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第2课时　匀变速直线运动的规律　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　如图所示为匀速行驶的汽车刹车时安全距离示意图，驾驶员反应时间内该车做匀速直线运动，开始制动到停止的过程做匀减速直线运动。
判断下列说法的正误：
（1）汽车从开始制动到停止所行驶的距离与刹车时速度的平方成正比。（　√　）
（2）刹车过程可看成反向的、初速度为零的、匀加速直线运动。（　√　）
（3）刹车中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。（　√　）
（4）以72 km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇到紧急情况而急刹车获得大小为4 m/s2的加速度，则刹车6 s内的位移为48 m。（　×　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　匀变速直线运动的基本规律　[素养自修类]
　　
1.【速度公式的应用】
长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（　　）
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：C　当列车恰好以速度v匀速通过隧道时，从减速开始至回到原来正常行驶速度所用时间最短，列车减速过程所用时间t1＝，匀速通过隧道所用时间t2＝，列车加速到原来速度v0所用时间t3＝，所以列车从减速开始至回到正常行驶速率所用时间至少为t＝t1＋t2＋t3＝＋，故C正确。
2.【位移公式的应用】
某款新能源汽车在平直道路上行驶时，从某时刻开始的一段时间内其位置与时间的关系是x＝（5t2＋3t＋6）m，则以下说法正确的是（　　）
A.初始时刻汽车在坐标原点
B.1 s末汽车离坐标原点8 m
C.第一秒内平均速度大小为8 m/s
D.前两秒内平均速度大小为16 m/s
解析：C　根据x＝（5t2＋3t＋6）m，由t＝0得，初始时刻汽车在坐标x0＝6 m的位置，A错误；1 s末汽车离坐标原点x1＝（5×12＋3×1＋6）m＝14 m ，B错误；第一秒内平均速度为＝，代入数据解得＝8 m/s，C正确；2 s末汽车离坐标原点x2＝（5×22＋3×2＋6）m＝32 m ，前两秒内平均速度为＝ ，代入数据解得＝13 m/s，D错误。
3.【速度—位移关系式的应用】
（2025·宁波模拟）如图所示，装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车，当车速v满足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且与前方行人之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，使汽车避免与行人相撞。若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是4～6 m/s2，则该系统设置的安全距离约为（　　）
A.0.08 m B.1.25 m
C.5.33 m D.8 m
解析：D　刹车距离x＝，故系统设置的安全距离应取初速度的最大值和加速度的最小值，28.8 km/h＝8 m/s，代入得x＝8 m，故选D。
根据题目涉及的物理量选择公式
已知或待求 未涉及量 选择公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－＝2ax
v0、v、t、x a x＝t
考点二　匀变速直线运动的推论　[互动共研类]
　　
物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
答案：t
解析：方法一　平均速度法
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，得＝＝，又＝2axAC，＝2axBC，xBC＝，可得vB＝＝，vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t。
方法二　比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t。
方法三　逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。设物体从B到C所用的时间为tBC。
由运动学公式得xBC＝，xAC＝，
又xBC＝，由以上三式解得tBC＝t。
方法四　图像法
根据匀变速直线运动的规律，画出v-t 图像，如图所示。
利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC，所以＝，解得 tBC＝t。
1.【逐差公式的应用】
（多选）物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m，则下列说法正确的是（　　）
A.物体运动的加速度为4 m/s2
B.第2 s内的位移为6 m
C.第2 s末的速度为2 m/s
D.物体在0～5 s内的平均速度为10 m/s
解析：ABD　根据逐差公式xⅣ－xⅡ＝2aT2，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A正确；第2 s内的位移为x2－x1＝a－a＝×4×（22－12）m＝6 m，故B正确；第2 s末速度为v＝at2＝4×2 m/s＝8 m/s，故C错误；物体在0～5 s内的平均速度＝＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。
2.【图像法的应用】
如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则（　　）
A.甲、乙不可能同时由A到达C
B.甲一定先由A到达C
C.乙一定先由A到达C
D.若a1＞a3，则甲一定先由A到达C
解析：A　根据速度—时间图线得，若a1＞a3，如图1所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＜t甲。若a3＞a1，如图2所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＞t甲。通过图线作不出位移相等、速度相等、时间也相等的图线，所以甲、乙不能同时到达。综上，A正确，B、C、D错误。
3.【逆向思维法的应用】
如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成两个完整的圆周运动。在运动过程中，完成第一圈与第二圈所用时间之比为（　　）
A.（－1）∶1 B.2∶1
C.1∶1 D.1∶
解析：A　小木块在粗糙程度处处相同的水平桌面上运动，受到与运动方向相反的大小相等的摩擦力作用，木块恰好完成两个完整的圆周运动，可以等效成木块做初速度为v0的匀减速直线运动至速度为0，逆向思维，根据初速度为0的匀加速直线运动相邻相等位移所用时间的比例关系，可得完成第一圈与第二圈圆周运动所用时间之比为t1∶t2＝（－1）∶1，故A正确，B、C、D错误。
4.【平均速度公式的应用】
（2025·宁波质检）在宁波站附近的某段平直的铁路上，一列以90 m/s高速行驶的列车某时刻开始匀减速行驶，5 min后恰好停在宁波站，并在该车站停留2 min，随后匀加速驶离车站，经8.1 km后恢复到原速90 m/s。
（1）求列车减速过程中的位移大小；
（2）求列车驶离车站过程中加速到70 m/s所用时间；
（3）从开始匀减速行驶到恢复到原速的平均速度大小。
答案：（1）13 500 m　（2）140 s　（3）36 m/s
解析：（1）t1＝5 min＝300 s，根据位移计算公式可得物体减速过程中的位移
x1＝t1＝×300 m＝13 500 m。
（2）在加速阶段，根据速度—位移关系可得
v2＝2ax2
解得a＝0.5 m/s2
列车驶离车站过程中加速到v1＝70 m/s所用时间t2＝＝ s＝140 s。
（3）开始加速到恢复到原速经过的时间
t2＝＝ s＝180 s
从开始匀减速行驶到恢复到原速的平均速度
＝＝ m/s＝36 m/s。
　　
课时跟踪检测
考点一　匀变速直线运动的基本规律
1.（2025·金华模拟）随着科技的进步，一些公司用智能物流机器人进行送货，已知机器人运动的最大速度为1 m/s，当它过红绿灯路口时，发现绿灯时间是20 s，路宽是19.5 m，若在绿灯亮起前2 s开始启动，它启动的加速度为0.5 m/s2，则机器人要顺利通过红绿灯，离停车线的最大距离为（　　）
A.0.5 m B.1 m
C.1.5 m D.2 m
解析：C　根据运动学公式可知，机器人加速到最大速度所用的时间t1＝＝ s＝2 s ，加速阶段的位移x1＝a＝×0.5×22 m＝1 m ，匀速运动阶段的位移x2＝vt2，代入数据解得x2＝20 m，从启动到红灯亮起，机器人的位移为x＝x1＋x2＝21 m，机器人要顺利通过红绿灯，离停车线的最大距离Δxmax＝x－x3＝21 m－19.5 m＝1.5 m，C正确，A、B、D错误。
2.如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于（　　）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
解析：C　根据匀变速直线运动的速度位移公式v2－＝2ax知，xAB＝，xAC＝，所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3，故C正确，A、B、D错误。
3.近年来，重庆热门景点“李子坝列车穿楼”吸引了大量游客驻足，当地更是专门修建观景台“宠粉”。列车进站时以20 m/s的初速度开始做匀减速直线运动，加速度大小为1.25 m/s2，列车速度减为0后在李子坝站停靠了50 s。则关于列车进站过程，下列说法正确的是（　　）
A.列车在减速运动阶段速度减小得越来越慢
B.列车开始减速后，t＝8 s时的速度为12 m/s
C.列车开始减速后，20 s内的位移为150 m
D.列车匀减速阶段最后1 s内的位移大小是0.625 m
解析：D　由于减速过程中加速度大小不变，则列车在减速运动阶段速度减小的快慢不变，故A错误；t＝8 s时的速度为v1＝v0－at1＝10 m/s，故B错误；列车减速到0耗时t＝＝16 s，故20 s内的位移和16 s的位移一样，因此x＝＝160 m，故C错误；列车匀减速阶段最后1 s内的位移大小为x'＝at'2，t'＝1 s，解得x'＝0.625 m，故D正确。
考点二　匀变速直线运动的推论
4.高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为（　　）
A.4.2 m B.6.0 m
C.7.8 m D.9.6 m
解析：D　速度21.6 km/h＝6 m/s，汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移x1＝v0（t1＋t2）＝6×（0.3＋0.7）m＝6 m，随后汽车做匀减速运动，位移为x2＝＝ m＝3.6 m，所以该ETC通道的长度L＝x1＋x2＝6 m＋3.6 m＝9.6 m，选项D正确。
5.（2025·杭州期中）国家发展改革委、交通运输部、中国铁路总公司联合发布了《中长期铁路网规划》，勾画了新时期“八纵八横”高速铁路网的宏大蓝图。设某高铁进站时做匀减速直线运动，从开始减速到停下所用时间为9t，则该高铁依次经过t、3t、5t时间通过的位移之比x1∶x2∶x3为（　　）
A.5∶3∶1 B.1∶4∶9
C.65∶15∶1 D.17∶39∶25
解析：D　高铁进站逆向看作初速度为零的匀加速直线运动，在相同时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11∶13∶15∶17。则该高铁依次经过t、3t、5t各时间段通过的位移之比为x1∶x2∶x3＝17∶（11＋13＋15）∶（1＋3＋5＋7＋9）＝17∶39∶25，D正确，A、B、C错误。
6.如图所示，一质点做匀加速直线运动先后经过A、B、C三点，已知从A到B和从B到C速度的增加量Δv均为6 m/s，AB间的距离x1＝3 m，BC间的距离x2＝13 m，则该质点的加速度为（　　）
A.3.6 m/s2 B.4 m/s2
C.4.2 m/s2 D.4.8 m/s2
解析：A　因为从A到B和从B到C速度的增加量Δv均为6 m/s，可知从A到B的时间和从B到C的时间相等，有Δv＝aT＝6 m/s，Δx＝x2－x1＝aT2＝10 m，联立可得T＝ s，a＝3.6 m/s2，A正确。
7.如图所示，某同学在直线跑道上测试一辆汽车的加速和制动性能，汽车从t＝0时刻开始加速直到速度v＝108 km/h，立即紧急制动，t＝13.5 s时汽车停下。若知刹车位移为67.5 m，加速过程和减速过程均看成匀变速运动。关于此汽车加速和减速过程说法正确的是（　　）
A.汽车的刹车时间为10 s
B.汽车刹车的加速度大小为 m/s2
C.汽车加速过程、减速过程的时间之比为1∶2
D.汽车加速过程、减速过程的位移之比为2∶1
解析：D　v＝108 km/h＝30 m/s，汽车刹车位移x减＝t减，解得t减＝4.5 s，故A错误；汽车刹车加速度的大小a减＝＝ m/s2，故B错误；加速时间为t加＝13.5 s－4.5 s＝9 s，所以t加∶t减＝2∶1，故C错误；加速位移为x加＝t加，减速位移x减＝t减，所以加速位移与减速位移之比等于加速时间与减速时间之比，即x加∶x减＝2∶1，故D正确。
8.（2025·安徽高考4题）汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站，先做加速度大小为a的匀加速运动，位移大小为x；接着在t时间内做匀速运动，最后做加速度大小也为a的匀减速运动，到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x，则（　　）
A.x＝at2 B.x＝at2
C.x＝at2 D.x＝at2
解析：A　设汽车匀加速运动的时间为t0，则汽车匀速运动的位移x1＝at0t，由对称性可知，汽车匀加速运动过程和匀减速运动过程的位移均为x＝a，又x1＋2x＝8x，联立解得t0＝t，所以x＝at2，A正确。
9.（多选）“礼让行人”是城市文明的重要标志。某汽车正以54 km/h的速度行驶在城市道路上，在车头距离“礼让行人”停车线36 m时，驾驶员发现前方有行人通过人行横道，驾驶员的反应时间为0.2 s，刹车后汽车匀减速滑行，为了停止让行，汽车不能越过停车线。则下列说法正确的是（　　）
A.汽车刹车滑行的最大距离为33 m
B.汽车刹车的最小加速度为4 m/s2
C.汽车用于减速滑行的最长时间为4.4 s
D.汽车行驶的平均速度不能超过7.6 m/s
解析：AC　汽车刹车前，在0.2 s内做匀速运动的位移x1＝v0t1＝×0.2 m＝3 m，则汽车刹车滑行的最大距离x2＝36 m－x1＝33 m，故A正确；汽车刹车的最小加速度amin＝＝ m/s2≈3.4 m/s2，故B错误；汽车用于减速滑行的最长时间tmax＝≈4.4 s，故C正确；汽车从发现前方有行人通过人行横道到停下来过程的平均速度不高于以最小加速度刹车时全程的平均速度，即≤ m/s≈7.8 m/s，故D错误。
10.当汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌，以提醒后面驾车司机减速安全通过。在夜间，有一货车因故障停驶，后面有一小轿车以20 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m的物体，他的反应时间为0.5 s，再加路面湿滑，制动的最大加速度为2 m/s2。求：
（1）小轿车从开始刹车15 s内通过的最小距离；
（2）三角警示牌至少要放在故障车后多远处，才能有效避免两车相撞。
答案：（1）100 m　（2）60 m
解析：（1）小轿车从开始刹车到停止所用的最短时间为
t0＝＝10 s
15 s时小轿车已停止，故通过的最小距离x1＝＝100 m。
（2）小轿车在反应时间内行驶的距离为x0＝v0t0＝10 m
则小轿车从发现警示牌到完全停下的过程中行驶的距离为x＝x0＋x1＝110 m
为了有效避免两车相撞，三角警示牌放在故障车后的最小距离为Δx＝x－50 m＝60 m。
11.红绿灯指挥城市路口交通。某城市道路汽车行驶限速vm＝15 m/s，如图是该市一个十字路口前红灯时的情况，第一辆车的车头与停止线齐平，该路口绿灯时间是Δt＝30 s，已知每辆车长均为L＝4.5 m，绿灯亮后，每辆汽车都以加速度a＝1.5 m/s2匀加速到最大限速，然后做匀速直线运动；为保证安全，前后两车相距均为L0＝1.5 m，绿灯亮时第一辆车立即启动，每后一辆车启动相对前一辆车均延后t0＝1 s。交通规则：黄灯亮时，只要车头过停止线就可以通行。
（1）绿灯亮后，求经过多长时间停止线后第3辆车车头过停止线；
（2）绿灯亮后，通过计算判断：停止线后第17辆车在本次绿灯期间能否通过该路口？
答案：（1）6 s　（2）第17辆车在本次绿灯能通过该路口
解析：（1）在绿灯亮后，设第三辆车等待时间为t1，运行时间为t2，则t1＝2t0＝2 s
2（L＋L0）＝a
解得t2＝4 s
停止线后第3辆车车头过停止线的时间t＝t1＋t2＝6 s。
（2）绿灯亮后，设第17辆车经过时间t3启动，车头与停止线距离为x1，则
t3＝16t0＝16 s
x1＝16（L＋L0）＝96 m
设第17辆车经过时间t4速度达到限速vm＝15 m/s，通过的距离为x2，则vm＝at4，x2＝a
解得t4＝10 s，x2＝75 m
匀速时间t5＝＝1.4 s＜Δt－t3－t4
所以第17辆车在本次绿灯能通过该路口。第2课时　匀变速直线运动的规律　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　如图所示为匀速行驶的汽车刹车时安全距离示意图，驾驶员反应时间内该车做匀速直线运动，开始制动到停止的过程做匀减速直线运动。
判断下列说法的正误：
（1）汽车从开始制动到停止所行驶的距离与刹车时速度的平方成正比。（　　）
（2）刹车过程可看成反向的、初速度为零的、匀加速直线运动。（　　）
（3）刹车中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。（　　）
（4）以72 km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇到紧急情况而急刹车获得大小为4 m/s2的加速度，则刹车6 s内的位移为48 m。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　匀变速直线运动的基本规律　[素养自修类]
　　
1.【速度公式的应用】
长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，
则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（　　）
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
2.【位移公式的应用】
某款新能源汽车在平直道路上行驶时，从某时刻开始的一段时间内其位置与时间的关系是x＝（5t2＋3t＋6）m，则以下说法正确的是（　　）
A.初始时刻汽车在坐标原点
B.1 s末汽车离坐标原点8 m
C.第一秒内平均速度大小为8 m/s
D.前两秒内平均速度大小为16 m/s
3.【速度—位移关系式的应用】
（2025·宁波模拟）如图所示，装备了“全力自动刹车”安全系统的汽车，当车速v满足3.6 km/h≤v≤28.8 km/h，且与前方行人之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，使汽车避免与行人相撞。若该车在不同路况下“全力自动刹车”的加速度取值范围是4～6 m/s2，则该系统设置的安全距离约为（　　）
A.0.08 m B.1.25 m
C.5.33 m D.8 m
根据题目涉及的物理量选择公式
已知或待求 未涉及量 选择公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－＝2ax
v0、v、t、x a x＝t
考点二　匀变速直线运动的推论　[互动共研类]
　　
物体以一定的初速度从斜面底端A点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
尝试解题
1.【逐差公式的应用】
（多选）物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m，则下列说法正确的是（　　）
A.物体运动的加速度为4 m/s2
B.第2 s内的位移为6 m
C.第2 s末的速度为2 m/s
D.物体在0～5 s内的平均速度为10 m/s
2.【图像法的应用】
如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则（　　）
A.甲、乙不可能同时由A到达C
B.甲一定先由A到达C
C.乙一定先由A到达C
D.若a1＞a3，则甲一定先由A到达C
3.【逆向思维法的应用】
如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成两个完整的圆周运动。在运动过程中，完成第一圈与第二圈所用时间之比为（　　）
A.（－1）∶1 B.2∶1
C.1∶1 D.1∶
4.【平均速度公式的应用】
（2025·宁波质检）在宁波站附近的某段平直的铁路上，一列以90 m/s高速行驶的列车某时刻开始匀减速行驶，5 min后恰好停在宁波站，并在该车站停留2 min，随后匀加速驶离车站，经8.1 km后恢复到原速90 m/s。
（1）求列车减速过程中的位移大小；
（2）求列车驶离车站过程中加速到70 m/s所用时间；
（3）从开始匀减速行驶到恢复到原速的平均速度大小。
温馨提示：请完成《课时跟踪检测》第2课时

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