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# 湘教版数学八年级上册4.5.3 等边三角形的性质和判定专项练习（全文1231字）## 核心考点掌握等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形；熟练掌握等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于$60^\circ$，是轴对称图形，有3条对称轴；掌握等边三角形三个判定方法；能区分等边三角形与等腰三角形的关系（等边三角形是特殊的等腰三角形）；结合全等、等腰三角形性质进行角度计算与几何证明。答题要求：等边三角形三个角都是$60^\circ$；判定：①三边相等；②三个角相等；③有一个角是$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形；注意：有一个角是$60^\circ$的三角形不一定是等边三角形，前提必须是等腰三角形。## 一、知识梳理1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形。2. 性质：① 三边全部相等；② 三个内角都相等，并且每一个内角都等于$60^\circ$；③ 轴对称图形，共有3条对称轴，每条对称轴都是一个角的平分线（底边上中线、高）所在直线；④ 满足等腰三角形“三线合一”，且三条边上都满足三线合一。3. 判定定理：判定1：三条边对应相等的三角形是等边三角形。判定2：三个内角都相等的三角形是等边三角形。判定3：有一个内角等于$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形。4. 几何常用模型：等边三角形内可得到多个$60^\circ$等角，常用来构造全等三角形。5. 重要提醒：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定是等腰三角形；判定3必须同时满足两个条件：等腰三角形$\(+\)$一个$60^\circ$角，二者缺一不可。## 二、选择题（每题5分，共30分）1. 等边三角形的每一个内角的度数是（）A.$30^\circ$ B.$45^\circ$ C.$60^\circ$ D.$90^\circ$2. 下列关于等边三角形对称轴数量正确的是（）A.1条B.2条C.3条D.无数条3. 在等腰三角形中，添加一个条件，不能判定为等边三角形的是（）A.有一个内角为$60^\circ$ B.三边相等C.三个内角相等D.有一个内角为$90^\circ$4. 下列说法正确的是（）A.等腰三角形是等边三角形B.有一个角是$60^\circ$的三角形是等边三角形C.等边三角形是特殊的等腰三角形D.等腰三角形有三条对称轴5. $\triangle ABC$是等边三角形，则下列式子错误的是（）A.$\(AB=BC=AC\)$ B.$\angle A=\angle B=\angle C$C.$\angle A\(+\)\angle B=120^\circ$ D.$\angle A=90^\circ$6. 三角形三内角度数之比为$\(1:1:1\)$，这个三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.不等边三角形## 三、填空题（每题6分，共30分）1. 等边三角形的三个内角都等于________。2. 有一个角是$60^\circ$的________三角形是等边三角形。3. 等边三角形有________条对称轴。4. 等边三角形三边________。5. 等边三角形________（填“满足”或“不满足”）等腰三角形三线合一性质。## 四、解答题（每题10分，共40分）1. 基础计算题：已知$\triangle ABC$是等边三角形，求$\angle A，\angle B，\angle C$的度数。2. 证明题：已知$\(AB=AC\)$，$\angle B=60^\circ$。求证：$\triangle ABC$是等边三角形。3. 几何证明：已知$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$在$BC$延长线上，$CE\parallel AB$，$\(CE=BD\)$。求证：$\triangle ACE$是等边三角形。4. 辨析说理：小明说“三个角都等于$60^\circ$的三角形是等边三角形；反过来，等边三角形三个角都是$60^\circ$”，判断这句话是否正确，分别说明理由。## 五、参考答案与解析选择题：1.C；等边三角形内角都是$60^\circ$；2.C；三条对称轴；3.D；等腰加$90^\circ$是等腰直角三角形；4.C；等边属于特殊等腰；5.D；内角无直角；6.B；三角相等，等边三角形。填空题：1.$60^\circ$；2.等腰；3.3；4.相等；5.满足。解答题：1.解：$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore\angle A=\angle B=\angle C$。三角形内角和$180^\circ$，$\therefore\angle A=\angle B=\angle C=180^\circ\div3=60^\circ$。答：三个角都是$60^\circ$。2.证明：$\because \(AB=AC\)$，$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C=60^\circ$。$\therefore\angle A=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ$。$\therefore\angle A=\angle B=\angle C$。$\therefore\triangle ABC$是等边三角形（有一个角为$60^\circ$的等腰三角形是等边三角形）。3.证明：$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \(AB=AC\)$，$\angle ABC=\angle ACB=60^\circ$。$\because CE\parallel AB$，$\therefore\angle ACE=\angle BAC=60^\circ$。$\because \(CE=BD\)$，$\(AB=AC\)$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(\text{SAS})$，$\(AC=AE\)$，又$\angle ACE=60^\circ$，$\therefore\triangle ACE$为等边三角形。4.解：这句话正确。理由：判定定理：三个内角相等的三角形是等边三角形；性质定理：等边三角形的三个内角都等于$60^\circ$。二者互为正反表述。## 六、易错点总结等边三角形性质和判定四类高频丢分点。第一，判定定理记忆漏洞，忽略“等腰”前提，直接认为只要有一个角是$60^\circ$就是等边三角形。第二，混淆等腰与等边三角形的对称轴数量，等边三角形是3条，普通等腰三角形只有1条。第三，角度计算错误，在等边三角形结合外角、平行线综合题中，不会找$60^\circ$等角构造全等。第四，概念混淆，误认为等腰三角形就是等边三角形。等边三角形常作为几何大题背景，构造全等模型，是期末必考题型。做题固定流程：看到等边三角形，直接标记三边相等、三角均为$60^\circ$；判定等边优先看条件，分清三条判定；注意等边属于特殊等腰，可以使用等腰三角形所有性质。（全文：1231字）下一节：**4.6 小结与复习（三角形单元复习）**，同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册4.5.3等边三角形的性质和判定授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第4章 三角形学习目标
1.探索等边三角形的性质和判定；
2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.
02
新知导入
回顾1：等腰三角形的性质定理和判定定理是什么？
等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
02
新知导入
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）.
02
新知导入
回顾2：什么是等边三角形？
三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.
回顾3:等边三角形是等腰三角形吗？
等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.
等边三角形具有等腰三角形的全部性质
02
新知导入
等腰三角形是轴对称图形
等边三角形具有三条对称轴
等边三角形是轴对称图形
思考：等边三角形有多少条对称轴？
03
新知探究
探究
等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？
猜想：三个内角相等
三个内角都为60°
你能进行证明吗？
03
新知探究
已知：△ABC是等边三角形.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC.
∵AB=AC，AC=BC，
∴∠B=∠C，∠A=∠B (等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C.
又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和为180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
03
新知探究
等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.
几何语言
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的性质定理).
03
新知探究
说一说
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
等边三角形的三个角相等的逆命题是什么？
三个角都相等的三角形是等边三角形
03
新知探究
解：逆命题成立.
如图，在△ABC中，由于∠A=∠B，
则AC=BC.
同理可由∠B=∠C得AB=AC.
于是AB=AC=BC.
因此△ABC 是等边三角形.
03
新知探究
等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言
∵∠A=∠B=∠C,
∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
03
新知探究
思考
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
三角形有三个角，你能确定哪个角是60°吗？
所以应该怎么做？
分类讨论
03
新知探究
解：如图，在△ABC中，AB=AC.
情形1 设∠A＝60°.
根据三角形内角和定理得
∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.
由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°
于是△ABC 是等边三角形.
03
新知探究
情形2 设∠B＝60°.
由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，
从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°
因此△ABC 是等边三角形.
情形3 设∠C＝60°.
与情形2类似，
同理可证△ABC 是等边三角形.
综上所述，△ABC 是等边三角形.
03
新知探究
等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°,
∴ △ABC是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).
1. 如图，直线 ，等边
三角形的两个顶点， 分别落在直
线，上，若 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
105°
返回
03
新知探究
如图，△ABC 是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长
例4
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC=60°（等边三角形的性质定理）.
因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE，
所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.等边三角形的对称轴有（　　）条
A．2 B．3 C．4 D．1
2.已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3.以下三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
B
C
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，若AB=AC=BC=DB，则∠D的度数为　 　．
30°
新知应用
基础巩固题
1.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　　)
A．20° B．25° C．30° D．35°
C
2.如图，已知等边三角形ABC的周长为18 cm，△ADE是等边三角形，EC＝2 cm，则△ADE的周长为________.
12cm
等边三角形的各角都等于60 .
等边三角形的三条边都相等
三线合一
新知应用
基础巩固题
3.如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且AE＝AD，则∠BAD的度数为____，∠CDE的度数为____.　
30°
15°
4.如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1＝15°，则∠2的度数为(　　)
A．25° B．55°
C．45° D．35°
C
新知应用
基础巩固题
5.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
新知应用
基础巩固题
6.在等边三角形ABC内任取一点0，作OE// AB,OF // AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗 为什么
解:△OEF是等边三角形.
理由:如图.因为△ABC是等边三角形，
所以∠B=∠C=60°
因为OE// AB,OF // AC,
所以∠1=∠B=60°,∠2=∠C=60°，
所以∠0=180°-∠1-∠2=60°，
所以△OEF是等边三角形.
等边三角形的各角都等于60 .
找同位角、内错角、同旁内角.
3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________.
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4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证：
(1)△BCD≌△ACE；
【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)．
返回
(2)∠ABD＝∠AED.
【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC.
因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED，
所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED.
因为△ABC和△CDE都是等边三角形，
所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED.
05
课堂小结
等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.
等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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