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2026—2027学年广东省深圳市九年级数学上学期期中考试常考题型综合训练卷（北师大版）
考试时间90分钟，全卷满分100分.
第一部分 选择题
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ）
A． B． C． D．
3．已知a，b均为一元二次方程的根，则的值为（ ）
A．0 B．20 C． D．2
4．以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（ ）与第一个三角形相似．
A． B． C． D．
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．四边都相等的四边形是矩形
C．菱形的对角线垂直且相等
D．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
6．用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，作交于，于，，．则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上.
9．如果，那么=__________．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根为3，则m的值为______．
11．为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____．
12．如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____．
13．如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线上运动时，线段的最小值是_____
三、解答题:本大题共7小题，共61分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
14．（6分）解方程：
(1)；
(2)
15．（7分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，
(1)画出与关于y轴对称的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限画一个，使它与的相似比为；
(3)求的面积为_______．
16．（8分）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，5月份销售256件，6、7月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件．
(1)求6、7这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场8月份可获利4250元？
17．（8分）如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、．
(1)求证： 四边形是矩形；
(2)若， ， ， 求的长．
18．（10分）如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点．

(1)求证：；
(2)若菱形的边长为，，求的长
19．（10分）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对．
已知关于的方程
(1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值；
(3)若是它的互补对，求的值．
20．（12分）数学活动课上，李老师给出如下问题：
【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：；
【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形．
（1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程；
【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题：
（2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值；
【学以致用】
（3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值．
参考答案
1．B
【详解】解：∵一元二次方程需满足：一个未知数，最高次为2，整式方程；
A、含有两个未知数x和y，不符合定义，故该选项不符合题意；
B、只有一个未知数x，最高次数为2，是整式方程，符合定义，故该选项符合题意；
C、方程，最高次数为1，不符合定义，故该选项不符合题意；
D、方程含有分式，不是整式方程，不符合定义，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形，
∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误；
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
故选：B．
3．A
【详解】解：∵a，b均为一元二次方程的根，
∴，，
∴
．
故选：A．
4．A
【详解】解：的三边长分别为，
∴；
的三边长分别为，则，
故；
同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意；
故选A．
5．D
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），故选项A是假命题；
B、四边都相等的四边形是菱形，不一定是矩形（除非有直角），故选项B是假命题；
C、菱形的对角线互相垂直但不一定相等（仅正方形相等），故选项C是假命题；
D、相似三角形的对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故选项D是真命题．
故选：D．
6．A
【详解】解：，
，
．
故选：A．
7．D
【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：，
，
∴，
∵，
∴，
∴
故选D
8．C
【详解】解：依题得：是的角平分线，
在射线上，且，，
，
选项的结论正确，不符合题意；
，，
，，
，
又中，，
且，
，
，
，
，，
选项的结论正确，不符合题意；
选项的结论错误，符合题意；
，，
，
，
，
中，，
选项的结论正确，不符合题意．
故选：．
9．.
【详解】解：∵，∴，∴，∴=．故答案为．
10．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为3，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．
【详解】解：设该树的高度为，
依题意得：，
解得：，
则该树的高度为，
故答案为：．
12．
【详解】解：如图所示，过点C作于点F，
设，则，
∵在中，点E为的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，，
，
，
，
又，
，
，即，
解得： ， ，
，
，
；
故答案为：．
13．
14．【详解】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或解得：．
15．(1)如图所示，即为所求：
(2)如图所示，即为所求：
（3）解：的面积，
故答案为：8．
16．【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：，
解得：或舍；
6、7这两个月的月平均增长百分率为；
（2）设降价y元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价5元时，商场8月份可获利4250元．
17．【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
即，
由三角形的面积公式得：，
∴．
18．(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵将沿翻折，点恰好落在边上的点上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵菱形的边长为，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴,,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．【详解】(1)，
∵
∴
，
所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为，
根据韦达定理得到，
∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为，
∴，，
∴
∴对称中心值，
设的对称中心值为，该方程的根记为
∴，
∴
∴对称中心值，
∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值
∴，
∴或
∴或．
20．（1）将线段沿平移至，交于点K．
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
∴；
（2）延长交于点G，再将线段沿平移至．
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴
∴．
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）将线段沿平移至．
∵，
∴．
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
将线段沿平移至MN，连接，，则．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴的最小值为．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴的最小值为．
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