　D．在8和9之间
3.下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C
A
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.当，时，则的值为　 　.
5.已知，则　 　．
6.如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则的长为　 　．
6
新知应用
基础巩固题
1.下列各组二次根式中，化为最简二次根式，被开方数相同的是（ ）
B
新知应用
基础巩固题
2.计算 的结果是( ) .
B
A.3 B. C.2 D.0
解： .
3.下列二次根式能与 合并的是( ) .
B
A. B. C. D.
系数相加减，二次根式保持不变
新知应用
基础巩固题
4.计算： ___．
解：原式 .

A
一化二找三合并
新知应用
基础巩固题
6. 计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：(1)原式=
(2)原式=
一化二找三合并
新知应用
基础巩固题
(4)原式=
(3)原式=
(5)原式=
(6)原式=
4. 若，则表示实数 的点会落在如图所示的数
轴的( )
B
A. 段①上 B. 段②上
C. 段③上 D. 段④上
返回
返回
（2） .
返回
返回
B
16
05
课堂小结
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
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