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(共24张PPT)
第3章 圆的基本性质
3.5圆内接四边形
（浙教版）九年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
理解圆内接四边形、四边形外接圆的定义，掌握圆内接四边形对角
互补的性质定理。
能运用圆周角定理推导证明圆内接四边形对角互补，会利用该性质
进行角度计算与简单推理。
在定理探究与证明过程中，体会转化思想，提升圆中几何推理、逻
辑表达的能力。
02
新知导入
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？
03
新知讲解
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。
定义
如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆.
03
新知讲解
任意画一个圆，在圆上依次取四个点A，B，C，D，连结AB，BC，CD，DA。
请测量四边形 ABCD 中任意一组对角的度数，计算它们的和。你发现了什么？你的同伴是否有同样的发现？
合作学习
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180 .
03
新知讲解
如何证明你的猜想呢？
思考
因为∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α，
同理，
证明:连接 OB，OD．
所以∠A+ ∠C= （ ∠α + ∠β ）=180
所以∠A= ∠β， ∠C = ∠α
又因为∠α+∠β=360
所以∠B+ ∠D=180
α β
03
新知讲解
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
符号语言：
如图，因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
说明：每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆.
03
新知讲解
利用信息技术工具，验证圆内接四边形的性质定理。
03
新知讲解
思考
C
O
D
B
A
因为弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
所以∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
因为∠BCD＋∠DCE＝180°.
所以∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
03
新知讲解
推论：
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
03
新知讲解
例1
已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。求证：DB＝DC。
分析：要证明 DB＝DC，只需证明∠DBC＝∠DCB。根据“在同圆中，同弧所对的圆周角相等”，得∠DBC＝∠DAC。又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”，可得∠DCB＝∠DAE。而已知∠DAC＝∠DAE，
这就证明了∠DBC＝∠DCB。
03
新知讲解
例1
已知：如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC的外接圆交于点D。求证：DB＝DC。
证明：因为AD是∠EAC的平分线，
所以∠DAC＝∠DAE。
因为四边形ABCD内接于圆O，
所以∠BAD＋∠DCB＝180（° 圆内接四边形的对角互补），
所以∠DCB＝∠DAE（根据什么？）。
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
得∠DCB＝∠DBC，
所以DB＝DC。
03
新知讲解
例2
如果要把横截面直径为30 cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15 m，问：锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：设原木的横截面为☉O（如图）。要使锯出
的木材的横截面正方形 ABCD 尽可能地大，正方形
ABCD 应内接于☉O。由正方形 ABCD 四个内角都是
直角，得它的两条对角线是☉O 的两条直径，且这两条
直径互相垂直。所以只要在☉O 内作两条互相垂直的
直径AC和BD，就可以作出☉O的内接正方形ABCD。
03
新知讲解
例2
当原木的直径为30 cm时，AO＝BO＝15 cm，
正方形ABCD的面积为4××AO×BO＝4××15×15＝450（cm2）
＝4.50×10-2（m2）。
所以木材的体积为4.50×10-2×15＝0.675（m3）。
答：如图，沿正方形 ABCD 的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材。如果这根原木长15 m，那么锯出木材的体积为0.675 m3。
04
课堂练习
1. 如图，四边形ABCD内接于☉O，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（　D　）
A. 70° B. 110° C. 120° D. 140°
D
04
课堂练习
2. 如图，☉C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的
坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠M＝120°，则☉C的
半径为（　C　）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 3
C
04
课堂练习
3. 如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点
E，BA与CD的延长线交于点F. 若∠DCE＝80°，∠F＝25°，则
∠E的度数为 .
45°　
04
课堂练习
4. 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且 的度数为50°，则∠E
＋∠C＝ .
155°　
04
课堂练习
5. 如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线相交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C的度数.
解：因为∠ABC＝100°，所以∠ABP＝180°－∠ABC＝180°－
100°＝80°.因为∠P＝30°，所以∠DAB＝∠P＋∠ABP＝30°＋
80°＝110°.所以∠C＝180°－∠DAB＝180°－110°＝70°
05
课堂小结
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补.
每一个圆都有无数个内接四边形,但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆.
圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
06
板书设计
3.5圆内接四边形
圆内接四边形：
Thanks!
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