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# 湘教版数学八年级上册4.4 尺规作图（2）专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握尺规作已知角的平分线；理解作角平分线的作图痕迹与原理（SSS全等）；能识别角平分线作图对应的圆弧；掌握角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；会利用尺规作图完成基础作图\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)保留作图痕迹；结合全等三角形进行简单证明与计算。答题要求：尺规作图保留圆弧痕迹；作角平分线原理是SSS；角平分线上任意一点\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)到角两条边的垂线段长度相等；作图语句书写规范\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)不能使用刻度尺\(M、N\)量角器。## 一\(M、N\)知识梳理1. 尺规作已知角的平分线步骤：① 以角的顶点$O$为圆心\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)适当长为半径画弧\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)交角的两边于$M\(M、N\)N$两点；② 分别以点$M\(M、N\)N$为圆心\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)大于$\dfrac12MN$的长度为半径画弧\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)两弧在角内部交于点$P$；③ 画射线$OP$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)射线$OP$就是所求角平分线。2. 原理：连接$PM\(M、N\)PN\(M、N\)OM\(M、N\)ON$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)由作图可知$\(OM\(=\)ON\)\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)\(PM\(=\)PN\)\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)\(OP\(=\)OP\)$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\triangle OMP\cong\triangle ONP(\text{SSS})$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore\angle MOP\(=\)\angle NOP$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)即$OP$平分$\angle MON$。> 注意：第二步半径必须大于$\dfrac12MN$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)否则两弧无法在角内相交。3. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。几何语言：$\because OP$平分$\angle AOB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)点$P$在$OP$上\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$PC\perp OA\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)PD\perp OB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore PC\(=\)PD$。4. 重要提醒：距离指的是**垂线段**长度\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)不是点到边上任意线段；作图题必须保留全部圆弧；区分“作角平分线”和“作一个角等于已知角”的作图痕迹。## 二\(M、N\)选择题（每题5分\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)共30分）1. 尺规作角平分线时\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)第二步画弧半径要求是（）A.小于$\dfrac12MN$ B.大于$\dfrac12MN$ C.任意长度D.等于$OM$2. 尺规作角平分线的证明原理是（）A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS3. 已知$OP$平分$\angle AOB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)点$P$在$OP$上\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$PC\perp OA$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\(PC\(=\)4\)$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)则点$P$到$OB$距离是（）A.2 B.3 C.4 D.84. 下列关于角平分线说法正确的是（）A.角平分线上的点到角两边线段相等B.角平分线上的点到角两边垂线段相等C.角平分线是一条线段D.角平分线将角分成两个互补的角5. 用尺规作角平分线\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)作图痕迹中相等线段不包括（）A.$\(OM\(=\)ON\)$ B.$\(PM\(=\)PN\)$ C.$\(OP\(=\)OP\)$ D.$\(PM\(=\)OM\)$6. 若点$P$到$\angle AOB$两边距离相等\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)则点$P$一定在（）A.$\angle AOB$的平分线上B.$OB$边上C.$OA$边上D.$AB$的垂直平分线上## 三\(M、N\)填空题（每题6分\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)共30分）1. 尺规作角平分线的原理是利用全等判定定理________。2. 角平分线上的点到角两边的________相等。3. 作角平分线第二步\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)两弧交点必须在角的________（内部/外部）。4. 角平分线是一条________（射线/线段/直线）。5. 点$P$在$\angle AOB$平分线上\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$PC\perp OA\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)PD\perp OB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)则$\angle OCP$________$\angle ODP$。## 四\(M、N\)解答题（每题10分\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)共40分）1. 作图题：已知$\angle AOB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)用尺规作出它的角平分线\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)保留作图痕迹\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)不写作法。2. 证明题：根据尺规作角平分线的作图过程\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)求证$OP$平分$\angle AOB$。3. 计算题：已知$AD$平分$\angle BAC$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$DB\perp AB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$DC\perp AC$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\(BD\(=\)5\)$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)求$DC$的长度\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)并写出依据。4. 综合题：已知$\angle ABC$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)点$D$在角平分线上\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$DE\perp AB$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$DF\perp BC$。求证：$\(BE\(=\)BF\)$。## 五\(M、N\)参考答案与解析选择题：1.B；半径大于$\dfrac12MN$才能相交；2.B；SSS证明全等；3.C；角平分线性质\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)垂线段相等；4.B；距离特指垂线段；5.D；$PM$与$OM$不一定相等；6.A；角平分线判定。填空题：1.SSS；2.垂线段（距离）；3.内部；4.射线；5.$\(=\)$。解答题：1.解：按照三步作图\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)保留两段圆弧痕迹\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)画出射线$OP$。2.证明：由作图得$\(OM\(=\)ON\)$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\(PM\(=\)PN\)$。在$\triangle OMP$和$\triangle ONP$中\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\begin{cases}\(OM\(=\)ON\)\\\(PM\(=\)PN\)\\\(OP\(=\)OP\)\end{cases}$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore\triangle OMP\cong\triangle ONP(\text{SSS})$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore\angle MOP\(=\)\angle NOP$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)即$OP$平分$\angle AOB$。3.解：$\because AD$平分$\angle BAC$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$DB\perp AB\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)DC\perp AC$（已知）\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore DC\(=\)\(BD\(=\)5\)$（角平分线上的点到角两边距离相等）。答：$DC\(=\)5$。4.证明：$\because BD$平分$\angle ABC\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)DE\perp AB\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)DF\perp BC$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore DE\(=\)DF$。$\angle BED\(=\)\angle BFD\(=\)90^\circ$。在$\text{Rt}\triangle BDE$和$\text{Rt}\triangle BDF$中$\begin{cases}BD\(=\)BD\\DE\(=\)DF\end{cases}$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore\text{Rt}\triangle BDE\cong\text{Rt}\triangle BDF(\text{HL})$\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)$\therefore \(BE\(=\)BF\)$。## 六\(M、N\)易错点总结尺规作图（2）作角平分线四类高频丢分点。第一\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)作图时第二步半径取太小\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)两弧无法相交；作图忘记保留圆弧痕迹直接扣分。第二\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)混淆角平分线性质\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)把“垂线段相等”说成任意线段相等\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)概念理解错误。第三\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)证明原理记错\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)误写SAS\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)实际是SSS。第四\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)计算和证明题\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)忽略“垂直”这个前提条件\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)没有垂直就不能直接用角平分线性质。本节是尺规作图重要考点\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)常结合全等\(M、N\)HL综合出题。做题固定流程：牢记作图三步\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)保留圆弧；分清角平分线性质使用前提（垂直）；原理是SSS；证明线段相等优先找全等。（全文：1231字）下一节：**4.4.3 尺规作图（3）作线段的垂直平分线**\(PC\perp OA\(DB\perp AB，DC\perp AC\)PD\perp OB\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.4 尺规作图（2）授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章 三角形学习目标
1.在给出两角及其夹边，两角及其一组角对边的条件下，能够利用尺规作三角形.
2.理解用尺规“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图思路，掌握作图步骤.
02
新知导入
问题1：上节课我们学习了哪些基本的尺规作图？
问题2：它们的依据是什么？
尺规作图
已知三边作三角形
作一个角等于已知角
已知两边及其夹角作三角形
边边边
边边边
边角边
02
新知导入
问题3：除了边边边和边角边，我们还学过哪些三角形全等的判定定理？
角边角和角角边
03
新知探究
例4
已知两角及其夹边作三角形.
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
03
新知探究
A
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
作法
03
新知探究
议一议
上述例4中作出的△ABC唯一吗？试说明理由.
由全等三角形的判定定理（角边角)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形.
03
新知探究
做一做
(1)如图，已知∠α，∠β 和线段 a.求作△ABC，使∠ABC =∠a，∠ACB =∠β，AB = a.
(2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
03
新知探究
(1) 作线段 BA=a；
(2) 在BF的同侧，作∠DBF=∠α，∠EAF=∠α+∠β,射线BD与AE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形.
作法
03
新知探究
做一做
(2)你根据(1)作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
能完全重合.
1．[永州市期末]如图①，已知线
段，，求作，使 ，
，张丽的作法如图
②，则下列说法中一定正确的是( )
A
A. 作 的依据为“角边角”
B. 弧是以 的长为半径画的
C. 弧是以点为圆心， 的长为半径画的
D. 弧是以 的长为半径画的
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2. 如图是在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分．现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息用尺规作一个完整的三角形陶瓷片．(不写作法，保留作图痕迹)
【解】如图所示，△ABC即所求．
03
新知探究
过直线外一点作这条直线的平行线.如图，已知直线AB，点P不在AB上.求作过点P且与直线AB平行的直线.
例5
分析：受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”.
可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
03
新知探究
（1） 如图，过点 P 作直线 EF，与直线AB相交于点M；
（2） 以点 M 为圆心，以小于 MP的长度为半径画圆弧，交 MB于点 G，交MF于点H；
（3） 以点P为圆心，以MG（或MH）的长为半径画圆弧，交PF于点C；
（4） 以点C为圆心，以HG的长为半径画圆弧，与前弧交于点D；
（5） 连接PD，则直线PD为所求作的平行线.
作法
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件为（　　）
A．已知两角及夹边
B．已知三边
C．已知两边及夹角
D．已知两边及一边夹角
A
04
课堂练习
2.课堂上，老师出示了这样一个问题：如图①，已知∠PAB=45°，请利用尺规作∠CPA=135°．如图②是甲、乙两位同学的作法，其中正确的是（　　）
A．甲、乙均正确 B．甲正确，乙错误
C．乙正确，甲错误 D．甲、乙均错误
A
04
课堂练习
3.利用尺规作图，不能作出唯一三角形的是（　　）
A．已知两边及其中一边的对角
B．已知三边
C．已知两边及其夹角
D．已知两角及其夹边
A
新知应用
基础巩固题
1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A．已知三边
B．已知两边及夹角
C．已知两角及夹边
D．已知两边及其中一边的对角
D
新知应用
基础巩固题
2.如图，在如图1中已知∠α,∠β，线段m，求作 ABC．
作法：如图2，①作线段AB=m；②在AB的同旁作∠A=∠α,∠B=∠β，∠A与∠B的另一边交于点C．则 ABC就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．SSA
C
新知应用
基础巩固题
3. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号)
①
解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意.
②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意.
③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意.
②
③
①②③
3. 数学课上，李老师给出这样一道题：
如图①，已知直线及外一点 ，作直线
某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过
点作直线交直线于点，作 .作法步骤如下：
①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点 ，交
直线于点 ；
，使得，且经过点 （不写作法，保留作图痕迹）.
②以点为圆心，以 长为半径作弧，交于点 ；
③以点为圆心，以 长为半径作弧，
交前面的弧于点 ；
④过点，作直线，则直线 即为所求.
则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
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4.如图所示的是 .
（1）过点作直线，使得 （用尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法）；
【解】如图，直线 即为所求.
（2）在（1）的图形中，取的中点，连接.若 的
面积为4,，则直线与 间的距离为___.
【点拨】如图,因为为的中点， 的面积为4,所以
.设直线与间的距离为 ，则
.因为，所以 .
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05
课堂小结
尺规作图
已知两角及其夹边作三角形
作一个角等于已知角
过直线外一点作直线的平行线
谢谢观看
THANKS

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