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# 华东师大版七年级上册3.6.2 角的比较和运算 专项练习（约1212字）## 一、知识点梳理比较角的大小两种方法：**度量法**、**叠合法**。1. 度量法：用量角器测出角度，比较度数大小。2. 叠合法：把两个角顶点重合，一条边重合，看另一条边的位置判断大小。**角平分线**：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做角平分线。若射线$OC$平分$\angle AOB$，则：$\angle AOC=\angle COB=\dfrac12\angle AOB$，$\angle AOB=2\angle AOC=2\angle COB$。角的和差：在$\angle AOB$内部作射线$OC$，则$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$；$\angle AOC=\angle AOB-\angle COB$，$\angle COB=\angle AOB-\angle AOC$。度、分、秒加减运算规则：**60进制**。加法：分满60进1度；减法：不够减时，从度借1当作60分。易错提醒：角平分线是**射线**，不是线段、直线；进行角度减法时，借位容易错（1°=60′，不是100′）；无图的角度计算题，存在多种位置情况，容易漏解；混淆角的和差，分不清角在内部还是外部。## 二、基础巩固1. 选择题（1）已知$OC$是$\angle AOB$的平分线，$\angle AOB=80^\circ$，则$\angle AOC=$（）A.$20^\circ$　B.$40^\circ$　C.$60^\circ$　D.$80^\circ$（2）下列说法正确的是（）A.角平分线是一条线段B.比较角大小只能用量角器C.若射线$OC$在$\angle AOB$内部，$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB$D.角的两边越长，角度越大2. 填空（1）比较角大小的两种方法：________、________。（2）$\angle AOB=65^\circ$，射线$OC$在角内部，$\angle BOC=20^\circ$，则$\angle AOC=$________。## 三、能力提升1. 判断对错，对打√，错打×① 角平分线是从顶点出发的射线（）② $42^\circ35'+17^\circ45'=60^\circ20'$（）③ 若$\angle AOC=\angle BOC$，则$OC$一定是$\angle AOB$平分线（）④ 叠合法比较角，顶点和一条边要重合（）2. 计算：（1）$28^\circ36'+52^\circ48'$（2）$90^\circ-36^\circ24'$3. 已知$\angle AOB=100^\circ$，$OC$平分$\angle AOB$，$OD$平分$\angle BOC$，求$\angle AOD$。## 四、列式与实际应用题1. 一个扇形零件，圆心角$\angle AOB=120^\circ$，角平分线$OC$把它分成两个角，再作$\angle AOC$的角平分线$OD$，求$\angle DOB$的度数。2. 已知$\angle AOB=70^\circ$，过顶点$O$作射线$OC$，$\angle BOC=30^\circ$，求$\angle AOC$（分两种情况）。## 五、参考答案与解析### 基础巩固1.（1）答案：B。解析：$\angle AOC=\dfrac12\angle AOB=\dfrac12\times80^\circ=40^\circ$。（2）答案：C。解析：角平分线是射线；比较角还有叠合法；角大小和边长无关。2.（1）度量法；叠合法；（2）$45^\circ$。### 能力提升1. ①√；②√；③×（OC可能在角外部）；④√。2.（1）$28^\circ36'+52^\circ48'=80^\circ84'=81^\circ24'$（2）$90^\circ-36^\circ24'=89^\circ60'-36^\circ24'=53^\circ36'$3. 解：$OC$平分$\angle AOB$，$\angle BOC=\angle AOC=50^\circ$。$OD$平分$\angle BOC$，$\angle COD=25^\circ$。$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=50^\circ+25^\circ=75^\circ$。答：$\angle AOD=75^\circ$。### 应用题1. 解：$OC$平分$\angle AOB$，$\angle AOC=\angle COB=60^\circ$。$OD$平分$\angle AOC$，$\angle DOC=30^\circ$。$\angle DOB=\angle DOC+\angle COB=30^\circ+60^\circ=90^\circ$。答：$\angle DOB=90^\circ$。2. 解：分两种情况：① $OC$在$\angle AOB$内部：$\angle AOC=70^\circ-30^\circ=40^\circ$；② $OC$在$\angle AOB$外部：$\angle AOC=70^\circ+30^\circ=100^\circ$。答：$\angle AOC=40^\circ$或$100^\circ$。## 六、专项小结角的比较和运算核心：角的两种比较方法、角平分线定义、角度和差、度分秒60进制计算。高频陷阱：只写$\angle AOC=\angle BOC$不能直接判定角平分线，必须加上射线$OC$在$\angle AOB$内部；无图题目射线可以在角内部或外部，必须分类讨论，极易漏一种答案。角度加减计算，记住60进制。加法分满60进1度；减法不够减，从度借1变成60分再计算。很多同学当成十进制计算，造成计算错误。题型主要有：角大小比较；角度加减运算；角平分线基础计算；无图分类讨论题；结合实际图形的角度计算。解题步骤：先观察射线位置，有图按图，无图分两种情况；涉及角平分线，优先写出分成两个等角；角度运算分步书写。本节和线段计算思路高度相似，线段中点类比角平分线，线段和差类比角的和差。这是几何计算重点，后续余角补角、相交线都会大量用到。做题规范：几何计算题，先写条件，再推导角度；遇到无图题，主动画出两种草图，防止漏解，规范几何书写格式。（全文：1212字）接下来写**3.6.3 余角和补角**，同样格式1212字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学七年级上册3.6.2 角的比较和运算授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 图形的初步认识情境导入
下面两个钟面上，时针与分针间的夹角谁大谁小呢？
课前回顾
【提问1】简述角的定义？
【角的静态定义】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
【角的动态定义】角可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形.
C D
A B
【提问2】已知线段AB，CD，你有哪些办法比较它们的大小？
新课讲授（角的比较大小）
【小组讨论】如图，已知∠ABC与∠DEF，用什么方法比较它们的大小.
方法一：度量法.分别用量角器测量这两个角的度数，再进行比较.
【提问3】如何使用量角器度量角的大小呢？
步骤：
1）对中.把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点重合；
2）重合.零度刻度线和角的一条边重合。
3）读数.角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
新课讲授（角的比较大小）
【小组讨论】如图，已知∠ABC与∠DEF，用什么方法比较它们的大小.
方法二：叠合法.如图，把∠DEF放在∠ABC上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF＞∠ABC.
新课讲授（角的比较大小）
【问题】两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？
∠ABC＞∠DEF
∠ABC=∠DEF
∠ABC＜∠DEF
归纳小结
角的比较法:一种是　度量　的方法；另一种是叠合的方法，即把一个角放到另一个角上，使它们的　顶点　重合，其中的　一条边　也重合，并使两个角的另一边都在重合的这一条边的　同　(填“同”或“异”)侧来比较.
度量　
顶点　
一条边　
同　
典例分析
例1 已知∠α＝27'，∠β＝0.45°，则∠α与∠β的大小关系是(　A　)
A.∠α＝∠β B.∠α＞∠β C.∠α＜∠β D.无法确定
A
新课讲授（用三角尺拼出特殊角）
【问题】利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？
45°
30°
新课讲授（用圆规和直尺画一个等于已知角）
【画图】如图，∠AOB为已知角，试按以下步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB.
步骤:①画射线O’B’；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点C；
③以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'B'于点C’；
④以点C'为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于点D’；
⑤经过点D'画射线O’A'.
知识点1 角的比较
1. 利用一副三角板比较
与 的大小，两角
顶点均与三角板某一顶点重
合.已知图①中射线与
B
A. B.
C. D. 无法判断
角的一边重合，图②中射线与 角的一边重合，则下列
判断正确的是( )
【点拨】由题图①可知 角在 内，由题图②可知
在 角内，所以 ,所以
.故选B.
2. 已知, , ,下面结论正确
的是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为
，
， ，所以 .故选C.
比较角的大小，要先统一单位，即将角统一成度或
度、分、秒的形式，不要忽略单位直接比较.
典例分析
例2 如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，在作图的痕迹中，弧FG是(　D　)
A.以点C为圆心，OD为半径的弧
B.以点C为圆心，DM为半径的弧
C.以点E为圆心，OD为半径的弧
D.以点E为圆心，DM为半径的弧
D
新课讲授（角的和差及角的平分线）
纸上画一个任意度数的角（小于180°），将纸对折，将角的两边重合，通过度量，你发现∠AOC，∠COB，∠AOB之间存在什么样的关系？
∠AOC=∠COB
∠AOB= ∠AOC+∠COB
∠AOB= 2∠AOC=2∠COB
∠AOB= ∠AOC=∠COB
【小结】两个角相加或相减，得到的和或差也是　角角，角的和差实际上是角的　度数　的和差.
　
典例分析
例3 计算:90°-78°19'40″＝　11°40'20″　；
11°23'26″×3＝　34°10'18″　.
34°10'18″　
11°40'20″　
课堂小结
从一个角的顶点引出的一条　射线　，把这个角分成两个　相等　的角，这条射线叫做这个角的平分线.
射线　
相等　
【注意】角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的两个条件：1）是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；
2）把已知角分成了两个角，且这两个角相等.
几何语言：
∵ OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠AOB= 2∠AOC=2∠COB(∠AOB= ∠AOC=∠COB)
新课讲授（角的和差及角的平分线）
【问题】如何得到一个角的平分线？
归纳方法（用量角器、折纸）：
1）借助量角器画图：以已知角的顶点为顶点，已知角的一边为边，在已知角的内部画一个度数等于已知角度数一半的角，则这个角的另一边就是已知角的平分线.
2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕在角的内部画一条射线即为已知角的平分线.
典例分析
例4 如图所示，∠AOB是一个平角，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，求∠EOF的度数.
【解】因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
所以∠EOC＝∠AOC，∠COF＝ ∠BOC.
所以∠EOF＝∠EOC+∠COF＝ ∠AOC+ ∠BOC
＝ ∠AOB＝ ×180°＝90°.
课堂测试
1．，，关于两个角的大小，下列正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
A
2．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∵，∴，故选：B．
课堂测试
3．计算：
(1)；
(2)．
（2）解：
．
【详解】（1）解：
；
3. 如图所示的网格是正方形网格，点, ,
, , 是网格线交点，则___.（填“ ”“ ”或
“=” ）
（第3题）
知识点2 利用尺规作角
4. 如图，用尺规作出了 ，作
图痕迹中弧 是( )
D
（第4题）
A. 以点为圆心， 长为半径的弧
B. 以点为圆心， 长为半径的
弧
C. 以点为圆心， 长为半径的弧
D. 以点为圆心， 长为半径的
弧
5. 如图保留了尺规作图的痕迹，我们得到的 ，
那么 的度数为____.
知识点3 角的运算
6. 已知 ，是可绕点 旋转的动射线，当
时， 的度数是( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
【点拨】分情况讨论：当在 的内部时,如图①，
；
当在的外部时,如图②， .
综上，的度数为 或 .
7. 如图，将一个三角板 角的顶点与
另一个三角板的直角顶点重合，
，则 的度数是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】因为 ， ，所以
.因为
，所以
.故选D.
8. 上午9点25分时，钟面上时针与分针所成角的度
数为_______.
【点拨】方法1:（观察法）①当时间为上午9点25分时，分针
指向数字“5”，时针指向数字“9”和“10”之间；②时针由上午9
点到9点25分所旋转的角度为 ；③指针指向
数字“5”和指向数字“9”相隔4大格，所成角的度数为
；④上午9点25分时，钟面上时针与分针所
成角的度数为 .
方法2:（作差法）①时针从0点（12点）到9点25分所旋转的
角度为 ;②分针从0分到25分所
旋转的角度为 ；③上午9点25分时，钟面上
时针与分针所成角的度数为 .
课后小结
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THANKS

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