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苏科版2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟卷.提高卷
测试范围：第1章一元二次方程、第2章反比例函数
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷满分120分，考试时间120分钟。
3.选择题部分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点在反比例函数的图像上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．3 D． 3
4．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．必有实根 B．有两个不相等的实根
C．无实根 D．不能确定根的情况
6．已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．反比例函数经过点，则该反比例函数图象所在象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
8．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ．
12．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．
13．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于点和点，则关于x的不等式的解集是_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________．

16．如图，A，B两点分别在函数和的图象上，过点B作y轴的垂线，垂足为点C，作点A关于原点O的对称点D，连接，，，若，且，则k的值等于________．
三、解答题:（17、18、19、20、21、22、23、24、25题每题7分，26题9分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程必有两个不相等的实数根．
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
19．已知是关于的一元二次方程的两实数根．
(1)若，求的值；
(2)若菱形的周长为，与交于，与的长分别是关于的方程的两根．求的值．
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)判断方程是否为“伴根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，
①求m的值；
②在①的条件下，若，解关于的方程
21．某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋．
(1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？
(2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集；
(3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标．
23．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是．
(1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式；
(2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
24．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
25．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
26．如图①，一次函数与反比例函数的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题．
(1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ；
(2)的面积为 ；
(3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由；
(4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C A A C C A B
11．
12．4
13．
14．-6＜x＜0或x＞2；
15．
16．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
18．(1)证明：∵
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
解得：或，
经检验或是原方程的解，
∴或．
19．【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
，
由根与系数的关系得，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
（2）解：菱形周长为，
菱形边长，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
、是方程的两根
，，
，
，
，
，
，
，
∴．
20．【详解】（1）解：，
，
或，
解得，，
∵，
∴方程是“伴根方程”；
（2）解：①∵，
∴或，
∴，，
∵方程（m是常数）是“伴根方程”，
∴，
∴或；
②∵，
∴，
∴关于t的方程为，
∴，
∴．
21．【详解】（1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得：
，
整理得：，
解得：，
又∵让利给消费者，
，
答：每袋薯片应降价5元；
(2)不能实现每天250元的利润，理由如下：
设每袋薯片应降价元，根据题意得：
，
整理得：，
，
∴方程无实数解，
∴不能实现250元的利润．
22．【详解】（1）解：把代入，得
，
∴，
把代入，得
，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入，得
，解得，
∴；
又，
由图可知，的解集为或；
（3）解：如图，设直线与轴交于点，
令，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或．
23．【详解】（1）解：停止加热时，设，
由题意得，
解得：，
当时，，
解得，
∴点B的坐标为；
材料加热时，设，
由题意得，
解得．
∴材料加热时，与的函数关系式为：，
停止加热进行锻造时与的函数关系式为：．
（2）解：把代入中，
得，
．
答：锻造的操作时间为．
24．【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，解得．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元，
要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价80元，
此时的售价为：（元），．
答：该店应按原售价的八折出售；
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，
，
原方程没有实数根，
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
25．【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
26．【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为．
，且，
设点，则，
，
设，则，
，
解得或，
或（均取正值），
对应点，
点的坐标为．
一次函数的图象过点和，
，
解得，
一次函数的关系式为．
（2）解：设直线与轴交于点，
在中，令，得，
，即，
，
，
，
．
（3）解：设点，其中，
四边形为正方形，
且，
点可由点绕点顺时针旋转得到，
点，点，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
，
解得（舍去）或，
，．
正方形对角线互相平分，
对角线与的中点重合，
的中点坐标为，
，，
解得，，
存在点，其坐标为．
（4）解：点是点关于直线的对称点，
直线是线段的垂直平分线，
直线经过原点，
，
，
，
设，其中，
由勾股定理得，
，
设，则，
，
解得或，
或，
或（均满足）．
当时，，设，
点在直线上，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
若，则，
此时，与三角形内角和为矛盾，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，且，
，
，
，
，
，
解得或，
当时，，，
当时，，．
当时，，设，
同理，由得，
，
同理，为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
解得或，
当时，，，
当时，，．
综上所述，符合条件的点的坐标为，，，．
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