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八年级数学上册 第三章 勾股定理 单元测试题 苏科版
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　）
A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2
C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
3．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
4．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．514 B．8 C．16 D．64
7．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，b＝mn， n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
8．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
9．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（　　）
A．13cm B．15cm C．20cm D．24cm
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝12，则图中阴影部分的面积为_____ ．
12．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，H是DE的中点．若AD的长为5，则阴影部分的面积为_______ ．
13．如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝________ ．
14．如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为 _______ m2．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的最小值为_____ ．
16．已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 ________ ．
17．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为______________ ．
18．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 _____ 米．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）某段公路限速是27m/s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB＝500m，若AC⊥BC．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
20．（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝80cm，CB＝60cm，两轮中心的距离AB＝100cm．
（1）判断支架AC，BC是否垂直；
（2）求点C到AB的距离．
21．（8分）在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．
（1）求证：△ACD为直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（10分）如图所示，一架25米长的云梯AC斜靠一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C离墙7米．
（1）这个梯子的顶端A距离地面多远？
（2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？
23．（10分）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明a2+b2＝c2；
（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．
24．（10分）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处，另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC．已知AC＝8m，BC＝6m（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）．
（1）求钢丝绳AB的长度．
（2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D（点D在CB的延长线上），点A的位置不变．若B，D两点的距离为9m，求钢丝绳增加的长度．
25．（12分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．解：由图可得，
x2+62＝（10﹣x）2，
故选：C．
2．解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
3．解：∵面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，
∴AD＝DC＝1，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，（点E在点A的左侧），
∴，
∵点A表示的数是1，
∴点E所表示的数为．
故选：D．
4．解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625，
∴72+242＝252，152+202＝252，
∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，
故选：B．
5．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：A．
6．解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
7．解：∵，
∴．
∵，
∴a2+b2＝c2．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵m，n是互质的奇数，
∴A．3＝1×3，
∴当m＝3，n＝1时，，b＝mn＝3，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．5＝1×5，
∴当m＝5，n＝1时，，b＝mn＝5，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．6＝2×3，8＝2×4，
∵m，n是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．7＝1×7，
∴当m＝7，n＝1时，，b＝mn＝7，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
8．解：A、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+c2＝ab+c2，
∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：（a+b）2，
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：c2，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
9．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，
∴BE＝CE＝BC＝×8＝4（米），
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝3（米），
由题意可知，AE≤AD＜AC，
即3米≤AD＜5米，
故这根木头需要长度可能是4米，
故选：C．
10．解：由题意可知，AB＝AD，DE＝20cm，AE＝15cm，BC＝7cm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD＝＝＝25（cm），
∴AB＝AD＝25cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝24（cm），
故选：D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
即S1+S3＝S2，
∵S1+S2﹣S3＝12，
∴S1+S1+S3﹣S3＝12，
即2S1＝12，
解得：S1＝6，
．
则阴影部分的面积为3．
故答案为：3．
12．解：由“赵爽弦图”可知AE＝DH，
设EH＝x，则DH＝AE＝x，
∵AD的长为5，AE2+ED2＝AD2，
∴x2+（2x）2＝52，
∴，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：15．
13．解：∵正方形的边长为1，
∴AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
14．解：如图，连接AC．
在△ACD中，∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，
∴AC＝15m，
又∵AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×15×20﹣×9×12＝96（平方米）．
故答案为：96．
15．解：如图，连接CM，CN．
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴＝10．
∵DE＝6，点M，N分别是AB，DE的中点，
∴，CM＝＝5，
当C，M，N在同一条直线上时，MN取得最小值，为CM﹣CN＝5﹣3＝2，
∴MN的最小值为2．
故答案为：2．
16．解：设三角形的最长边上的高的长度是h，
∵三角形的三边分别为6，8，10，
∴62+82＝102，
∴三角形是直角三角形（斜边长是10），
∵三角形的面积S＝＝，
解得：h＝4.8，
故答案为：4.8．
17．解：根据图中给出的数据可得：
由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40，
∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40．
故答案为：（9，40，41）．
18．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：可疑汽车超速；理由如下：
∵AC⊥BC，AB＝500m，AC＝400m，
∴根据勾股定理可得：，
∴该汽车的速度为，
∵27m/s＜30m/s，
∴可疑汽车超速了．
20．解：（1）∵AC＝80cm，CB＝60cm，AB＝100cm，
∴AC2+BC2＝802+602＝10000，AB2＝10000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°），
∴AC⊥BC；
（2）连接AB，过C作CD⊥AB于点D，
∵△ABC的面积＝，
∴80×60＝100×CD，解得：CD＝48cm，
即点C到AB的距离为48cm．
21．（1）证明：∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形；
（2）解：由图可得，
S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝+
＝+
＝6+30
＝36．
22．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
即AB2+72＝252，
∴AB＝24m，
答：这个梯子的顶端A距地面有24m远；
（2）∵梯子的顶端A下滑了4m至点D，
∴BD＝AB﹣AD＝24﹣4＝20（m），
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD2+BE2＝DE2，
即202+BE2＝252，
∴BE＝15m，
∴CE＝BE﹣BC＝15﹣7＝8（m），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8m．
23．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，
∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；
（2）由图可知，（b﹣a）2＝4，4×ab＝12﹣4＝8，
∴2ab＝8，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+2×8＝20．
24．解：（1）∵BC＝6m，AC⊥BC，AC＝8m，
∴在Rt△ABC中，，
答：钢丝绳的长度AB为10m．
（2）∵BC＝6m，BD＝9m，
∴CD＝BD+BC＝15m，
∵AC⊥BC，AC＝8m，
∴在Rt△ACD中，，
∴钢丝绳增加的长度为AD﹣AB＝17﹣10＝7（m），
答：钢丝绳增加的长度为7m．
25．解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km，
在Rt△ABD中，，
∵300÷20＝15，
∴台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km，
由AD⊥BC得DE＝DF，
在Rt△AED中，，
∴EF＝2ED＝240km，
∴t＝240÷20＝12，
∴A市受到台风影响的时间持续12h．

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