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第3章二次根式·培优卷新教材湘教版2026—2027学年八年级数学上册
时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________
考卷信息:
本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
4．计算结果的平方根为（ ）
A．2 B． C． D．4
5．下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．已知，代数式的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．与的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定
10．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．______．
12．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________．
13．若，，则______．
14．若有意义，则的平方根是______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
16．已知，，
(1)
(2)
17．某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为．
(1)矩形的周长是多少？
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
18．【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子．
【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决．
【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算：
请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题：
(1)计算：___________．
(2)计算：；
(3)求：的值．
19．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
(1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______；
(2)用含的式子表示出第个等式：_______；
(3)计算：．
20．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________；
(2)利用所探索的结论，填空：；
(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？
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试卷第1页（共3页）
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参考答案
1．D
【详解】解：选项A：，该选项不符合题意；
选项B：，该选项不符合题意；
选项C：与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
选项D：，该选项符合题意．
2．D
【详解】解：∵，
∴．
3．B
【详解】解：．
∵，
∴，
∴，
∴．
4．C
【详解】解：∵，
∴原表达式结果的平方根为．
5．C
【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
B．的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式．
6．A
【详解】解：由图可知，，
∴，
∴
.
7．C
【详解】解：∵且，
∴．
8．A
【详解】解：，
当时，
原式．
9．B
【详解】解：∵，
∴乘积为的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系．
10．C
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴.
11．/
12．
13．
14．
15．【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
16．【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
17．【详解】（1）解：，
即矩形的周长是．
（2）解：由题意，知（元）．
答：购买地砖需要花费660元．
18．【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：对任意正整数，对分母有理化得，
因此，
．
19【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第5个等式为：；
（2）解：由上规律可得，第个等式为：；
（3）解：原式
20．【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ，
∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等，
∴，．
（2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，，
也就是．
∵是正整数，
∴m、n的取值有两种情况：
当，时，
，不符合．
当时，
，完全符合，
因此两个空依次填1、．
（3）解：根据第（1）问的结论，这里，
∴，即。
∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种：
情况1：，，
代入，得；
情况2：，，
代入，得．
∴符合条件的正整数为12或28．

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