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第3章分式单元训练卷青岛版（新教材）2026—2027学年八年级学年数学上册
时间:90分钟 满分:120分 姓名:_______班级:________考号:___________
一．选择题（每小题4分，满分40分）
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．解分式方程，去分母后正确的整式方程是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍
7．甲、乙两人搬运货物，甲每小时比乙多搬运20件，甲搬运300件货物的时间与乙搬运200件货物的时间相同．设乙每小时搬运件货物，列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设 a < b < 0， ， 则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．已知，则分式的值为（ ）
A．2 B． C． D．8
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．分式与的最简公分母是______________．
12．已知，则________．
13．已知，则=_________．
14．若分式方程无解，那么m的值应为_________．
三．解答题（共6小题，总分60分，其中15—20题每题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．计算：．
16．先化简，再求值：，其中．
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．代数式：
(1)化简代数式A；
(2)若代数式A的值为整数，求整数a的值．
19．信诚超市销售甲、乙两种商品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品用去300元，乙种商品用去1200元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同．
(1)求两种商品购进的数量分别是多少件？
(2)由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲商品进价在原基础上降了，乙商品进价在原基础上涨了，甲种商品每件售价20元，乙种商品每件售价30元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于950元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？
20．关于的二次三项式，我们规定：将二次项系数与常数项互换，一次项系数保持不变，得到新的多项式称为原多项式的反系数配对式．已知二次三项式，它的反系数配对式记为，完成下列问题：
(1)直接写出代数式，并因式分解；
(2)求代数式的最大值；
(3)已知关于的分式方程无解，求常数的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A A C A B B A
11．
【详解】解：第一个分式的分母为 ，分解因式得：
第二个分式的分母为 ，分解因式得：
取各分母所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为．
12．4
【详解】解：∵，且，
∴．
13．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵任意数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数为，
∴，，
解得，．
代入，．
原式．
14．
【详解】解：去分母，得，
整理，得，
∴．
∵分式方程无解，
∴，即．
∴．
15．【详解】解：
．
16．【详解】解：原式
．
当时，原式．
17．【详解】（1）解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18．【详解】（1）解：
；
（2）解：∵化简后，即，
又代数式A的值为整数，且a为整数，
必须为整数，即是5的因数．
又5的因数为，，
∴当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
同时，依题意可知：，且，即且，
综上，符合条件的整数a为4，8．
19．【详解】（1）解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种商品购进20件，乙种商品购进80件．
（2）解：3月份甲、乙两种商品的进价为（元）．
设该超市购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62．
答：该超市最多购进甲种商品62件．
20．【详解】（1）解：已知原二次三项式，
根据反系数配对式的定义，交换二次项系数与常数项，一次项系数不变，得
因式分解得：；
（2）解：
，
，
，
，
因此的最大值为；
（3）解：对于分式方程，
两边同乘去分母得，
代入，，
整理得，
分两种情况讨论：
① 当，即时，方程变为，整式方程无解，原分式方程无解；
② 当时，整式方程的解为，若原分式方程无解，则该解为增根，
因此 ，
解得
综上，常数的值为或．
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