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(共25张PPT)
第3章 圆的基本性质
3.3垂径定理（第1课时）
（浙教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理的形成
过程，能准确复述垂径定理内容。
掌握垂径定理的几何证明思路，分清定理的条件：直径（过圆心）
垂直于弦，结论：平分弦、平分弦所对的两条弧，识别弧中点的定
义。
能运用垂径定理完成简单几何推理，会利用直尺和圆规作一条已知
弧的中点，解决基础线段、弧相等的证明问题。
02
新知导入
赵州桥
37m
7.23m
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
我国历史上著名的赵州桥建于隋开皇大业年间（595～605），桥长 64.4 m，是世界上现存跨径最大、保存最完整的单孔敞肩型石拱桥。你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？
03
新知讲解
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
03
新知讲解
合作学习
在透明纸上任意作一个圆和这个圆的一条弦AB，再作一条和弦AB垂直的直径CD，CD与AB相交于点E（如图）。然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，
你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？你能将你的发现归纳成一般的结论吗？
·
O
A
B
C
E
D
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
点: A与B重合
03
新知讲解
垂径定理
·
O
A
B
D
C
E
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
03
新知讲解
证明
·
O
A
B
D
C
E
已知：在☉O中，CD 是直径，AB 是弦，AB⊥CD，垂足为 E. 求证：AE = BE， ， .
证明：连接 OA、OB、CA、CB，则 OA = OB，
即△AOB 是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AE = BE，
∠AOC = ∠BOC.
从而 ∠AOD = ∠BOD.
03
新知讲解
利用信息技术工具，验证垂径定理。
03
新知讲解
归纳
·
O
A
B
D
C
E
分一条弧成相等的两条弧的点，叫作这条弧的中点。
例如，图中，C是的中点，D是的中点。
03
新知讲解
试一试
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
03
新知讲解
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
归纳总结
03
新知讲解
垂径定理成立的条件
一条直线满足:
①过圆心；
②垂直于弦.
温馨提示
03
新知讲解
例1
已知 ，用直尺和圆规作这条弧的中点.
E
1. 连结AB;
2. 作AB的垂直平分线CD,交 与点E;
作法:
∴点E就是所求 的中点.
分析:要平分 ,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
03
新知讲解
例2
一根排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16。求截面圆圆心O到水面的距离OC。
解: 由题意，OC⊥AB,
则AC=BC==×16=8
由勾股定理得:
答: 截面圆圆心O到水面的距离为6.
04
课堂练习
1. 如图，AB是☉O的直径，AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确
的是（　B　）
A. CE＝DE B. AE＝OE
C. ＝ D. △OCE≌△ODE
B
04
课堂练习
2. 如图，在☉O中，CD是☉O的直径，AB⊥CD于点E. 若AB＝6，
OE＝ ，则☉O的直径为（　D　）
A. B. 2 C. 4 D. 8
D
04
课堂练习
3.如图，OE⊥AB 于 E，若 ☉O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
16
O
A
B
E
·
04
课堂练习
4. 如图，在☉O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，
OE⊥AC于点E，连结OA. 若AB＝8cm，AC＝6cm，则OA
＝ cm.　
5　
04
课堂练习
5. 如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD于点F，AE＝
1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（1） OF的长；
解：（1） 因为AE＝1cm，BE＝5cm，所以AB＝AE＋BE＝1＋5＝6
（cm）.所以OA＝ AB＝3cm.所以OE＝OA－AE＝3－1＝2（cm）.
因为OF⊥CD，∠DEB＝30°，所以在Rt△OFE中，
OF＝ OE＝ ×2＝1（cm）
04
课堂练习
5. 如图，☉O的直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD于点F，AE＝
1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：
（2） 弦CD的长.
解：（2） 连结OD. 由（1），得OD＝OA＝3cm，OF＝1cm.在Rt△OFD中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝2 （cm）.因为OF⊥CD，所以CD＝2DF＝4 cm
05
课堂小结
垂径定理
·
O
A
B
D
C
E
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
06
板书设计
3.3垂径定理（第1课时）
垂径定理：
Thanks!
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