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苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷.拔尖卷
测试范围：第1章一元二次方程、第2章反比例函数
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷满分120分，考试时间120分钟。
3.选择题部分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分
1．将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图像一定经过的点（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，，三点都在反比例函数的图象上，则下列关系正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．y关于x的函数的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是________．
12．一元二次方程的解为________．
13．如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为______．
14．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______．
15．直线与双曲线交于、两点，则的值为______．
16．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 _______．
三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
19．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2．
(1)求n的值和反比例函数的解析式；
(2)点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标．
21．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点，点P在线段OA的延长线上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，过点P作y轴的平行线l，与的图像交于点B，与轴交于点，当线段时，求点B的坐标．
22．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
(3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
23．请阅读下列材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．
24．如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，．
(1)求的值；
(2)已知点在反比例函数的图象上，连接，若，求点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B D A D D A B
11．
12．，
13．2
14．
15．16
16．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
18．(1)，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
19．【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
(2)解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
20．【详解】（1）解：∵点位于轴上，点的横坐标为2，
∴，将点代入一次函数
得：，解得，
∴一次函数的解析式为，
将点代入一次函数
得：， ∴，
将点代入反比例函数
得：，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，当点在直线下方的反比例函数的图象上时，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为．
②如图，当点在直线上方的反比例函数的图象上时，
设直线与轴交于点，
对于一次函数，
当时，，即，
由（1）已得：，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴，即此时与不可能相等；
综上，点的坐标为．
21．【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设，则，，

∴，，
∵ ，
∴，
∴，（舍去）
∴点B的坐标为
22．【详解】（1）解：由题意得：（元），
∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元；
（2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件恤衫的销售价应该定为元；
(3)
解：不能，理由如下：
设每件恤衫降价元，
∵为了保证每件恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合题意，舍去，
∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
23．【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即，
把代入已知方程，得，
化简，得，
则所求方程为；
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，即，
把代入已知方程，得，
化简，得，
则所求方程为；
（3）解：一元二次方程整理可得：，
令，则，
则方程的两根比的两个实数根大1，
∴的两个实数根分别是，4；
24．【详解】（1）解：一次函数的图象分别与轴，轴交于点，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
一次函数的表达式是；
∵反比例函数的图象交于点，且点的横坐标为1，
∴，
∴，
反比例函数表达式为．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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