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同步探究学案
课题 数学活动：哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过数学活动探究两个正数和一定时，乘积的变化规律，用二次函数解释结论． 2.读懂刹车距离实际函数模型，感受函数在生活中的应用． 3.经历探究猜想、建模验证的完整过程．
重点 利用二次函数解释“和定积最大”规律；读懂刹车距离的数据，开展探究．
难点 从数字、表格数据抽象出二次函数模型，完成猜想与验证．
探究过程
导入新课 【引入思考】 前面我们学习了二次函数的知识，今天我们通过两个数学活动，用二次函数去探究数字规律和现实生活中的实际问题．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助二次函数，探究数字规律并解决实际生活动中的刹车距问题。 活动1：哪个积最大 (1)观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)，猜想其中哪个积最大： (2)观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大： 对于(1)(2)，你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 归纳：两个正数，和固定不变时，当两数相等，它们的乘积最大. 解决方法：可以构造二次函数，利用二次函数开口方向、顶点求最值. 本质：和定积最大，二次函数模型解决最值问题. 活动2：刹车距离与刹车时车速的关系 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： 刹车时车速/(km·h-1)404856647280刹车距离/m1722.427.935.343.452.8
(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为，已知这条高速公路限速.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶 归纳： 1.实际问题中，先描点，根据图像形状判断函数类型； 2.待定系数法求二次函数解析式，得到近似模型； 3.代入数值解方程，把实际问题转化为二次函数、一元二次方程求解； 4.结果要结合实际意义取舍（速度取正数），最后回归实际问题做出判断.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（ ） A． B． C． D． 选做题： 2．综合与实践 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【综合拓展类练习】 3．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (3)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．观察下列两个十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ，，…，，． (1)猜想：哪个积最大？直接写出你的猜想； (2)验证：请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； (3)应用：有一组直角边分别为71，79；72，78；73，77；74，76；75，75的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 选做题： 2．项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ① ② 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大． 【模型构建】 (1)如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）； 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）； 【拓展应用】 (2)现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____． 【综合拓展类作业】 3．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时）刹车距离（米）
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
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课题 数学活动：哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.通过数学活动探究两个正数和一定时，乘积的变化规律，用二次函数解释结论． 2.读懂刹车距离实际函数模型，感受函数在生活中的应用． 3.经历探究猜想、建模验证的完整过程．
重点 利用二次函数解释“和定积最大”规律；读懂刹车距离的数据，开展探究．
难点 从数字、表格数据抽象出二次函数模型，完成猜想与验证．
探究过程
导入新课 【引入思考】 前面我们学习了二次函数的知识，今天我们通过两个数学活动，用二次函数去探究数字规律和现实生活中的实际问题．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助二次函数，探究数字规律并解决实际生活动中的刹车距问题。 活动1：哪个积最大 (1)观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)，猜想其中哪个积最大： (2)观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大： 对于(1)(2)，你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 解：（1）猜想：当两个乘数相等，即时，乘积最大. 理由如下： 设其中一个数的个位数字为，则另一个数的个位数字为. 两个两位数分别为：，. 设乘积为 则y== ， ∴此二次函数开口向下，顶点处取最大值. 顶点横坐标：. ∴当时，两个数为、，乘积最大. （2）猜想：时，乘积最大. 理由如下： 设第一个数后两位为，第二个数后两位为. 两个三位数：，. 设乘积为 则y== ， ∴此二次函数开口向下，顶点处取最大值. 顶点横坐标： . ∴当，两数为，乘积最大. 归纳：两个正数，和固定不变时，当两数相等，它们的乘积最大. 解决方法：可以构造二次函数，利用二次函数开口方向、顶点求最值. 本质：和定积最大，二次函数模型解决最值问题. 活动2：刹车距离与刹车时车速的关系 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： 刹车时车速/(km·h-1)404856647280刹车距离/m1722.427.935.343.452.8
(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. 解：(1)画图如图所示： (2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. 解：(2)观察图象可知，图象呈向上弯曲，函数是二次函数 设车时车速为vkm/h,刹车距离为sm. 函数解析式大致为：s= 0.0085v2 - 0.13v + 8.64 (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为，已知这条高速公路限速.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶 解：(3)s= 0.0085v2 - 0.13v + 8.64 当 s=70时，则0.0085v2 - 0.13v+8.64 =70, 解得v1≈ -77.66（舍），v2≈92.95. 92.95km/h<100km/h, ∴在事故发生时，汽车没有超速行驶. 归纳： 1.实际问题中，先描点，根据图像形状判断函数类型； 2.待定系数法求二次函数解析式，得到近似模型； 3.代入数值解方程，把实际问题转化为二次函数、一元二次方程求解； 4.结果要结合实际意义取舍（速度取正数），最后回归实际问题做出判断.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 选做题： 2．综合与实践 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 解： (1)猜想，的积最大，理由如下： 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ， ∴当时，有最大值， 故的积最大． (2)∵四边形的对角线互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 【综合拓展类练习】 3．综合与实践 问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系． 问题解决： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？ (3)若有一测速仪在汽车前处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距． 解：（1）设二次函数的解析式为代入，，得， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）， 故汽车在时刹车距离达到最大值，完全停下． 答：汽车司机踩下刹车后，时汽车完全停下． （3）当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离m， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当汽车刹车过程中，经过汽车超过测速仪且与测速仪相距．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．观察下列两个十位上的数都是1的两位数的积（个位上的数的和等于10）． ，，…，，． (1)猜想：哪个积最大？直接写出你的猜想； (2)验证：请你用所学的二次函数的知识验证你的猜想； (3)应用：有一组直角边分别为71，79；72，78；73，77；74，76；75，75的直角三角形，直接写出直角三角形的最大面积． 解：（1）猜想的积最大； （2）证明：将，，…，，, 设为，, ， ∵， ∴当时，y有最大值225， 即的积最大． （3）将直角三角形的直角边长设为， 则直角三角形的面积 ， ∴它们中最大的面积是． 故答案为：． 选做题： 2．项目式学习：从两正数和为定值，积最大探究到分蛋糕问题的研究 【材料阅读】我们计算了当两个正数和为定值，它们的积的大小对应规律，如下所示： ① ② 通过上述等式，得出结论：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大． 【模型构建】 (1)如图①，在一个网格图中用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形（矩形的四个顶点都在格点上），则围成矩形中，面积的最大值是_____，画出该矩形示意图，若绳子长为，其中n为奇数，则围成的格点矩形面积的最大值为_______（用含n的式子表示）； 结论：当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d_______（填“增大而增大”“增大而减小”或“不变”）； 【拓展应用】 (2)现准备分一块矩形蛋糕，规定只能沿着与蛋糕边缘垂直的方向横切或竖切，记切的刀数为n，分割后蛋糕块数为m，如图②，当时，，如图③，当时，；若共有26人分蛋糕，要保证至少每人分一块蛋糕，则符合条件的n的最小值为____． 答案：(1)20；；增大而减小 (2)9 解：（1）设用一根长为（每个格点之间代表）的绳子围成一个格点矩形的长为，宽为，面积为， ∴该矩形的面积为， 由题意可知取整数， ∴当或5时，面积有最大值，最大值为， 示意图如下： 若绳子长为，其中n为奇数，同理可得：该矩形的面积为， ∵n为奇数， ∴当或时，面积有最大值，最大值为； 由题意及以上过程可知：当两个正数和为定值时，两个数越接近，它们的积越大，也就意味着的值越大，矩形的面积也就越小， ∴当矩形周长为定值时，记矩形两边长分别为，，令，矩形的面积随d增大而减小； （2）设横切a刀，竖切b刀，则有，根据题意可得： 分割后的蛋糕块数为， 要使m最大，需使a、b尽可能接近， ∴当时，即，则有； 当时，即，则有； ∴n的最小值为9． 【综合拓展类作业】 3．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时）刹车距离（米）
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 解：（1）根据表格数据，依次描出点 ， 再用平滑曲线依次连接各点即可得到函数大致图象； （2）由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； 当时， 整理得， 解得 为保证安全，最高车速保留整数为千米/时； （3）由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； （4）解：将刹车距离代入函数表达式， 整理得， 解得正根， ∵， ∴事故发生时汽车没有超速行驶．
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