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2026-2027 学年第一学期月考模拟测试
九年级数学模拟卷（第 25 章-第 26 章）
考试时间：90 分钟 满分：120 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若 (m 2)xm -2＋(m 1)x＋5＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ）
A．2 B． 2 C．±2 D． 2 或 1
2．用配方法解方程 x 6x＋4＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．(x 3) ＝5 B．(x 3) ＝13 C．(x 6) ＝32 D．(x 3) ＝ 5
3．若关于 x 的一元二次方程 x 2x＋k 1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
4．已知 x 、x 是方程 x 3x 2＝0 的两个实数根，则 x ＋x 的值为（ ）
A．5 B．9 C．13 D．11
5．抛物线 y＝ 2(x＋1) ＋3 的顶点坐标是（ ）
A．(1，3) B．( 1，3) C．(1， 3) D．( 1， 3)
6．将抛物线 y＝3x 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝3(x 2) ＋1 B．y＝3(x＋2) 1 C．y＝3(x 2) 1 D．y＝3(x＋2) ＋1
7．点 A( 2，y )、B(1，y )、C(4，y ) 都在抛物线 y＝ (x 1) ＋3 上，则 y 、y 、y 的大小关系
是（ ）
A．y ＜y ＜y B ．y ＜y ＜y C ．y ＝y ＜y D ．y ＜y ＝y
8．某共享单车公司 2024 年 3 月投放共享单车 8 万辆，5 月投放量达到 12.5 万辆。设 4、5 两
个月投放量的月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（ ）
A．8(1＋2x)＝12.5 B．8(1＋x) ＝12.5 C．8(1＋x) ＝25 D．12.5(1 x) ＝8
9．已知抛物线 y＝x 2x 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），则线段 AB 的长为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：① abc＞0；② b 4ac＞0；③
2a＋b＝0；④ a b＋c＜0；⑤ 对于任意实数 m，都有 m(am+b)＜a+b。其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③⑤
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案填在题中横线上）
11．方程 x(x 2)＝x 的解为 ________。
12．已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x ＋mx 10＝0 的一个根，则 m＝________，方程的
另一个根为 ________。
13．若抛物线 y＝ x ＋2x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m＝________。
14．若关于 x 的一元二次方程 x 2x＋t＝0 有两个相等的实数根，则 t＝________；若该方程
有一个根为 1＋ ，则 t＝________，另一个根为 ________。
15．设 a、b 是一元二次方程 x 6x＋2＝0 的两个实数根，则 ＋ 的值为 ________。
三、解答题（本大题共 9 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（本小题 9 分）解下列方程：
（1）x 5x＋3＝0（3 分）；
（2）2x 4x 1＝0（3 分）；
（3）(2x 1) ＝2(2x 1)＋3（3 分）。
17．（本小题 8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x 2mx＋m 2m＋1＝0。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
（2）设 x 、x 是方程的两个实数根，若 x ＋x ＝10，求 m 的值。
18．（本小题 8 分）某科技公司 2024 年全年研发投入为 800 万元，计划 2026 年全年研发投入
达到 1152 万元（2025、2026 两年研发投入的年增长率相同）。
（1）求研发投入的年平均增长率；
（2）若按此增长率继续增长，2027 年该公司全年研发投入能否超过 1400 万元？请说明理由。
19．（本小题 8 分）已知二次函数 y＝ax ＋bx＋c 的图象经过点 A( 1，0)、B(3，0)、C(0，
3)。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大。
20．（本小题 8 分）如图，已知二次函数 y＝ x ＋4x 3。
（1）求抛物线的顶点坐标和它与 x 轴的两个交点坐标；
（2）结合图象，写出当 y＞0 时自变量 x 的取值范围；
（3）若直线 y＝m 与该抛物线有两个不同的交点，求 m 的取值范围。
21．（本小题 8 分）某书店销售一种图书，进价为每本 15 元。当售价定为每本 25 元时，每月
可售出 400 本。经调查：售价每降低 0.5 元，月销量就增加 50 本（售价不低于 18 元）。
（1）设每本降价 x 元，写出每月销售利润 W（元）关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范
围；
（2）当售价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若每月销售利润不低于 4500 元，求每本降价 x 元的取值范围。
22．（本小题 8 分）如图 ，在平面直角坐标系中，直线 y＝x＋2 与抛物线 y＝ x ＋2x＋4 交
于 A、B 两点。
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）求 △AOB 的面积（O 为坐标原点）；
（3）当 x 取何值时，抛物线在直线的上方？
23．（本小题 8 分）如图 ，在平面直角坐标系中，直线 y＝ x＋5 与抛物线 y＝ x ＋4x＋5 交
于 A、B 两点（点 A 在 y 轴上），抛物线的顶点为 M。
（1）求点 A、B 的坐标及顶点 M 的坐标；
（2）求 △AOB 的面积（O 为坐标原点）；
（3）点 N 在 x 轴上，当以 A、M、N 为顶点的三角形为直角三角形时（∠MAN＝90° 或 ∠
AMN＝90°），求点 N 的坐标。
24．（本小题 10 分）如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x ＋2x＋8 与 x 轴交于 A、B
两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。
（1）求抛物线的对称轴和顶点 D 的坐标；
（2）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点。当 △PBC 的面积最大时，求点 P 的坐标和 △
PBC 面积的最大值；
（3）点 E 为 x 轴上的一动点，点 F 为抛物线对称轴上的一动点。当以 A、C、E、F 为顶点的
四边形为平行四边形时，直接写出所有满足条件的点 E、F 的坐标。
参考答案与解析
（2024 人教版 · 第 25 章 一元二次方程 · 第 26 章 二次函数）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．B 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B 9．C 10．B
【解析】
1．B 由题意 m 2＝2 且 m 2≠0，得 m＝±2 且 m≠2，故 m＝ 2。
2．A x 6x＋4＝0，移项得 x 6x＝ 4，配方得 (x 3) ＝5。
3．A Δ＝( 2) 4(k 1)＝8 4k＞0，解得 k＜2。
4．C x ＋x ＝3，x x ＝ 2，x ＋x ＝(x ＋x ) 2x x ＝9＋4＝13。
5．B 由顶点式 y＝a(x h) ＋k 知顶点为 ( 1，3)。
6．C “左加右减、上加下减”：y＝3(x 2) 1。
7．C y ＝ ( 3) ＋3＝ 6，y ＝3，y ＝ 3 ＋3＝ 6，故 y ＝y ＜y 。
8．B 4 月投放 8(1＋x) 万辆，5 月投放 8(1＋x) 万辆，故 8(1＋x) ＝12.5。
9．C 令 y＝0，x 2x 3＝0，解得 x＝3 或 x＝ 1，故 AB＝4。
10．B 由图象知 a＜0，对称轴为 x＝1，即 ＝1，故 b＝ 2a＞0；图象与 x 轴有两个交点，
与 y 轴正半轴交于 (0，3) 上方。① abc＝a·b·c＜0，错；② Δ＞0，对；③ 2a＋b＝2a 2a＝0，
对；④ x＝2 时 y＝4a＋2b＋c＞0，故“4a＋2b＋c＜0”错；⑤ 由 (3，0)、(0，c) 在图象上，得
9a＋3b＋c＝0，又 b＝ 2a，故 3a＋c＝0，对。故选 B。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．0 或 3 12．m＝3； 5 13． 1 14．t＝1；t＝ 1，另一个根为 1 15．
11．x(x 2) x＝0，即 x(x 3)＝0，解得 x＝0 或 x＝3。
12．把 x＝2 代入，得 4＋2m 10＝0，m＝3；设另一根为 x ，则 2x ＝ 10，x ＝ 5。
13．抛物线与 x 轴只有一个交点，即 Δ＝2 4×( 1)×m＝4＋4m＝0，m＝ 1。
14．有两个相等实数根：Δ＝( 2) 4t＝0，t＝1。一根为 1＋ ：代入得 t＝ 1；两根和为 2，
故另一根为 2 (1＋ )＝1 。
15．由韦达定理 a＋b＝6，ab＝2。设 T＝ ＋ ＞0，则 T ＝a＋b＋2＋2
＝8＋2 ＝8＋2 ＝8＋6＝14，故 T＝ 。
三、解答题（共 75 分）
16．（9 分）
（1）a＝1，b＝ 5，c＝3，Δ＝25 12＝13＞0，x＝ 。
（2）2x 4x 1＝0，即 x 2x＝ ，配方得 (x 1) ＝ ，故 x＝1± 。
（3）设 t＝2x 1，则 t ＝2t＋3，即 t 2t 3＝0，(t 3)(t＋1)＝0，t＝3 或 t＝ 1。当 t＝3 时 2x 1
＝3，x＝2；当 t＝ 1 时 2x 1＝ 1，x＝0。∴原方程的解为 x＝0 或 x＝2。
17．（8 分）
（1）Δ＝( 2m) 4(m 2m＋1)＝8m 4。由题意 Δ＞0，即 8m 4＞0，解得 m＞ 。
（2）x ＋x ＝2m，x x ＝m 2m＋1。x ＋x ＝(x ＋x ) 2x x ＝4m 2(m 2m＋1)＝2m ＋4m
2。由 x ＋x ＝10，得 2m ＋4m 2＝10，即 m ＋2m 6＝0，解得 m＝ 1± 。又由（1）m＞ ，
故 m＝ 1＋ 。
18．（8 分）
（1）设年平均增长率为 x，则 800(1＋x) ＝1152，即 (1＋x) ＝1.44，解得 x＝0.2＝20%（负值
舍去）。答：研发投入的年平均增长率为 20%。
（2）2027 年研发投入为 1152×(1＋20%)＝1382.4 万元。∵1382.4＜1400，故 2027 年全年研发
投入不能超过 1400 万元。
19．（8 分）
（1）设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x 3)。把 C(0， 3) 代入，得 3＝a×1×( 3)，a＝1。∴y
＝(x＋1)(x 3)＝x 2x 3。
（2）y＝x 2x 3＝(x 1) 4，故对称轴为 x＝1，顶点坐标为 (1， 4)。∵a＝1＞0，抛物线开
口向上，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大。
20．（8 分）
（1）y＝ x ＋4x 3＝ (x 2) ＋1，顶点坐标为 (2，1)。令 y＝0，得 x ＋4x 3＝0，即 x 4x＋
3＝0，解得 x＝1 或 x＝3，故与 x 轴的交点为 (1，0)、(3，0)。
（2）由图象可知，当 y＞0 时，1＜x＜3。
（3）抛物线开口向下，顶点纵坐标为 1，故当 m＜1 时，直线 y＝m 与该抛物线有两个不同的
交点。
21．（8 分）
（1）售价每降低 0.5 元，月销量增加 50 本，即每降低 1 元，月销量增加 100 本。W＝(25 x
15)(400＋100x)＝(10 x)(400＋100x)＝ 100x ＋600x＋4000。售价不低于 18 元，即 25 x≥18，
x≤7，故 0≤x≤7。
（2）W＝ 100x ＋600x＋4000＝ 100(x 3) ＋4900。∴当 x＝3 时 W 最大，最大值为 4900。
此时售价为 25 3＝22 元。答：售价定为 22 元时月利润最大，最大利润为 4900 元。
（3）令 W≥4500，得 100x ＋600x＋4000≥4500，即 x 6x＋5≤0，(x 1)(x 5)≤0，解得 1≤x≤5。
答：每本降价的取值范围为 1≤x≤5。
22．（8 分）
（1）联立 y＝x＋2 与 y＝ x ＋2x＋4，得 x＋2＝ x ＋2x＋4，即 x x 2＝0，解得 x＝ 1 或 x
＝2。当 x＝ 1 时 y＝1，当 x＝2 时 y＝4。∴A( 1，1)、B(2，4)。
（2）S△AOB＝ ×|xA·y-Bx-By-A|＝ ×|( 1)×4 2×1|＝ ×6＝3。
（3）抛物线在直线上方，即 x ＋2x＋4＞x＋2，整理得 x x 2＜0，解得 1＜x＜2。
23．（8 分）
（1）点 A 在 y 轴上，令 x＝0，得 y＝5，故 A(0，5)。联立 y＝ x＋5 与 y＝ x ＋4x＋5，得 x
5x＝0，解得 x＝0 或 x＝5；x＝5 时 y＝0，故 B(5，0)。y＝ x ＋4x＋5＝ (x 2) ＋9，顶点
M(2，9)。
（2）S△AOB＝ ×OA×|xB|＝ ×5×5＝12.5。
（3）直线 AM 的斜率 k＝ ＝2。当 ∠MAN＝90° 时，AN⊥AM，过 A 作斜率为 的直线 y
＝ ＋5，令 y＝0 得 x＝10，即 N(10，0)；当 ∠AMN＝90° 时，过 M(2，9) 作斜率为 的直
线 y 9＝ ，令 y＝0 得 x＝20，即 N(20，0)。故 N(10，0) 或 N(20，0)。
24．（10 分）
（1）y＝ x ＋2x＋8＝ (x 1) ＋9，对称轴为 x＝1，顶点 D(1，9)。
（2）B(4，0)、C(0，8)，直线 BC 的解析式为 y＝ 2x＋8。设 P(m， m ＋2m＋8)，过 P 作 PD
⊥x 轴交 BC 于 E，则 E(m， 2m＋8)，PE＝( m ＋2m＋8) ( 2m＋8)＝ m ＋4m（0＜m＜4）。
当 m＝2 时 PE 最大，最大值为 4，此时 P(2，8)。S△PBC＝ ·BC·d，BC＝4 ，点 P 到直线 BC
的距离 d＝ ，故 S△PBC＝2PE，最大值为 8。
（3）设 E(e，0)、F(1，f)。分三种情况：
① A、C 为平行四边形的对角顶点，则 AC 与 EF 的中点重合：e＋1＝ 2，f＋0＝8，得 E( 3，
0)、F(1，8)；
② AE∥CF 且 AE＝CF（A→E、C→F 对应），则 F C＝E A：1＝e＋2，f 8＝0，得 E( 1，0)、
F(1，8)；
③ AF∥CE 且 AF＝CE（A→F、C→E 对应），则 F A＝E C：3＝e，f＝ 8，得 E(3，0)、F(1，
8)。
综上所述，满足条件的点有：E( 3，0)、F(1，8)；E( 1，0)、F(1，8)；E(3，0)、F(1， 8)。

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