资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026秋北师版九上数学原创情境题阶段测试
第一章　特殊平行四边形
阶段检测2 矩形
一、选择题(每小题3分，共18分)
1． (2025北京十二中期中)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6 km，则M，C两点间的距离为(　　)
A． 0. 8 km　　 B． 1.2 km　　
C． 1.3 km　　 D． 5.2 km
1．C
2． 两个矩形纸片摆放位置如图所示，已知∠1=65°，则∠2的度数为(　　)
A． 115°　　 B． 125°
C． 130°　　 D． 135°
2．A　【解析】如解图，∵∠1=65°，四边形为矩形，∴∠1＋∠3=90°，∴∠3=25°，∴∠2=90°＋∠3=115°．
3． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OD=3，则AC的长为(　　)
A． 3　　 B． 6
C． 9　　 D． 12
3．B　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=OB．∵OD=3，∴BD=2OD=6，∴AC=BD=6.
4． 如图是儿童乐园摩天轮的正面简化示意图，若将每个舱看作一个点(均在轮辐与轮盘交点处)，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的个数为(　　)
A． 1　　 B． 2　　 C． 3　 　D． 4
4．C　【解析】∵AD=BE，OA=OD，OB=OE，∴四边形ABDE为矩形，同理可得，四边形AFDC，四边形BCEF均为矩形，∴该摩天轮中以舱为四个顶点的矩形有3个．
5． ()如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，E为AD的中点，连接BE，且AB=BD，若BC=8，则BE的长为(　　)
A． 　 　B． 2　 　C． 2　 　D． 4
5．C　【解析】∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，∴BD=AD=BC=4，∵AB=BD，E为AD的中点，∴BE⊥AD，DE=AD=2，∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE==2．
6． (2025河南郑州实验中学期中)如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3，BC=5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP＋EF的最小值为(　　)
A． B． 4
C． D． 8
6．C　【解析】如解图，连接CP，AC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCF=90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，∴AP＋EF的最小值即为AP＋CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP＋CP的值最小，最值的为AC的长，在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，由勾股定理，得AC===，∴AP＋EF的最小值为．
二、填空题(每小题3分，共12分)
7． (2025陕西西安高新一中阶段练)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使 ABCD成为矩形，这个条件可以是　　　　．
7．AC=BD(答案不唯一)
8． 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC的长为　　　　．
8．2　【解析】∵菱形ABEO的边长为2，∴AB=AO=2，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴∠ABC=90°，AC=2AO=4，∴BC===2．
9． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D是AB的中点，连接CD，若BC=2，则∠ADC的度数为　　　　．
9．120°　【解析】∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB=4，∴BD=CD=AB=2，∵BC=2，∴BC=CD=BD，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠ADC=180°－∠BDC=180°－60°=120°．
10． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，过点B作DE的垂线，交DE的延长线于点F，已知DE=1，AD=3，则四边形BCDF的周长为　　　　．
10．10　【解析】由题意可知∠C=∠CDF=∠ADE=∠F=90°，∴四边形BCDF是矩形，∴BF=DC．
∵DF垂直平分AC，DC=AD=3，∴BF=AD，∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE(AAS)，∴DE=EF=1，∴DF=DE＋EF=1＋1=2，∴四边形BCDF的周长为2(DC＋DF)=2×(3＋2)=10.
三、解答题(共30分)
11． (8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，OA=OB． 求证：四边形ABCD是矩形．
11．证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD=180°，∠ADC＋∠BCD=180°．
∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD．
∵OA=OB，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．(8分)
12． (10分)如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，连接AC，CF，AF，求∠ACF，∠AFC的度数．
12．解：∵四边形ABCD，四边形CEFG为全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，
在△ABC和△CEF中，
∴△ABC≌△CEF(SAS)，
∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，
∵∠CFE＋∠FCE=90°，
∴∠ACB＋∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，(7分)
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴∠AFC=45°．(10分)
13． (12分)如图，用硬纸板剪一个矩形，作它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在矩形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动． 拨动细木条，使它随意停留在任意位置． 设细木条分别交硬纸板的边AD，BC于点E，F．
(1)在下面的2个结论中，任选1个结论证明：
①OE=OF；②AE=CF；
13．解：(1)选择①OE=OF．
证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF；(5分)
(答案不唯一)．
(2)在细木条转动过程中，当E，F恰好是AD，BC的中点时，若AB=5，BC=12. 则在对角线AC上是否存在一点P，连接PE，PF，使∠EPF=90°？若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由．
　
(2)存在．
如解图，由(1)可知，OE=OF，AO=CO，
∵∠EPF=90°，
∴OP=EF．
由题可得AE∥BF，AE=BF，∠ABF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=5，
∴OP=EF=2.5.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC==13，
∴AO=CO=AC=6.5，
∴AP′=AO－OP′=6.5－2.5=4，AP″=AO＋OP″=6.5＋2.5=9，
∴AP的长为4或9.(12分)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026秋北师版九上数学原创情境题阶段测试
第一章　特殊平行四边形
阶段检测2 矩形
一、选择题(每小题3分，共18分)
1． (2025北京十二中期中)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6 km，则M，C两点间的距离为(　　)
A． 0. 8 km　　 B． 1.2 km　　
C． 1.3 km　　 D． 5.2 km
1．C
2． 两个矩形纸片摆放位置如图所示，已知∠1=65°，则∠2的度数为(　　)
A． 115°　　 B． 125°
C． 130°　　 D． 135°
2．A　【解析】如解图，∵∠1=65°，四边形为矩形，∴∠1＋∠3=90°，∴∠3=25°，∴∠2=90°＋∠3=115°．
3． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OD=3，则AC的长为(　　)
A． 3　　 B． 6
C． 9　　 D． 12
3．B　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=OB．∵OD=3，∴BD=2OD=6，∴AC=BD=6.
4． 如图是儿童乐园摩天轮的正面简化示意图，若将每个舱看作一个点(均在轮辐与轮盘交点处)，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的个数为(　　)
A． 1　　 B． 2　　 C． 3　 　D． 4
4．C　【解析】∵AD=BE，OA=OD，OB=OE，∴四边形ABDE为矩形，同理可得，四边形AFDC，四边形BCEF均为矩形，∴该摩天轮中以舱为四个顶点的矩形有3个．
5． ()如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，E为AD的中点，连接BE，且AB=BD，若BC=8，则BE的长为(　　)
A． 　 　B． 2　 　C． 2　 　D． 4
5．C　【解析】∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，∴BD=AD=BC=4，∵
6． (2025河南郑州实验中学期中)如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3，BC=5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP＋EF的最小值为(　　)
A． B． 4
C． D． 8
6．C　【解析】如解图，连接CP，AC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCF=90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，∴AP＋EF的最小值即为AP＋CP的最小值，当A，P，C三点共线时，AP＋CP的值最小，最值的为AC的长，在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，由勾股定理，得AC===，∴AP＋EF的最小值为．
二、填空题(每小题3分，共12分)
7． (2025陕西西安高新一中阶段练)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使 ABCD成为矩形，这个条件可以是　　　　．
7．AC=BD(答案不唯一)
8． 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC的长为　　　　．
8．2　【解析】∵菱形ABEO的边长为2，∴AB=AO=2，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴∠ABC=90°，AC=2AO=4，∴BC===2．
9． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D是AB的中点，连接CD，若BC=2，则∠ADC的度数为　　　　．
9．120°　【解析】∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB=4，∴BD=CD=AB=2，∵BC=2，∴BC=CD=BD，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠ADC=180°－∠BDC=180°－60°=120°．
10． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，过点B作DE的垂线，交DE的延长线于点F，已知DE=1，AD=3，则四边形BCDF的周长为　　　　．
10．10　【解析】由题意可知∠C=∠CDF=∠ADE=∠F=90°，∴四边形BCDF是矩形，∴BF=DC．
∵DF垂直平分AC，DC=AD=3，∴BF=AD，∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE(AAS)，∴DE=EF=1，∴DF=DE＋EF=1＋1=2，∴四边形BCDF的周长为2(DC＋DF)=2×(3＋2)=10.
三、解答题(共30分)
11． (8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，OA=OB． 求证：四边形ABCD是矩形．
11．证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD=180°，∠ADC＋∠BCD=180°．
∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD．
∵OA=OB，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．(8分)
12． (10分)如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，连接AC，CF，AF，求∠ACF，∠AFC的度数．
12．解：∵四边形ABCD，四边形CEFG为全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，
在△ABC和△CEF中，
∴△ABC≌△CEF(SAS)，
∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，
∵∠CFE＋∠FCE=90°，
∴∠ACB＋∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，(7分)
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴∠AFC=45°．(10分)
13． (12分)如图，用硬纸板剪一个矩形，作它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在矩形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动． 拨动细木条，使它随意停留在任意位置． 设细木条分别交硬纸板的边AD，BC于点E，F．
(1)在下面的2个结论中，任选1个结论证明：
①OE=OF；②AE=CF；
13．解：(1)选择①OE=OF．
证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF；(5分)
(答案不唯一)．
(2)在细木条转动过程中，当E，F恰好是AD，BC的中点时，若AB=5，BC=12. 则在对角线AC上是否存在一点P，连接PE，PF，使∠EPF=90°？若存在，请求出AP的长；若不存在，请说明理由．
　
(2)存在．
如解图，由(1)可知，OE=OF，AO=CO，
∵∠EPF=90°，
∴OP=EF．
由题可得AE∥BF，AE=BF，∠ABF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=5，
∴OP=EF=2.5.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC==13，
∴AO=CO=AC=6.5，
∴AP′=AO－OP′=6.5－2.5=4，AP″=AO＋OP″=6.5＋2.5=9，
∴AP的长为4或9.(12分)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
【原创】九上原创情境题测试 讲解课件
第一章 特殊平行四边形
2026 秋北师九上数学原创情境题测试
阶段检测 2 矩形
一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)
1 ． (2025 北京十二中期中)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C被湖隔开，若测得AB 的长为 2.6 km ，则 M，C 两点间的距离为( )
A ． 0. 8 km B ． 1.2 km
C ． 1.3 km D ． 5.2 km
1 ．C
A ． 115 ° B ． 125 °
C ． 130 ° D ． 135 °
2 ．A 【解析】如解图， ∵ ∠1=65 ° , 四边形为矩形， ∴ ∠1+ ∠3=90 ° , ∴ ∠ 3=25 ° , ∴ ∠2=90 ° + ∠3=115 ° .
2 ． 两个矩形纸片摆放位置如图所示，已知∠1=65 ° , 则∠2 的度数为( )
A ． 3 B ． 6
C ． 9 D ． 12
3 ．B 【解析】 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD ，OD=OB ． ∵OD=3 ， ∴ BD=2OD=6 ， ∴AC=BD=6.
3 ． 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O ，若 OD=3 ，则 AC 的长为
( )
4 ． 如图是儿童乐园摩天轮的正面简化示意图，若将每个舱看作一个点(均在轮辐与轮
盘交点处) ，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的个数为( )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
4 ．C 【解析】 ∵AD=BE ，OA=OD ，OB=OE ， ∴四边形 ABDE 为矩形，同理可
得，四边形 AFDC ，四边形 BCEF 均为矩形， ∴该摩天轮中以舱为四个顶点的矩形有 3 个．
A ． 3 B ． 2 C ． 2 3 D ． 4
5 ．C 【解析】 ∵AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线， ∴BD=AD BC=4 ， ∵
AB=BD ，E 为 AD 的中点， ∴BE⊥AD ，DE AD=2 ， ∴在 Rt△BDE 中，由勾股定
理，得 BE
5 ． ( )如图，AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线，E 为 AD 的中点，连接 BE ，且
AB=BD ，若 BC=8 ，则 BE 的长为( )
6 ． (2025 河南郑州实验中学期中)如图，P 是矩形ABCD 的对角线 BD 上一点，AB=3， BC=5，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连接AP，EF，则 AP＋EF 的最小值为( )
A ． B ． 4
C ． 34 D ． 8
6 ．C 【解析】如解图，连接 CP ，AC ． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC=∠
BCF=90 ° , ∵PE⊥BC ，PF⊥CD ， ∴四边形 CEPF 是矩形， ∴EF=CP ， ∴AP＋EF
的最小值即为AP＋CP 的最小值，当 A ，P ，C 三点共线时，AP＋CP 的值最小，最值的为 AC 的长，在 Rt△ABC 中， ∵AB=3 ，BC=5 ，由勾股定理，得
AC ∴AP＋EF 的最小值为 34．
二、填空题(每小题 3 分，共 12 分)
7 ． (2025 陕西西安高新一中阶段练)如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，请
你添加一个条件使 ABCD 成为矩形，这个条件可以是 ．
7 ．AC=BD(答案不唯一)
8 ．2 3 【解析】丫菱形 ABEO 的边长为 2 ，:AB=AO=2 ，丫O 是矩形 ABCD 的对
角线 AC 的中点，:LABC=90 ° , AC=2AO=4 ，:BC
8 ． 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，菱形ABEO 的边长为 2 ，则 BC 的长
为 ．
9 ．120 ° 【解析】 ∵在 Rt△ABC 中，D 是 AB 的中点，AB=4 ， ∴
BD=CD AB=2 ， ∵BC=2 ， ∴BC=CD=BD ， ∴△BCD 为等边三角形， ∴ ∠
BDC=60 ° , ∴ ∠ADC=180 ° - ∠BDC=180 ° -60 °=120 ° .
9 ． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90 ° , AB=4，D 是AB 的中点，连接 CD，若 BC=2，
则∠ADC 的度数为 ．
10 ．10 【解析】由题意可知∠C=∠CDF=∠ADE=∠F=90 ° , ∴四边形 BCDF 是矩形， ∴BF=DC．
∵DF 垂直平分 AC ，DC=AD=3 ， ∴BF=AD ， ∵ ∠AED=∠BEF ， ∴△ADE≌△
BFE(AAS) ， ∴DE=EF=1 ， ∴DF=DE＋EF=1＋1=2 ， ∴四边形 BCDF 的周长为 2(DC +DF)=2×(3＋2)=10.
10 ． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 ° , AC 的垂直平分线分别交AC，AB 于点 D，E，过点 B 作 DE 的垂线，交 DE 的延长线于点 F，已知 DE=1，AD=3，则四边形 BCDF 的周长为 ．
11 ．证明： ∵AD∥BC，
∴ ∠ABC+ ∠BAD=180 ° , ∠ADC+ ∠BCD=180 ° . ∵ ∠ABC=∠ADC ， ∴ ∠BAD=∠BCD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵OA=OB ， ∴AC=BD，
∴四边形 ABCD 是矩形．(8 分)
三、解答题(共 30 分)
11 ． (8 分)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∠ABC=∠ADC，对角线AC，BD 相交于点 O ，OA=OB ． 求证：四边形 ABCD 是矩形．
12 ． (10 分)如图，把两个全等的矩形ABCD 和矩形 CEFG 拼成如图所示的图案，连接
AC，CF，AF，求∠ACF， ∠AFC 的度数．
12 ．解：丫四边形 ABCD ，四边形 CEFG 为全等的矩形，
:AB=CE ，LB= LE=90 ° , BC=EF，
在△ABC 和△CEF 中，
:△ABC丝△CEF(SAS)，
:LACB= LCFE ，AC=CF，
丫LCFE＋LFCE=90 ° ,
:LACB＋LFCE=90 ° ,
:LACF=90 ° , (7 分)
:△ACF 是等腰直角三角形，
:LAFC=45 ° . (10 分)
13 ． (12 分)如图，用硬纸板剪一个矩形，作它的对角线的交点 O ，用大头针把一根平放在矩形上的直细木条固定在点 O 处，并使细木条可以绕点 O 转动． 拨动细木条，使它随意停留在任意位置． 设细木条分别交硬纸板的边 AD ，BC 于点 E ，F．
(1)在下面的 2 个结论中，任选 1 个结论证明：
①OE=OF；②AE=CF；
13 ．解：(1)选择①OE=OF．
证明： ∵矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O，
∴AO=CO ，AD∥BC，
∴ ∠EAO=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF ；(5 分)
(答案不唯一)．
(2)在细木条转动过程中，当 E ，F 恰好是 AD ，BC 的中点时，若 AB=5 ，BC=12. 则在对角线AC 上是否存在一点 P，连接 PE，PF，使∠EPF=90 ° 若存在，请求出AP 的长；若不存在，请说明理由．
(2)存在．
如解图，由(1)可知，OE=OF ，AO=CO，
∵ ∠EPF=90 ° ,
由题可得 AE∥BF ，AE=BF ， ∠ABF=90 ° ,
∴四边形 ABFE 是矩形，
∴EF=AB=5，
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC
∴AO=CO AC=6.5，
∴AP ′=AO－OP ′=6.5－2.5=4 ，AP″=AO＋OP″=6.5＋2.5=9，
∴AP 的长为 4 或 9.(12 分)

展开更多......

收起↑