资源简介

3.1 列代数式表示数量关系
知 识 点 梳 理
2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册
第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系
一、学习导航
课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求「借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义」「能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示」「能根据代数式所表示的数量关系解决简单的实际问题，体会代数推理」。
学习目标：
1. 理解代数式的意义，能判断一个式子是不是代数式；
2. 掌握代数式的书写规范，能辨认并改正常见的书写错误；
3. 会根据文字叙述、实际情境列代数式，会用代数式表示运算规律与图形规律；
4. 能说出一个代数式所表示的实际意义，发展符号意识与应用意识；
5. 理解正比例关系与反比例关系的意义，能判断两个量成什么比例关系。
本节在教材中的地位：
本节对应人教版（2024）数学七年级上册第三章 3.1 节（教材第 73—81 页），下辖「代数式」「列代数式」「反比例关系」三个课时；第三章的「阅读与思考」栏目为「数字1与字母X的对话」（教材第 82 页），紧接着的 3.2 节是「代数式的值」。
这一节是初中「数与代数」的一次重要飞跃：前面两章研究的都是具体的数，从本节起，我们第一次用字母去表示数、用式子去刻画数量关系。「用字母表示数」使数量关系从特殊走向一般——「2+3 = 3+2」只是一个巧合，而「a+b = b+a」却是普遍成立的规律。代数式的意义、列代数式的方法、量与量之间的比例关系，正是后续学习整式、方程、函数乃至整个代数体系的起点。
课 时 核 心 内 容 关 键 方 法
第1课时 代数式 代数式的意义； 代数式的书写规范（省略乘号、数字在前、 带分数化假分数、除法写成分数等） 先认式子结构， 再按规范书写
第2课时 列代数式 用代数式表示文字叙述的数量关系； 用代数式表示实际情境中的数量关系 圈出关键字词 （和、差、倍、分、多、少）， 逐层列式
第3课时 反比例关系 成正比例关系与成反比例关系的两个量； 判别两个量之间的比例关系 看「商一定」还是 「积一定」
二、代数式的意义与概念（第 1 课时）
（一）从「用字母表示数」说起
我们知道，正方形的周长是 C = 4a，圆的面积是 S = π，加法交换律是 a+b = b+a。这里的 a、r 都是字母，它们所代表的不只是一个数，而是某一类数中的任意一个。用字母表示数，最大的好处是能把无数多个具体情形「一句话说清」。
例如：一辆汽车以每小时 60 千米的速度匀速行驶，行驶的路程 s 与时间 t 之间的关系可以写成 s = 60t。无论 t 取什么值，这个式子都成立——这就是用字母表示数带来的「一般性」。
还需要注意：字母表示的可以是任意数，也可以是满足某种条件的数。在同一个问题中，同一个字母表示同一个数，不同的量要用不同的字母表示。
（二）代数式的定义
定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。单独一个数或单独一个字母也是代数式，如 5、 3、、x、a 都是代数式。
理解这一定义要抓住两点：
（1）运算符号是关键。式子中必须含有运算符号，或者本身就是单独的一个数、一个字母。如 3a、x 1、、 都是代数式。
（2）等式、不等式不是代数式。含有「=」「>」「<」「≥」「≤」等关系符号的式子，它们是方程或不等式，不属于代数式。如 x+2 = 5、3a>b 都不是代数式。
特别提醒：π 是一个确定的数（圆周率），不是字母变量。所以 πr、2πr 都是代数式，其中 π 与 r 是相乘的关系。
（三）代数式的书写规范
代数式的写法有约定俗成的规则，写不规范就会出错，也容易产生歧义。下面把常见的书写规范整理成表：
情 形 规 范 写 法 示 例
数字与字母相乘 乘号省略不写，数字写在字母前面 a×5 → 5a；x×( 2) → 2x
字母与字母相乘 乘号省略不写（也可写成「·」） a×b → ab；m×n → mn
数字 1 与字母相乘 1 省略不写 1×a → a；a×1 → a
除 法 运 算 按分数的写法来写 a÷b → （b≠0）；1÷(a+b) →
带分数与字母相乘 先把带分数化成假分数 1×a → a（不写成 1a）
式子后面带单位 含和差且带单位时，式子要先加括号 长 (a+b) 米；周长 (4a 6) 米
一句话记忆：乘号不写、数在前；1 要省、除写；带分数化假；和差加括号。
三、列代数式（第 2 课时）
（一）什么是列代数式
用含有字母（表示数）的式子，把问题中的数量关系表示出来，就叫做列代数式。列代数式的过程，就是把「日常语言」翻译成「数学语言」的过程。
例如：「一个两位数，十位数字是 b，个位数字是 a」，翻译成代数式就是 10b+a——因为十位的 b 表示 b 个十，个位的 a 表示 a 个一。
（二）列代数式的三个步骤
第一步 读题：弄清题目中有哪些量，哪些是已知的、哪个是要表示的；
第二步 找关系：找出各量之间的运算关系（和、差、倍、分、多、少）；
第三步 列式：按运算顺序写成代数式，注意括号与单位的规范。
其中最关键的是第二步——判断「谁比谁多、谁是谁的几倍、谁与谁的商（积）一定」。列式时还要特别注意「多」「少」后面跟着的是谁：「比 a 的 2 倍少 4」是 2a 4，而不是 2(a 4)。
（三）常见的数量关系与列式
类 型 数 量 关 系 代 数 式
和差倍分 a、b 两数的和 / 差 / 积 / 商 a+b；a b；ab；（b≠0）
倍 与 分 x 的 3 倍；x 的一半 3x；（或 x）
多 与 少 比 x 的 2 倍多 5 的数；比 x 的 3 倍少 1 的数 2x+5；3x 1
百 分 率 某量为 a，增长 20% 后的值；降价 15% 后的值 1.2a；(1 15%)a = 0.85a
面 积 体 积 长方形（长 a、宽 b）；三角形（底 a、高 h） ab；ah
行 程 问 题 路程 s、速度 v、时间 t 三者关系 s = vt；v = ；t =
工 程 问 题 工作总量 W、工作效率 m、工作时间 n W = mn；n =
写代数式时，「的一半」「的 」这类要写成乘分数的形式；遇到「和、差」再整体去乘（除）时，一定要加括号，如「a 与 b 的和的一半」是 ，而不是 a+。
四、代数式表示的实际意义
会用代数式表示数量关系，还要能反过来说出一个代数式表示的实际意义。这与列代数式是互逆的两个方向。
例：体育用品店中，一副羽毛球拍 a 元，一个羽毛球 b 元。请说出下列代数式的意义：
（1）2a：买 2 副羽毛球拍所需的钱数；
（2）a+3b：买 1 副羽毛球拍和 3 个羽毛球所需的钱数；
（3）2a+5b：买 2 副羽毛球拍和 5 个羽毛球所需的钱数。
需要注意的是：同一个代数式在不同情境中可以有不同的实际意义。例如 3a 既可以表示「a 的 3 倍」，也可以表示「边长为 a 的等边三角形的周长」（当 a 表示边长时）。解释意义时要结合题目给定的情境。
五、正比例关系与反比例关系（第 3 课时）
（一）成正比例关系的两个量
如果两个量 x 与 y 满足：它们的商（比值）是一个不等于零的定值，即 = k（k 为常数，k≠0），那么 x 与 y 就成正比例关系，k 叫做比例系数。
例如：单价一定的商品，总价 = 单价 × 数量，总价与数量的商等于单价（一定），所以总价与数量成正比例关系。
成正比例关系的两个量，一个量增大，另一个量也随着增大（k>0 时）。
（二）成反比例关系的两个量
如果两个量 x 与 y 满足：它们的积是一个不等于零的定值，即 xy = k（k 为常数，k≠0），那么 x 与 y 就成反比例关系。
例如：工作总量一定时，工作总量 = 工作效率 × 工作时间，所以工作效率与工作时间的积是一个定值，它们成反比例关系。
成反比例关系的两个量，一个量增大，另一个量随着减小。这也是「反」字的由来——变化的方向是相反的。
（三）判别方法与对比
关 系 条 件（判别依据） 关 系 式 变化趋势
正比例关系 两个量的商一定（比值一定） = k（k≠0） 一个量增大，另一个也增大
反比例关系 两个量的积一定 xy = k（k≠0） 一个量增大，另一个就减小
判别三步走：① 看两个量之间能不能写出关系式；② 把关系式整理成「积」或「商」的形式；③ 看这个积（或商）是不是定值。商一定 → 正比例；积一定 → 反比例；两者都不是 → 不成比例关系。
要注意几个常见的「不成比例」情形：「已读页数与未读页数」（和一定，不是积或商一定）、「一个人的年龄与他妈妈年龄的差」（差一定），这类两个量之间没有固定的积或商，所以不成比例关系。
六、用代数式表示规律
（一）数的规律
面对一列有规律排列的数，可以先写出前几项，寻找变化的规律，再用含 n 的代数式表示第 n 项。常见规律有三类：
（1）等差型：相邻两项的差相同。如 2，5，8，11，…，每次加 3，第 n 项是 3n 1；
（2）倍数型：相邻两项的比相同。如 2，4，8，16，…，第 n 项是 ；
（3）平方型：项与序号 n 的平方有关。如 1，4，9，16，…，第 n 项是 。
（二）图形规律
图形规律题的关键是「转化为数」：数一数第 1、2、3 个图形各用了多少个基本元素（棋子、纸片、火柴棒等），把图形问题变成数列问题，再按上面的方法找规律。
例：用同样大小的黑色正方形纸片拼图，第 1 个图形用 3 张，第 2 个图形用 5 张，第 3 个图形用 7 张，……可以发现后一个图形总比前一个多 2 张，且 3 = 2×1+1，5 = 2×2+1，7 = 2×3+1，所以第 n 个图形用 (2n+1) 张。
七、易错点辨析
易 错 情 形 错 误 写 法 正 确 写 法 / 说 明
乘号与数的位置 a5；x×3 5a；3x（数字在前，乘号省略）
带分数表示 1a a（先化假分数）
除法表示 a÷b （写成分数线形式）
和差带单位 a+b 米 (a+b) 米（和差要加括号）
「少」的对象 「比 a 的 2 倍少 4」写成 2(a 4) 应为 2a 4，比的是「2 倍的结果」
「一半」的位置 「a 与 b 的和的一半」写成 a+ 应为 ，先求和再取一半
比例关系判别 见到两个量就说是正比例 必须看「商一定」还是「积一定」
八、数学文化小站
阅读与思考 · 数字 1 与字母 X 的对话（教材第 82 页）
教材用一段「数字 1 与字母 x 的对话」来揭示用字母表示数的意义。数字 1 自豪地说：「我最有用了，什么数都要从我开始。」字母 x 却说：「你虽然重要，可缺了我，很多话就说不清楚。」这场对话点出了代数的起点——只有用字母表示数，才能把规律一般化地表达出来。
试想：加法交换律如果用数字写，只能写成「1+2 = 2+1」「3+5 = 5+3」……这样的例子永远写不完；可是写成「a+b = b+a」，就把所有情形一次性说清了。这正是字母的力量——用一个式子，囊括无穷多种情况。
在代数式的书写中，字母与数字的地位也暗含这层道理：数字 1 与字母相乘时 1 可以省略（1·a 记作 a），说明字母是主角；但 1 又无处不在——正因为有了 1，我们才能定义幂 = a、才能让运算有起点。数字与字母，一个具体、一个一般，二者配合，才有了代数的世界。
九、知识网络与口诀
本讲知识可以概括成一条主线：
用字母表示数 → 代数式（意义 + 书写规范）→ 列代数式（翻译数量关系）→ 反比例关系（量与量的比例）→ 用代数式表示规律。
口诀一（书写）：乘号不写、数在前；1 要省、除写线；带分数化假；和差加括号。
口诀二（列式）：先读题、再找关系、后列式；和差倍分抓字眼，多与少前要看清。
口诀三（比例）：商一定，正比例；积一定，反比例；两都不是不成比。
口诀四（规律）：先写几项找变化；等差逐项加，等比成倍乘，平方配平方。
十、达标自测
1. 下列各式中，是代数式的是 ____________（填序号）：① 3x 1 ② a+b=b+a ③ ab ④ x≤5。
2. 用代数式表示：比 m 的 3 倍少 2 的数是 ____________。
3. 一个数的 是 a，则这个数是 ____________。
4. 若 x 与 y 成反比例关系，且当 x = 3 时 y = 8，则 y 与 x 的关系式是 ____________。
5. 用规范的写法表示：m×4 应写作 ____________。
6. 一个长方形的长是 2a，宽是 a，则它的面积是 ____________。
7. 观察一列数：3，6，9，12，……，按此规律，第 n 个数是 ____________。
8. 若 ab = 15（a、b 均不为 0），则 a 与 b 成 ____________ 比例关系。
自测答案：
1. ①③。② 含等号，是等式；④ 含不等号，是不等式；二者都不是代数式。
2. 3m 2。先算 m 的 3 倍，再减去 2，注意「少 2」减的是「3 倍的结果」。
3. 。设这个数为 x，则 x = a，所以 x = a÷ = 。
4. y = 。因为 x 与 y 成反比例关系，所以 xy 是定值，由 3×8 = 24 得 xy = 24。
5. 4m。数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号省略不写。
6. 2。长方形的面积为长 × 宽 = 2a·a = 2。
7. 3n。第 1 项 3 = 3×1，第 2 项 6 = 3×2，第 3 项 9 = 3×3，故第 n 项为 3n。
8. 反。a 与 b 的乘积是一个定值（15），所以它们成反比例关系。

展开更多......

收起↑