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# 湘教版数学八年级上册4.1.2 三角形的高、中线和角平分线 专项练习（全文1231字）## 核心考点理解三角形的高、中线、角平分线的概念；能画出任意三角形的三条高、三条中线、三条角平分线；掌握三条中线交于重心，重心分中线的比为2:1；利用中线求三角形面积、边长；区分高、中线、角平分线，明确高不一定在三角形内部；结合简单几何推理解题。答题要求：高：从顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间线段；中线：顶点到对边中点的线段；角平分线：平分内角交对边的线段；三条中线交于重心；中线把三角形分成面积相等的两个小三角形；钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形两条高为直角边。## 一、知识梳理1. 三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高是直角边；钝角三角形两条高在外部。三条高所在直线交于一点。2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。一个三角形有三条中线，交于一点，这个点叫做重心。三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形；重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍。3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于一点。注意：三角形角平分线是线段，角的平分线是射线。4. 重要提醒：高是垂线段，必须有垂直符号；看到中线立刻得到线段相等，面积平分；不要混淆“角平分线（线段）”和角平分线射线。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. 下列说法正确的是（）A.三角形的高都在三角形内部B.三角形三条中线交于一点C.三角形的角平分线是一条射线D.直角三角形没有高2. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，则一定成立的是（）A.$AD\perp BC$ B.$\angle BAD=\angle CAD$ C.$\(BD=CD\)$ D.$\(AB=AC\)$3. 若$AD$是$\triangle ABC$的高，则$\angle ADB$等于（）A.$60^\circ$ B.$90^\circ$ C.$120^\circ$ D.$180^\circ$4. 三角形的重心是（）A.三条高的交点B.三条角平分线交点C.三条中线交点D.三边垂直平分线交点5. $AD$是$\triangle ABC$中线，$\triangle ABC$面积为$10$，则$\triangle ABD$面积为（）A.$20$ B.$10$ C.$5$ D.不确定6. 钝角三角形的高有几条在三角形外部（）A.$0$条B.$1$条C.$2$条D.$3$条## 三、填空题（每题6分，共30分）1. 在$\triangle ABC$中，$AD$是角平分线，$\angle BAC=80^\circ$，则$\angle BAD=$__________。2. $BE$为$\triangle ABC$中线，$\(AC=6\)$，则$\(AE=\)$__________。3. 三角形的重心把一条中线分成两段，较短段与较长段之比为__________。4. $AD$是$\triangle ABC$的高，若$\angle B=35^\circ$，则$\angle BAD=$__________。5. $\triangle ABC$面积是$24$，$AD$是中线，$DE$是$\triangle ABD$中线，则$\triangle ADE$面积为__________。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 识图填空：在$\triangle ABC$中，$AE$是中线，$AD$是高，$AF$是角平分线。（1）$\(BE=\)$__________；（2）$\angle ADB=$__________；（3）$\angle BAF=$__________。2. 已知：$AD$是$\triangle ABC$的中线，$\(AB=8\)$，$\(AC=6\)$，$\triangle ABD$周长为$18$，求$\triangle ACD$的周长。3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，$AE$是角平分线，$\angle B=30^\circ$，$\angle C=70^\circ$，求$\angle DAE$度数。4. 几何说理题：求证：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分。## 五、参考答案与解析选择题：1.B；A钝角三角形高在外部；C三角形角平分线是线段；D直角三角形两条高是直角边；2.C；中线定义，平分底边；3.B；高垂直底边；4.C；重心定义；5.C；中线平分面积；6.C；钝角三角形两条高在外。填空题：1.$40^\circ$；2.$3$；3.$\(1:2\)$；4.$55^\circ$；5.$6$。解答题：1.（1）$EC$；（2）$90^\circ$；（3）$\angle CAF$。2.解：$AD$为中线，$\(BD=CD\)$。$C_{\triangle ABD}=AB+BD+AD=18$，$\(AB=8\)$，则$\(BD+AD=10\)$。$C_{\triangle ACD}=AC+CD+AD=6+10=16$。答：周长为16。3.解：$\angle BAC=180^\circ-30^\circ-70^\circ=80^\circ$，$AE$平分$\angle BAC$，$\angle C\(AE=\)40^\circ$。$AD$是高，$\angle CAD=90^\circ-70^\circ=20^\circ$。$\angle D\(AE=\)\angle CAE-\angle CAD=20^\circ$。答：$\angle D\(AE=\)20^\circ$。4.证明：设$AD$为$\triangle ABC$中线，则$\(BD=CD\)$。$AD$是$\triangle ABC$的高，$\triangle ABD$与$\triangle ADC$同高。$S_{\triangle ABD}=\dfrac12 BD\cdot h$，$S_{\triangle ADC}=\dfrac12 CD\cdot h$，$\(BD=CD\)$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}$。## 六、易错点总结三角形高、中线、角平分线四类高频丢分点。第一，混淆三种线段概念，看到中线以为垂直，看到角平分线以为平分边长；只有等腰三角形顶角平分线才同时是高与中线。第二，画高易错，钝角三角形钝角两边上的高要画到边的延长线上，漏写垂直符号。第三，重心性质记反，误记重心到顶点距离：到中点距离=\(1:2\)。第四，面积推理题，忽略“同高三角形面积之比等于底边长之比”，连续中线分割面积容易计算错误。本节是三角形几何推理入门，为后面全等三角形、角度计算铺垫。做题固定流程：读题标记条件，看到中线立刻标记底边相等、面积平分；看到高标记直角；看到角平分线标记角相等；画图辅助分析，区分线段与射线。（全文：1231字）下一节：**4.2三角形的内角和**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.1.2三角形的高、中线和角平分线授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章 三角形学习目标
1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念
2.会用工具正确画出三角形的高、角平分线与中线；
3.学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自
主探究意识，并培养动手实践能力.
02
新知导入
回顾
三角形的内角和是多少度？小学阶段是如何证明的？
三角形的内角和等于180°.
折叠
02
新知导入
在小学，通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，得到三角形的内角和是180°.
剪拼
合作交流：你能运用初一所学的知识证明三角形的内角和是180°吗？
03
新知探究
探究一
三角形的内角和
证明：延长BC,在BC延长线上取点D,过点C作AB的平行线EF,即AB∥ EF.
∵AB∥ EF,
∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE.
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
03
新知探究
证明：过点A作BC的平行线AD,即AD∥ BC.
∵AD∥ BC,
∴∠ACB=∠CAD，∠BAD+ ∠ABC=180°.
∵∠BAC+∠CAD=∠BAD,
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°.
思考
你还有其它方法证明三角形的内角和等于180°吗？
03
新知探究
证明：在BC上取点D，过点D作AB的平行线DE,过点D作AC的平行线DF.
∵AB∥ DE, AC∥ DF,
∴∠EDC=∠B，∠DEC=∠A, ∠DEC=∠EDF,∠BDF=∠C.
∴∠A=∠EDF.
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°,
∴∠C+∠A+∠B=180°.
返回
1．用三角板画△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(　　)
C
返回
2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝10，AF＝6，则△ABC的面积是________．
120
D
返回
03
新知探究
在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
例3
解：设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C=(x+15)°，从而
3x+x+(x+15)=180，
解得x=33.
所以3x=99，x+15=48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
03
新知探究
探究二
三角形的分类
说一说
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
由于三角形的内角和等于180°，因此，一个三角形中最多有一个直角或一个钝角.
03
新知探究
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角
形叫作钝角三角形，如图所示.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
03
新知探究
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作
“Rt△ABC“.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
在图中，AC与BC都是直角边，AB是斜边.
特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
03
新知探究
探究三
三角形的外角
如图，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD. 像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角.
例如，图中的∠ACD就是△ABC的一个外角.
03
新知探究
思考
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角 ∠A，∠B之间有什么关系？
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°∠ACB，∠A+∠B=180°∠ACB.
于是∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.
由此得到：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
03
新知探究
议一议
（1） 三角形的外角具有哪些特征？
（2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？
三角形外角的特征：
（1）三角形外角的顶点是三角形的顶点;
（2）外角的一边是与它相邻的内角的一边，另一边是与它相邻内角另一条边的反向延长线.
03
新知探究
1.三角形的每一个外角和与它相邻的内角互补.
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
03
新知探究
如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数.
例4
解：∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠CAD=∠ADB∠C=98°70°=28°.
又∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=28°.
因此，∠B = 180°∠ADB∠BAD=54°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知中，，则是（　　）
A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．无法确定
2.如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（　　）
A．100°　　　　B．80°　　　　C．60°　　　　D．40°
B
B
04
课堂练习
3.某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（　　）．
A．　　　　
B．　　　　
C．　　　　
D．
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知在中，，，则是　 　（“锐角或直角或钝角”）三角形．
5.中，，那么与相邻的一个外角等于
　 　．
6.如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　度．
锐角
117°
105
新知应用
基础巩固题
1.用三角板作 的边 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的
是( ) .
B
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
新知应用
基础巩固题
2.如图，AC⊥BC，CD⊥AB ，DE⊥BC，垂足分别为点C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A.AC是△ABC的高 B.DE是△BCD的高
C. DE是△ABE的高 D.AD是△ACD的高
C
3.如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为6 cm2，则△ABD的面积为（ ）
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.12cm2
A
B
D
C
A
三角形的中线把原三角形的面积平分
新知应用
基础巩固题
4.如图，在 中， ，
是 的平分线，则 的度数为_ ____．

5.三角形的重心是三角形的( ) .
D
A.三条角平分线的交点
B.一条边的中线与另一边的高的交点
C.三条高线的交点
D.三条中线的交点
（第4题）
4.如图，在中，是 的平
分线，是的平分线，若
的度数为 ，则 的度数为
____.
【点拨】因为是 的平分线，
是的平分线，所以, 所以
.
返回
5.如图，在中，是高， 平分
， ， ，求
的度数.
【解】因为是高，所以 .所以
.
因为 ，所以 .
因为平分， ，所以
，
所以 .
返回
返回
A
返回
7．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝________．
8．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上一点，E，F分别是AD，CE的中点，且 S△ABC＝4，则△BEF的面积是________．
1
9．[张家界市期末]如图，在△ABC中，AB＞AC，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论正确的是(　　)
A．∠BAD＝∠CAD
B．AM＝DM
C．△ABD的周长等于△ACD的周长
D．△ABD的面积等于△ACD的面积
D
返回
05
课堂小结
谢谢观看
THANKS

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