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# 湘教版数学八年级上册3.3.2 二次根式的混合运算 专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；会运用整式乘法公式（单项式乘多项式、多项式乘多项式、平方差、完全平方公式）进行二次根式计算；运算结果化为最简二次根式；能区分整式运算与二次根式运算的异同。答题要求：整式的运算法则、乘法公式在二次根式中仍然适用；运算顺序不能乱；同类二次根式最后合并；结果分母不含根号。## 一、知识梳理1. 运算顺序：和实数、整式混合运算一致。先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面。2. 常用乘法公式：平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$单项式乘多项式：$\(m(a+b)=ma+mb\)$多项式乘多项式：$\((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\)$3. 运算要点：① 二次根式的乘除优先于加减；② 能用乘法公式优先用公式简化计算；③ 每一步运算结果尽量化简；④ 最后合并同类二次根式；⑤ 最终结果必须是最简二次根式，分母不带根号。4. 重要提醒：公式中的$\(a,b\)$可以是二次根式；不要在乘除还没算完的时候就盲目合并根式；注意符号，完全平方公式中间项是$2ab$，不要漏掉系数2。## 二、选择题（每题5分，共30分）1.$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$的结果是（）A.$2$ B.$3$ C.$4$ D.$\sqrt{3}$2. 计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$等于（）A.$\sqrt{16}-\sqrt{4}$ B.$2$ C.$4$ D.$6$3.$(\sqrt{5}+2)^2$展开结果为（）A.$\(5+4=9\)$ B.$5+2\sqrt{5}+4=9+2\sqrt{5}$C.$5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$ D.$5-4\sqrt{5}+4=9-4\sqrt{5}$4. 下列计算正确的是（）A.$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$ B.$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=3\sqrt{2}$C.$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3=5$ D.$\sqrt{12}\div\sqrt{3}=4$5. 计算$(2\sqrt{3}-\sqrt{6})\div\sqrt{3}$结果是（）A.$2-\sqrt{2}$ B.$2-\sqrt{6}$ C.$1$ D.$2\sqrt{3}-\sqrt{2}$6. 化简$(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})$等于（）A.$2$ B.$12$ C.$\sqrt{2}$ D.$\sqrt{7}-\sqrt{5}$## 三、填空题（每题6分，共30分）1.$\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{3})=$__________。2.$(\sqrt{6}-3)^2=$__________。3.$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=$__________。4.$\sqrt{27}-\sqrt{3}\times\sqrt{4}=$__________。5.$(\sqrt{2}+1)^2=$__________。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 基础混合运算：（1）$\sqrt{2}(\sqrt{18}-\sqrt{2})$　（2）$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac12}\times\sqrt{12}$2. 乘法公式计算：（1）$(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})$　（2）$(2\sqrt{2}-3)^2$3. 较复杂混合运算：（1）$(\sqrt{6}-2\sqrt{15})\times\sqrt{3}-6\sqrt{\dfrac12}$　（2）$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})-(\sqrt{3}-1)^2$4. 求值题：已知$a=\sqrt{2}+1$，求代数式$a^2-2a$的值。## 五、参考答案与解析选择题：1.A；平方差$(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$；2.B；原式$=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$；3.C；完全平方展开$(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2+2^2$；4.B；A不能直接合并；C漏$2ab$项；D结果等于2；5.A；$2\sqrt{3}\div\sqrt{3}-\sqrt{6}\div\sqrt{3}=2-\sqrt{2}$；6.A；$7-5=2$。填空题：1.$9$；2.$15-6\sqrt{6}$；3.$-1$；4.$\sqrt{3}$；5.$3+2\sqrt{2}$。解答题：1.（1）原式$=\sqrt{36}-\sqrt{4}=6-2=4$；（2）原式$=\sqrt{16}+\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。2.（1）原式$=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2=10-7=3$；（2）原式$=(2\sqrt{2})^2-2\times2\sqrt{2}\times3+3^2=8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2}$。3.（1）原式$=\sqrt{18}-2\sqrt{45}-6\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}-6\sqrt{5}-3\sqrt{2}=-6\sqrt{5}$；（2）原式$=(9-5)-(3-2\sqrt{3}+1)=4-(4-2\sqrt{3})=2\sqrt{3}$。4.解：$a^2-2a=a(a-2)$，代入$a=\sqrt{2}+1$原式$=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1-2)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$。答：代数式的值为1。## 六、易错点总结二次根式混合运算四类高频丢分点。第一，运算顺序出错，先加减后乘除，违背“先乘除后加减”。第二，使用完全平方公式时漏掉中间的$2ab$项，直接写成$(a\pm b)^2=a^2+b^2$，这是最常见错误；平方差公式要分清同号项、异号项。第三，分配律漏乘，单项式乘多项式时只乘第一项，后面括号内项忘记相乘。第四，计算完成没有化简，或者分母还留有根号；合并同类二次根式出错。整式乘法公式在二次根式运算完全通用，做题固定流程：观察式子，优先用乘法公式简化；按顺序先乘方、乘除；化简所有二次根式；合并同类二次根式；检查结果是否最简。做完可以代入近似小数验算结果。（全文：1231字）下一节：**第4章 一元二次方程 4.1 一元二次方程**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.3.2二次根式的混合运算授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 二次根式
01
教学目标
理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。
01
掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。
02
通过类比整式运算，培养归纳推理能力。
03
02
新知导入
解：（1）×= =.
（2）.
二次根式的乘法法则： =
二次根式的除法法则：
计算：（1）×；（2） .
02
新知导入
计算： (1)； (2)2.
(2) 2
=2
=
=
=
解： (1)
=
=
02
新知导入
二次根式的加减的一般运算步骤：
1.化：先将每一个二次根式化简.
2.找：找出被开方数相同的二次根式.
3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变.
回顾：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？
先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的.
03
新知探究
做一做
计算：(1); (2).
解：(1)原式==
= ==.
你还有其它方法吗？
03
新知探究
解：(1)原式==
= =
=.
03
新知探究
二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.
解：(2)原式=
=
=.
B
2. 从“，， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“
”中的“ ”内，使其运算结果最大，
则应选择的运算符号是( )
C
A. B. C. D.
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3．[张家界市期末]如图，矩形内有两个
相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中
阴影部分的面积为___.
2
03
新知探究
计算：(1); (2).
例3
解： (1)原式.
(2)
可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
03
新知探究
计算：.
例4
解：原式
=
03
新知探究
计算：(1); (2).
例5
解：(1)原式
=
=
怎么将分母有理化？
分子与分母同乘，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
03
新知探究
计算：(1); (2).
例5
解：(2)原式
+
=
=
03
新知探究
分母有理化：
1.形如： .
2.形如： .
3.形如： .
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.化简的结果是(　　).
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2.估计的值应在（　　）
A．2到3之间　　B．3到4之间　　C．4到5之间　　D．5到6之间
D
B
04
课堂练习
3.点在数轴上的位置如图所示，则可以近似表示运算结果的点是（　　）
A．点　　　　
B．点　　　　
C．点　　　　
D．点
C
新知应用
基础巩固题
1.计算 的结果是( ) .
C
A.5 B. C. D.
解：原式
2.计算 的结果是( ) .
A
解：原式
A. B. C.2 D.
新知应用
基础巩固题
3.计算： ____．

4.计算： ____．
解：
新知应用
基础巩固题
5.下列计算中正确的是（ ）
B
6.计算：
___．
10
解：原式
平方差公式：(x+y)(x-y)=x2-y2
新知应用
基础巩固题
7.计算：
___________．

解：原式
.
完全平方公式：(xy)2=x22xy+y2
返回
返回
D
返回
返回
7.已知，则 化简
的结果为_________.
05
课堂小结
分母有理化：
1.形如： .
2.形如： .
3.形如： .
谢谢观看
THANKS

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