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# 华东师大版七年级上册3.6.3 余角与补角 专项练习（约1212字）## 一、知识点梳理**余角**：如果两个角的和等于$90^\circ$（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即：若$\angle\alpha+\angle\beta=90^\circ$，则$\angle\alpha$与$\angle\beta$互余。**补角**：如果两个角的和等于$180^\circ$（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即：若$\angle\alpha+\angle\beta=180^\circ$，则$\angle\alpha$与$\angle\beta$互补。性质：1. **同角（或等角）的余角相等**；2. **同角（或等角）的补角相等**。要点：1. 互余、互补描述的是**两个角之间的数量关系**，和角的位置无关；2. 只有锐角才有余角；钝角、直角没有余角；3. 一个锐角的补角一定是钝角；直角的补角是直角；钝角没有补角。易错提醒：误认为互余、互补的角一定要相邻；把余角记成和为$180^\circ$，补角记成$90^\circ$；计算一个角的余角、补角时分不清公式；忽略钝角没有余角；等角的余角、补角性质在证明题容易写错理由。## 二、基础巩固1. 选择题（1）已知$\angle\alpha=35^\circ$，则$\angle\alpha$的余角是（）A.$55^\circ$　B.$65^\circ$　C.$145^\circ$　D.$155^\circ$（2）下列说法正确的是（）A.两个角互补，则一定是邻补角B.钝角的补角是锐角C.直角没有补角D.互余的两个角一定一个锐角一个钝角2. 填空（1）若$\angle A=42^\circ$，$\angle A$的补角=________。（2）若$\angle1+\angle2=90^\circ$，则$\angle1$与$\angle2$________。（3）同角的补角________。## 三、能力提升1. 判断对错，对打√，错打×① 互余的两个角一定都是锐角（）② 一个角的补角一定大于这个角（）③ 若$\angle1$与$\angle2$互余，$\angle2$与$\angle3$互余，则$\angle1=\angle3$（）④ $100^\circ$角存在余角（）2. 一个角的度数是$47^\circ25'$，求它的余角和补角。3. 已知一个角是它余角的2倍，求这个角的度数。## 四、列式与实际应用题1. 已知一个角的补角是它余角的3倍，求这个角的度数。2. $\angle AOB$是直角，$\angle AOC+\angle BOD=90^\circ$，说明$\angle AOC=\angle OBD$的依据。## 五、参考答案与解析### 基础巩固1.（1）答案：A。解析：$90^\circ-35^\circ=55^\circ$。（2）答案：B。解析：互补不一定相邻；直角补角是直角；互余两角都是锐角。2.（1）$138^\circ$；（2）互余；（3）相等。### 能力提升1. ①√；②×（钝角的补角小于自身）；③√；④×。2. 解：余角：$90^\circ-47^\circ25'=42^\circ35'$；补角：$180^\circ-47^\circ25'=132^\circ35'$。答：余角$42^\circ35'$，补角$132^\circ35'$。3. 解：设这个角为$x$，余角为$90^\circ-x$。$x=2(90^\circ-x)$$x=180^\circ-2x$$3x=180^\circ$$x=60^\circ$。答：这个角为$60^\circ$。### 应用题1. 解：设这个角为$x$。补角：$180^\circ-x$，余角：$90^\circ-x$。$180^\circ-x=3(90^\circ-x)$$180^\circ-x=270^\circ-3x$$2x=90^\circ$$x=45^\circ$。答：这个角是$45^\circ$。2. 解：$\because\angle AOB=90^\circ$，即$\angle AOC+\angle COB=90^\circ$，又$\because\angle AOC+\angle BOD=90^\circ$，$\therefore\angle COB=\angle BOD$（同角的余角相等）。答：依据：**同角的余角相等**。## 六、专项小结余角补角核心：概念、计算公式、两条重要性质。计算公式：$\text{余角}=90^\circ-\angle\alpha$，$\text{补角}=180^\circ-\angle\alpha$。方程思想是本节必考，题目给出倍数关系，直接设未知数列方程求解。高频易错点：互余、互补只看数量，不需要有公共顶点或公共边；钝角没有余角；直角的补角是直角。很多同学误以为互补的角必须挨在一起（邻补角），邻补角属于互补，但互补不一定邻补。性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。几何简单说理题，经常要求写这条依据，是考试书写重点。题型分类：直接求余角补角；角度加减（含度分秒）；方程应用题；利用余角补角性质说理证明。做题技巧：看到倍数关系，优先设未知数，列一元一次方程；计算时注意度分秒60进制；判断题快速判断：钝角无余角，锐角有余角也有补角。本节是几何说理入门，学会简单几何推理，为后续相交线、对顶角打基础。做题审题看清问的是余角还是补角，不要把$90^\circ$和$180^\circ$弄混；书写几何推理，规范写出性质依据。（全文：1212字）接下来写**4.1 相交线**，同样格式1212字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学七年级上册3.6.3 余角与补角授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章 图形的初步认识情境导入
45°
45°
30°
60°
90°
90°
和都是90°
新课讲授
【小组讨论】将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1. ∠1与∠2有什么数量关系？
2. ∠3与∠4有什么数量关系？
如果两个角的和等于90 （直角），就说这两个角互为余角，简称互余.
∠1+∠2 = 90°
∠3+∠4 = 180°
例如，如果∠1+∠2=90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是ㄥ1的余角，
反过来，如果两个角互余，那么把这两个角如下图那样拼在一起的话，就构成一个直角.
典例分析
例1 图中给出的各角，哪些互为余角？
16o
24o
66o
74o
47.2o
42.8o
新课讲授
【问题二】观察下面的三角板，你发现了什么？
90°
90°
90°+ 90°= 180°
如果两个角的和等于180 （平角），就说这两个角互为补角，简称互补.
4
3
4
3
如下图，∠3+ ∠4=180°，所以∠3、 ∠4互为补角.
典例分析
例2 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
典例分析
例3. 已知∠α是锐角，则∠α的余角可表示为__________，∠α的补角可表示为 .
1.若∠α的余角是它的3倍，则∠α= .
2.若∠α的补角是它的4倍，则∠α= .
3.若∠α的补角是它的3倍，则 ∠α的余角为 .
90°-∠α
180°-∠α
22.5°
36°
45°
新课讲授
【探索与思路】∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系 ？
∵∠2与∠1，∠3都互为余角
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1+ 90°-∠3 = 90°，则∠1=∠3
同角(等角)的余角相等
新课讲授
【探索与思路】请你借助直角三角板，在原图上画出∠AOB的补角.
画完图后请回答下列问题：
1）图中有哪几对互补的角
2）你能用一句话概括以上规律吗
∠1与∠2, ∠2与∠3, ∠1与∠4, ∠3与∠4
同角 (等角) 的补角相等.
知识点1 余角和补角的定义
1. 一副三角板如图摆放，与 互余的是( )
B
A. B. C. D.
2. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B. C. D.
【点拨】因为 的余角为,所以,所以
的补角为 .
3. 如果一个角的度数比它补角的2倍多 ，那么这个角的
度数是( )
C
A. B. C. D.
4. 如果 和 互补，且 ，那么下列表
示 的余角的式子：① ；② ；③
；④ .其中不正确的是( )
C
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【点拨】方法1（直接法）因为 和 互补，所以
，因为 的余角 ，所以①正
确；因为 ，所以 的余角
，所以②正确；
因为 ，所以 ，所以
的余角 ，所以
③错误，④正确.故选C.方法2（验证法） 将所给的四个表
示 的余角的式子与 相加，如果和为 就说明式子
正确，否则不正确.
典例分析
例4 已知∠α与∠β互补，∠α=150°，则∠β的余角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．90°
1．一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是（　　）
A．60° B．75° C．90° D．45°
B
A
课堂测试
1．锐角的余角一定是（ ）
A．锐角 B．钝角 C．锐角或钝角 D．不能确定
2．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（　　）
A
A
课堂测试
3．一个角的度数比它的余角的度数大，则这个角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是锐角，与互补，与互余，则等于（ ）
A． B． C． D．
C
A
C
5. 如图，点，， 在同一条直线上，
， .
（1）求 的度数.
【解】因为点，， 在同一条直线上,
所以 .
因为 ,
所以 .
又因为 ,
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
与，与 ，
与，与 ,这4对
角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
与，与,与， 与
，与，与，与 ,这7
对角互为补角.
知识点2 余角和补角的性质
6. 已知 , ,则 ，依据
是( )
D
A. 余角的定义 B. 补角的定义
C. 同角的余角相等 D. 同角的补角相等
7. 如图，将一副三角板按不同位置摆放，摆放方式中
的图形有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，和 都是直角.
（1）如果 ，那么
的度数为_____ .
151
【点拨】因为和 都是直角，
所以 .因为 ，所以
，所以
.
（2）找出图中相等的角.如果 ，它们还会相等吗？
【解】相等的角有 ，
.
因为 ，
所以
，
所以 ，
即使 ，和仍然是 的余角，
根据同角的余角相等，可知它们仍然相等，和 始
终是直角，也仍然相等.
（3）若的度数越来越小，则 的度数将如何变化？
由 ，可知
当的度数越来越小时， 的度数会越来越大.
课后小结
余角的概念：如果两个角的和等于 90 （直角），就说这两个角互为余角，简称互余.
补角的概念：如果两个角的和等于180 （平角），就说这两个角互为补角，简称互补.
余角、补角的性质：角(等角)的余角相等，同角 (等角) 的补角相等.
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