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2026～2027学年度高一年级 9月质量检测
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150分，考试时间 120分钟．
2．答题前，考生务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教 A版必修第一册第一章～第二章第 2节．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．下列关系正确的是
A． B．
C． D．
2．命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
4．若实数 ， 满足 ，则
A． B．
C． D．
5．已知集合 ， ，则满足 的实数 的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．学校统计某班 45名学生参加合唱、编程、漫画 3个社团的情况，每名学生最多只能参加 2个社团．统
计结果显示：有 16名学生参加了合唱社团，有 17名学生参加了编程社团，有 18名学生参加了漫画社
团，其中有 10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如果对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数．例如 ， ，则“ ”
是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加 40升的燃油；第二种方案：每
次加 300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是
A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知命题 ： ， ，命题 ： ， ，则
A． 是真命题
B． 是假命题
C． 和 都是真命题
D． 和 都是假命题
10．已知集合 ， ，且 ，则 的值可以为
A． B．
C．0 D．
11．已知 ， ， ，则下列说法正确的是
A． 的最小值为 1
B． 的最大值为
C． 的最大值为 2
D． 的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知集合 ，则 的真子集个数为________．
13．已知 ， ， ，则 的取值范围是________．
14．已知命题 ：“ ， 恒成立”是真命题，则实数 的取值范围是________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
已知全集 ，集合 ， ．
（1）求 ， ；
（2）求 ， ．
16．（本小题满分 15分）
已知集合 ， ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分 15分）
如图，某农场紧急围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需
要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留 宽的入口（入口不需建
墙）．已知旧墙的维修费用为 28元 ，新墙的造价为 100元 ，旧墙的使用长度为 ，修建
此矩形场地的总费用为 （单位：元）．
（1）写出 关于 的表达式；
（2）当 为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用．
18．（本小题满分 17分）
（1）已知 ， ，且 ．
（ⅰ）求 的最大值；
（ⅱ）求 的最小值；
（2）求证：若 ， ， ，则 ，并指出等号成立的条件．
19．（本小题满分 17分）
已知正整数集的一个非空子集 ，其中 且 ，
．若对任意的 ， ，都有 ，则称集合 具有性质“跨
度 ”，其中 ．
（1）若 ， ， ，集合 具有性质“跨度 4”，求集合 中元素 的最小值；
（2）若集合 具有性质“跨度 36”，求证：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
（3）若集合 具有性质“跨度 36”，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由．
2026～2027学年度高一年级 9月质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B
9．AD 10．ACD 11．BCD
12．31 13． 14．
15．解：（1）因为集合 ， 2分
所以 ， 4分
． 6分
（2）因为全集 ， ， ，
所以 ， ， 9分
所以 ， 11分
． 13分
16．解：（1）由题意知 ， 1分
若 ，当 时，则 ，解得 ； 3分
当 时，则 或 解得 或 ． 7分
综上，实数 的取值范围是 ． 8分
（2）因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是 的真子集， 10分
所以 且等号不能同时成立， 12分
解得 ，即实数 的取值范围是 ． 15分
17．解：（1）依题意，新墙总长度为 ，修建新墙费用为 ，维修
旧墙费用为 ， 4分
因此 ，
所以修建此矩形场地的总费用 ． 6分
（2）由（1）知，当 时，
， 12分
当且仅当 ，即 时， ， 14分
所以当 时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为 3000元． 15分
18．（1）解：（ⅰ）因为 ，所以 ， 1分
令 ， ，则 ， ，且 ，
所以 ， 4分
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 1． 6分
（ⅱ） ， 10分
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 ． 12分
（2）证明：由基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立， 13分
同理可得 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以 ， 16分
当且仅当 时等号成立． 17分
19．（1）解：根据性质“跨度 4”的定义可得 且 ， 2分
解得 ，
所以集合 中元素 的最小值为 12． 3分
（2）证明：（ⅰ）根据性质“跨度 36”的定义可得 ．
因为 ， 均为正整数，不等式两边同除 ，得 ，得证． 5分
（ⅱ）根据性质“跨度 36”的定义可得 ， ，
因为 ， 均为正整数，所以不等式两边同除 ，得 ， 7分
所以 ， ， ，…， ，
累加得 ，得证． 9分
（3）解：由（2）可知 所以 ，解得 ， 11分
同（2）证明可得 ，所以 ， 13分
又由定义可知 ，所以 ，
所以 在 ， ， ，…， 上恒成立， 14分
当 时，取 ，则 ，解得 ，矛盾； 15分
当 时，则 ，所以 ， 16分
所以集合 中元素个数的最大值为 11． 17分

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