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2026秋北师版九上数学原创情境题阶段测试
第一章　特殊平行四边形
阶段检测3 正方形
一、选择题(每小题3分，共18分)
1． 正方形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A． 四个角都是直角　　
B． 四条边均相等
C． 对角线相等　　
D． 对角线互相平分
1．B
2． 已知四边形ABCD为正方形，对角线为AC和BD，则下列结论不正确的是(　　)
A． AC⊥BD　　 B． AB⊥BC　　
C． AC=2AB　　 D． AD=CD
2．C
3． 如图，在正方形ABCD中，若对角线AC=4，则正方形ABCD的周长为(　　)
A． 4　　B． 8　　C． 8　　D． 16
3．C　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD，∵
4． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加下列条件，不能使菱形ABCD成为正方形的是(　　)
A． OA=OB　　 B． AB⊥BC　　
C． ∠OAD=∠ODA　　 D． AC⊥AD
4．D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD．当OA=OB时，AC=BD，当∠OAD=∠ODA时，OA=OD，则AC=BD，∴菱形ABCD是正方形(对角
5． (2025陕西西安铁一中阶段练)如图是一块长方形地砖ABCD，测得AB=12，AD=16，现将它切割成一块平行四边形地砖EFGH，要求E，F，G，H依次是边AB，BC，CD，DA的中点，切割后的平行四边形地砖EFGH的周长为(　　)
A． 20　　 B． 28　 　C． 40 　　D． 56
5．C　【解析】如解图，连接AC，BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠
6． 如图是小刚在综合与实践课上用四根长度相同的木条制作的可以活动的四边形学具，他先将学具活动成正方形ABCD，接着将学具活动成菱形A′B′C′D′，且通过测量得到∠B′=60°，若他想将活动后的四边形暂时固定下来，则正方形和菱形需要再添加的木条分别为AC，A′C′，则的值为(　　)
A． 　　 B． 　　
C． 　　 D．
6．A　【解析】由题意得AB=A′B′，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠
二、填空题(每小题3分，共12分)
7． 如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠AEB的度数为　　　　．
7．67.5°　【解析】∵在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=(180°－∠BAE)=(180°－45°)=67.5°．
8． (2025江苏苏州立达中学期中)如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，则四边形EFGH的形状是　　　　．
8．菱形　【解析】∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EH=GF=AB，HG=EF=CD，∵AB=CD，∴EH=EF=GF=HG，∴四边形EFGH是菱形．
9．(趋势情境　传统文化)七巧板是由宋代的“燕几图”演变而来的． 小明用边长为20 cm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图①)，然后拼成“飞机”(如图②)，则“飞机尾翼”(阴影部分)的面积为　　　　cm2.
图①　　 　 图②
9．50　【解析】∵正方形的边长为20 cm，∴正方形的面积为400 cm2，由题图可知“飞机尾翼”的面积=×正方形的面积，∴“飞机尾翼”的面积为50 cm2.
10． 如图，P为线段AB上的一个动点，AB=6，以PA，PB为边向同侧作正方形APDC，正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1，O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为　　　　．
10．3　【解析】如解图，过点O1作O1M⊥AP于点M，边点O2作O2N⊥PB于点N，过点O1作O1Q⊥O2N于点Q，∵四边形APDC和四边形PBEF都为正方形，∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，∴AM=PM，PN=BN，∴MN=PM＋PN=AB=3，易得四边形O1MNQ为矩形，∴O1Q=MN=3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3.
三、解答题(共30分)
11． (8分)(中考新考法 组合条件开放 )如图，在正方形ABCD中，E与F分别是边AD，BC上一点，请在①AE=CF；②BE∥DF；③∠1=∠2中，选择一个条件，证明BE=DF．
　
11．解：选择①AE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF．(8分)
选择②BE∥DF，∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥BF，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．(8分)
选择③∠1=∠2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF．(8分)
(任选其一即可)
12． (10分)(2025山东枣庄实验学校阶段练改编)如图，已知正方形ABCD的边长为a，AE平分∠DAC交CD于点E，EF⊥AC，垂足为F，求CF的长．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=45°，
∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，
∴DE=FE，△EFC是等腰直角三角形，
∴CE=FC，DE=FE=FC，
∵CE＋DE=a，
∴FC＋FC=a，
∴FC=(－1)a．(10分)
13． (12分)如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AP，MN．
(1)求证：AP=MN；
13．(1)证明：如解图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB，AD=CD，
在△ADP和△CDP中，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP=CP，
∵PN⊥CD，PM⊥BC，
∴∠PNC=∠PMC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴CP=MN，
∴AP=MN；(6分)
(2)若AB=4，PD=，求AP的长．
(2)解：如解图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=4，∠BDC=45°，
∵PN⊥CD，
∴∠PNC=90°，△PND是等腰直角三角形，
∴DN=PN，
∵PD=，
∴PN=DN=1，
∴CN=CD－DN=3，
又∵∠C=90°，
∴四边形PNCM是矩形
∴CM=PN=1，
∴MN=
由(1)的结论得MN=AP．
由(1)得，AP=PC，
∴AP=．(12分)
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【原创】九上原创情境题测试 讲解课件
第一章 特殊平行四边形
2026 秋北师九上数学原创情境题测试
阶段检测 3 正方形
一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)
1 ． 正方形具有而矩形不具有的性质是( ) A ． 四个角都是直角
B ． 四条边均相等
C ． 对角线相等
D ． 对角线互相平分
1 ．B
2 ． 已知四边形ABCD 为正方形，对角线为AC 和 BD ，则下列结论不正确的是( )
A ． AC⊥BD B ． AB⊥BC
C ． AC=2AB D ． AD=CD
2 ．C
A ． 4 2 B ． 8 C ． 8 2 D ． 16
3 ．C 【解析】 ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ ∠ABC=90 ° , AB=BC=CD=AD ， ∵
AC=4 ， ∴在Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB=2 2 ， ∴正方形 ABCD 的周长为
4AB=8 2．
3 ． 如图，在正方形 ABCD 中，若对角线AC=4 ，则正方形ABCD 的周长为( )
A ． OA=OB B ． AB⊥BC
C ． ∠OAD=∠ODA D ． AC⊥AD
4 ．D 【解析】 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA=OC ，OB=OD ．当 OA=OB 时，
AC=BD ，当∠OAD=∠ODA 时，OA=OD ，则 AC=BD ， ∴菱形 ABCD 是正方形(对角线相等的菱形是正方形) ，故 A ，C 选项不符合题意；当 AB⊥BC 时，菱形 ABCD 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形) ，故 B 选项不符合题意； ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD ，则当AC⊥AD 时，AD∥BD ，不能构成四边形，故 D 选项符合题意．
4 ． 如图，在菱形 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O ，则添加下列条件，不能使菱形 ABCD 成为正方形的是( )
A ． 20 B ． 28 C ． 40 D ． 56
5 ．C 【解析】如解图，连接 AC ，BD ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD ， ∠
ABC=90 ° , ∴AC=BD ∵E ，H ，G ，F 分别是 AB ，AD ，DC ，CB的中点， ∴EF ，FG ，HG ，EH 分别为△ABC ，△BCD ，△ACD ，△ABD 的中位线， ∴EF AC=10 ，HG AC=10 ，FG BD=10 ，EH BD=10 ， ∴四边形地砖 EFGH 的周长为 40.
5 ． (2025 陕西西安铁一中阶段练)如图是一块长方形地砖ABCD，测得AB=12，AD=16，现将它切割成一块平行四边形地砖 EFGH，要求 E，F，G，H 依次是边 AB，BC，CD， DA 的中点，切割后的平行四边形地砖 EFGH 的周长为( )
6 ． 如图是小刚在综合与实践课上用四根长度相同的木条制作的可以活动的四边形学具，
他先将学具活动成正方形ABCD，接着将学具活动成菱形A ′B ′C ′D ′，且通过测量得到∠B ′=60 ° , 若他想将活动后的四边形暂时固定下来，则正方形和菱形需要再添加的木条分别为AC，A ′C ′ ，则 的值为( )
A ． 2 B ． 3
2 3
C ． D ．
2 3
6 ．A 【解析】由题意得 AB=A , B , ，丫四边形 ABCD 是正方形，:AB=BC ，L
B=90 ° , :△ABC 是等腰直角三角形，:AC= 2AB ．丫四边形 A , B , C , D , 是菱形，:A , B , =B , C , ，丫LB , =60 ° , :△A , B , C , 是等边三角形，:A , C , =A , B , =AB ．
二、填空题(每小题 3 分，共 12 分)
7 ． 如图所示，在正方形ABCD 中，E 是AC 上的一点，且 AB=AE ，则∠AEB 的度数
为 ．
7 ．67.5 ° 【解析】 ∵在正方形 ABCD 中，AC 平分∠BAD ， ∴ ∠BAE=45 ° , ∵
AB=AE ， ∴ ∠ABE (180 ° -∠BAE) (180 ° -45 °)=67.5 ° .
8 ．菱形 【解析】 ∵E ，F ，G ，H 分别是 BD ，BC ，AC ，AD 的中点， ∴
EH=GF AB ，HG=EF CD ， ∵AB=CD ， ∴EH=EF=GF=HG ， ∴四边形 EFGH 是菱
形．
8 ． (2025 江苏苏州立达中学期中)如图，E，F，G，H 分别是 BD，BC，AC，AD 的中
点，且AB=CD ，则四边形 EFGH的形状是 ．
图① 图②
9 ．50 【解析】丫正方形的边长为 20 cm ，:正方形的面积为 400 cm2 ，由题图可知
“飞机尾翼” ×正方形的面积，:“飞机尾翼”的面积为 50 cm2.
9．(趋势情境 传统文化)七巧板是由宋代的“燕几图 ”演变而来的． 小明用边长为 20
cm 的正方形纸板制作了一副七巧板(如图①) ，然后拼成“飞机 ”(如图②) ，则“飞机尾翼 ”(阴影部分)的面积为 cm2.
10 ． 如图，P 为线段AB 上的一个动点，AB=6，以 PA，PB 为边向同侧作正方形 APDC，
正方形 PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为 O1 ，O2，连接 O1O2，则 O1O2 的最小值为 ．
10 ．3 【解析】如解图，过点 O1 作 O1M⊥AP 于点 M ，边点 O2 作 O2N⊥PB 于点
N ，过点 O1 作 O1Q⊥O2N 于点 Q ， ∵四边形 APDC 和四边形 PBEF 都为正方形， ∴ △AO1P 和△PO2B 都是等腰直角三角形， ∴AM=PM ，PN=BN ， ∴MN=PM+
PN AB=3 ，易得四边形 O1MNQ 为矩形， ∴O1Q=MN=3 ， ∵O1O2≥O1Q ， ∴O1O2的最小值为 3.
三、解答题(共 30 分)
11．(8 分)(中考新考法 组合条件开放 )如图，在正方形 ABCD 中，E 与 F 分别是边 AD，
BC 上一点，请在①AE=CF；②BE∥DF；③∠1=∠2 中，选择一个条件，证明 BE=DF．
11 ．解：选择①AE=CF ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD ， ∠A=∠C=90 ° ,
在△ABE 和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF ．(8 分)
选择②BE∥DF ， ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴DE∥BF，
∵BE∥DF，
∴四边形 BFDE 是平行四边形，
∴BE=DF ．(8 分)
选择③∠1=∠2 ， ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CD ， ∠A=∠C=90 ° ,
在△ABE 和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF ．(8 分)
(任选其一即可)
12 ．解： ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠D=90 ° , ∠ACD=45 ° ,
∵AE 平分∠DAC ，EF⊥AC，
∴DE=FE ，△EFC 是等腰直角三角形，
12 ． (10 分)(2025 山东枣庄实验学校阶段练改编)如图，已知正方形ABCD 的边长为 a，
AE 平分∠DAC 交 CD 于点 E，EF⊥AC，垂足为 F，求 CF 的长．
∴CE= 2FC ，DE=FE=FC，
∵CE＋DE=a，
∴ 2FC＋FC=a，
∴FC=( 2－1)a ．(10 分)
13 ． (12 分)如图，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD ，垂
足分别为 M，N，连接AP，MN．
(1)求证：AP=MN；
13 ．(1)证明：如解图，连接 PC，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠BCD=90 ° , ∠ADB=∠CDB ，AD=CD，
在△ADP 和△CDP 中， DP，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP=CP，
丫PN丄CD ，PM丄BC，
:LPNC= LPMC=90 ° ,
:四边形 PMCN 是矩形， :CP=MN，
:AP=MN ；(6 分)
(2)解：如解图， ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD=AB=4 ， ∠BDC=45 ° ,
∵PN⊥CD，
∴ ∠PNC=90 ° , △PND 是等腰直角三角形， ∴DN=PN，
∵PD= 2，
(2)若AB=4 ，PD= 2 ，求 AP 的长．
∴PN=DN=1，
∴CN=CD－DN=3，
又∵∠C=90 ° ,
∴四边形 PNCM 是矩形∴CM=PN=1，
∴MN= 10
由(1)的结论得 MN=AP．
由(1)得，AP=PC ， ∴AP= 10 ．(12 分)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026秋北师版九上数学原创情境题阶段测试
第一章　特殊平行四边形
阶段检测3 正方形
一、选择题(每小题3分，共18分)
1． 正方形具有而矩形不具有的性质是(　　)
A． 四个角都是直角　　
B． 四条边均相等
C． 对角线相等　　
D． 对角线互相平分
1．B
2． 已知四边形ABCD为正方形，对角线为AC和BD，则下列结论不正确的是(　　)
A． AC⊥BD　　 B． AB⊥BC　　
C． AC=2AB　　 D． AD=CD
2．C
3． 如图，在正方形ABCD中，若对角线AC=4，则正方形ABCD的周长为(　　)
A． 4　　B． 8　　C． 8　　D． 16
3．C　【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD，∵AC=4，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2，∴正方形ABCD的周长为4AB=8．
4． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则添加下列条件，不能使菱形ABCD成为正方形的是(　　)
A． OA=OB　　 B． AB⊥BC　　
C． ∠OAD=∠ODA　　 D． AC⊥AD
4．D　【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD．当OA=OB时，AC=BD，当∠OAD=∠ODA时，OA=OD，则AC=BD，∴菱形ABCD是正方形(对角线相等的菱形是正方形)，故A，C选项不符合题意；当AB⊥BC时，菱形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)，故B选项不符合题意；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，则当AC⊥AD时，AD∥BD，不能构成四边形，故D选项符合题意．
5． (2025陕西西安铁一中阶段练)如图是一块长方形地砖ABCD，测得AB=12，AD=16，现将它切割成一块平行四边形地砖EFGH，要求E，F，G，H依次是边AB，BC，CD，DA的中点，切割后的平行四边形地砖EFGH的周长为(　　)
A． 20　　 B． 28　 　C． 40 　　D． 56
5．C　【解析】如解图，连接AC，BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=90°，∴AC=BD==20，∵E，H，G，F分别是AB，AD，DC，CB的中点，∴EF，FG，HG，EH分别为△ABC，△BCD，△ACD，△ABD的中位线，∴EF=AC=10，HG=AC=10，FG=BD=10，EH=BD=10，∴四边形地砖EFGH的周长为40.
6． 如图是小刚在综合与实践课上用四根长度相同的木条制作的可以活动的四边形学具，他先将学具活动成正方形ABCD，接着将学具活动成菱形A′B′C′D′，且通过测量得到∠B′=60°，若他想将活动后的四边形暂时固定下来，则正方形和菱形需要再添加的木条分别为AC，A′C′，则的值为(　　)
A． 　　 B． 　　
C． 　　 D．
6．A　【解析】由题意得AB=A′B′，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB．∵四边形A′B′C′D′是菱形，∴A′B′=B′C′，∵∠B′=60°，∴△A′B′C′是等边三角形，∴A′C′=A′B′=AB，∴==．
二、填空题(每小题3分，共12分)
7． 如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB=AE，则∠AEB的度数为　　　　．
7．67.5°　【解析】∵在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=(180°－∠BAE)=(180°－45°)=67.5°．
8． (2025江苏苏州立达中学期中)如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，则四边形EFGH的形状是　　　　．
8．菱形　【解析】∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EH=GF=AB，HG=EF=CD，∵AB=CD，∴EH=EF=GF=HG，∴四边形EFGH是菱形．
9．(趋势情境　传统文化)七巧板是由宋代的“燕几图”演变而来的． 小明用边长为20 cm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图①)，然后拼成“飞机”(如图②)，则“飞机尾翼”(阴影部分)的面积为　　　　cm2.
图①　　 　 图②
9．50　【解析】∵正方形的边长为20 cm，∴正方形的面积为400 cm2，由题图可知“飞机尾翼”的面积=×正方形的面积，∴“飞机尾翼”的面积为50 cm2.
10． 如图，P为线段AB上的一个动点，AB=6，以PA，PB为边向同侧作正方形APDC，正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1，O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为　　　　．
10．3　【解析】如解图，过点O1作O1M⊥AP于点M，边点O2作O2N⊥PB于点N，过点O1作O1Q⊥O2N于点Q，∵四边形APDC和四边形PBEF都为正方形，∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，∴AM=PM，PN=BN，∴MN=PM＋PN=AB=3，易得四边形O1MNQ为矩形，∴O1Q=MN=3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值为3.
三、解答题(共30分)
11． (8分)(中考新考法 组合条件开放 )如图，在正方形ABCD中，E与F分别是边AD，BC上一点，请在①AE=CF；②BE∥DF；③∠1=∠2中，选择一个条件，证明BE=DF．
　
11．解：选择①AE=CF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF．(8分)
选择②BE∥DF，∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥BF，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．(8分)
选择③∠1=∠2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF．(8分)
(任选其一即可)
12． (10分)(2025山东枣庄实验学校阶段练改编)如图，已知正方形ABCD的边长为a，AE平分∠DAC交CD于点E，EF⊥AC，垂足为F，求CF的长．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，∠ACD=45°，
∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，
∴DE=FE，△EFC是等腰直角三角形，
∴CE=FC，DE=FE=FC，
∵CE＋DE=a，
∴FC＋FC=a，
∴FC=(－1)a．(10分)
13． (12分)如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AP，MN．
(1)求证：AP=MN；
13．(1)证明：如解图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB，AD=CD，
在△ADP和△CDP中，
∴△ADP≌△CDP(SAS)，
∴AP=CP，
∵PN⊥CD，PM⊥BC，
∴∠PNC=∠PMC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴CP=MN，
∴AP=MN；(6分)
(2)若AB=4，PD=，求AP的长．
(2)解：如解图，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=4，∠BDC=45°，
∵PN⊥CD，
∴∠PNC=90°，△PND是等腰直角三角形，
∴DN=PN，
∵PD=，
∴PN=DN=1，
∴CN=CD－DN=3，
又∵∠C=90°，
∴四边形PNCM是矩形
∴CM=PN=1，
∴MN=
由(1)的结论得MN=AP．
由(1)得，AP=PC，
∴AP=．(12分)
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