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# 湘教版数学八年级上册4.2.3 定理，推论 专项练习（全文1231字）## 核心考点理解定理、推论的概念；分清定义、命题、公理、定理、推论之间的联系与区别；掌握定理是经过证明为真的命题；推论是由定理直接推出的真命题；能运用学过的定理、推论进行简单几何推理，书写证明时正确标注依据。答题要求：公理（基本事实）不需要证明；定理必须经过推理证明；推论由定理直接得到，可以直接使用；几何证明每一步依据可以写公理、定理、推论、定义、已知、等量代换等。## 一、知识梳理1. **定理**：经过推理证实为真的命题叫作定理。定理可以作为继续推理的依据。例如：“三角形内角和等于$180^\circ$”是定理。2. **推论**：由一个定理直接推出的真命题，叫做这个定理的推论。推论不需要再进行复杂证明，可以直接用来解题。由三角形内角和定理可得推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。3. **公理（基本事实）**：人们在长期实践中总结出来，不需要证明，并且作为证明其他命题的原始依据的真命题，叫做公理。如两点确定一条直线。4. 概念辨析：命题分为真命题和假命题；真命题包含公理、定理、推论；假命题不能作为推理依据。定义本身也是真命题，可以作为推理依据。5. 重要提醒：定理、推论都是真命题，但真命题不一定是定理；推论依附于对应的定理，是定理的延伸；写证明过程，不能使用没有证明的命题作为依据。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. 下列说法正确的是（）A.定理不一定是真命题B.推论需要重新完整证明才能使用C.公理不需要证明D.真命题一定是定理2. “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是三角形内角和定理的（）A.公理B.推论C.定义D.假命题3. 下列可以直接作为几何推理依据的是（）A.猜想得到的语句B.测量得出的结论C.已经证明的定理D.个人观察的结果4. 关于命题、定理、推论，说法错误的是（）A.定理属于真命题B.推论属于真命题C.假命题也可以当作推理依据D.公理是不需要证明的基本事实5. 三角形内角和定理的推论：三角形外角大于任意一个不相邻内角，用来证明（）A.线段相等B.角的不等关系C.两直线平行D.垂直关系6. 下列属于公理的是（）A.三角形内角和为$180^\circ$B.两点之间，线段最短C.对顶角相等D.三角形外角等于不相邻两内角和## 三、填空题（每题6分，共30分）1. 经过证明为真的命题叫作________；由定理直接推出的真命题叫作________。2. 公理不需要证明，定理________证明（填“需要”或“不需要”）。3. 三角形内角和定理推论：三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角的和。4. 所有定理、推论都属于________命题（填“真”或“假”）。5. 几何证明中，不能把未证明的________当作定理使用。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 判断下列语句，区分公理、定理、定义、命题：（1）两点确定一条直线；（2）三角形内角和是$180^\circ$；（3）含有未知数的等式叫做方程；（4）相等的角是对顶角。2. 写出三角形内角和定理，以及它的两条推论。3. 简单证明：已知$\triangle ABC$，$\angle ACD$是外角，求证：$\angle ACD=\angle A+\angle B$，并写出每一步依据。4. 说理题：有人说“所有真命题都可以叫定理”，判断这句话对错，并说明理由。## 五、参考答案与解析选择题：1.C；A定理一定是真命题；B推论可直接使用；D真命题不一定是定理；2.B；外角性质是内角和定理推论；3.C；猜想、测量不能作为推理依据；4.C；假命题不能作为推理依据；5.B；外角推论用来比较角大小；6.B；A、C是定理，D是推论。填空题：1.定理；推论；2.需要；3.等于；4.真；5.命题。解答题：1.（1）公理；（2）定理；（3）定义；（4）命题（假命题）。2.定理：三角形的内角和等于$180^\circ$。推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。3.证明：$\because\angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ$（三角形内角和定理），$\angle ACD+\angle ACB=180^\circ$（平角定义），$\therefore\angle ACD=\angle A+\angle B$（等量代换）。4.错误。理由：定理是经过证明，并且可以作为推理依据的真命题。有些真命题虽然成立，但不常用，不作为推理依据，不能称为定理。## 六、易错点总结定理与推论四类高频丢分点。第一，混淆公理、定理、推论。公理不用证明；定理必须证明；推论由定理直接得到，可以直接使用。第二，误以为所有真命题都是定理，只有经过证明、用来作为推理依据的真命题才叫定理。第三，使用外角推论时，忽略关键词“不相邻”，错误写为外角等于三角形任意两个内角之和。第四，证明书写时，随意自编结论当作定理使用，导致推理依据错误，考试扣分。本节承接前面定义、命题、证明，搭建几何推理框架，为后续三角形、全等证明打下基础。做题固定流程：区分概念，公理无需证明；定理需要证明；推论由定理直接推出；运用外角推论时注意“不相邻”；写证明步骤，严格选用课本给出的定义、公理、定理、推论作为依据。（全文：1231字）下一节：**4.3.1 等腰三角形的性质**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.2.3 定理，推论授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章 三角形学习目标
1.理解定理、推论的概念；（重点）
2.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.
3.了解逆定理和互逆定理的概念.（重点）
02
新知导入
回顾：你是怎么判断“三角形的内角和等于180°”为真命题的？
命题
举反例
假命题
证明
真命题
03
新知探究
定理：经过证明为真的命题叫作定理.
例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
03
新知探究
推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
回顾： “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是如何证明的？
“三角形的内角和等于180°”
“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”
三角形外角定理
03
新知探究
探究
如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
解：因为∠ACE = 180°40° = 140°，
∠CBD = 180° 60° = 120°，
∠BAF = 180° 80° = 100°，
所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°.
03
新知探究
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
三个内角度数未知时，外角和是多少？
03
新知探究
证明：如图：
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE
= (180° ∠BAC) + (180° ∠ABC) + (180° ∠ACB)
= 540° (∠BAC +∠ABC +∠ACB)
= 540° 180°
= 360°.
∵∠BAF = 180° ∠BAC,∠CBD = 180° ∠ABC,
∠ACE = 180° ∠ACB，
推论：三角形的外角和等于 360°.
03
新知探究
问题1：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？
问题2：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是什么？
问题3：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题吗？
解： “两直线平行，同位角相等”是真命题
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
它的逆命题是真命题.
平行线的性质定理1
平行线的判定定理1
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
03
新知探究
判断方法：
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
1．下列说法错误的是(　　)
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
C
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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3．三角形内角和定理的推论是_______________________________________________.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
03
新知探究
证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
例5
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥ BC.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
03
新知探究
例5
已知：如图，在△ABC 中,∠B =∠C,AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥ BC.
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD =∠B +∠C.
又∠B =∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于 AE 是∠CAD 的平分线，
因此∠CAD = 2∠DAE，
从而 2∠B = 2∠DAE，
即∠B =∠DAE.
所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
03
新知探究
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
第二步，根据命题的结论写出求证；
第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （　　）
A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实
2.下列说法正确的是（　　）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．定理一定是真命题 D．基本事实不一定是真命题
C
C
04
课堂练习
3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
A
新知应用
基础巩固题
1.命题“三角形的内角和等于 ”是( ).
C
A.假命题 B.定义 C.定理 D.基本事实
2.下列说法正确的是( ) .
B
A.真命题的逆命题是真命题 B.每个命题都有逆命题
C.每个定理都有逆定理 D.假命题没有逆命题
新知应用
基础巩固题
3.如图，证明“三角形任意两边之和大于第三边”时，得到
“ ”的依据是( ) .
D
A.通过度量线段的长度
B.过两点有且只有一条直线
C.整体大于部分
D.连接两点的所有连线中，线段最短
新知应用
基础巩固题
4.如图，下列推理正确的是( ) .
B
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
新知应用
基础巩固题
5.如图，已知直线 ， 都与直线 相交，有下列条
件： ； ； ；
．其中，能得出结论 的是
___________．（填序号）
①②③④
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4．定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等”的逆定理是________________________________________________________________________________________________．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
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5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，求证：BE∥CF.现有下列步骤：①因为∠2＝∠1；
②所以∠ABC＝∠BCD＝90°；③所以BE∥CF；④因为AB⊥BC，DC⊥BC；⑤所以∠EBC＝∠FCB.则正确的顺序是__________________．(填序号)
④②①⑤③
05
课堂小结
定理：经过证明为真的命题叫作定理.
推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
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