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湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对任意实数a,直线y=（a-1）x+3-2a一定经过点（　　）
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，1） D. （3，0）
2.已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ）
A. B. C. D.
3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知△ABC中，，AC=2，若满足条件的角A有两个解，则BC长的取值范围是（　　）
A. B. C. （1，2） D. （2，4）
5.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ）
A. 168 B. 192
C. 216 D. 240
6.设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若，，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（　　）
A. i+i2+i3+i4=0
B. 复数的虚部为-i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2
D. 若z1，z2为复数，则|z1 z2|=|z1||z2|
10.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（）
A. 甲：极差为4，平均数为4.4 B. 乙：中位数为3，平均数为3.4
C. 丙：平均数为3，方差不小于4 D. 丁：中位数为2，方差大于2.5
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，M为棱BB1的中点，点P为侧面ABB1A1内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（　　）
A. 满足的点P有且只有两个
B. 若D1P⊥AM，则点P的轨迹长度为
C. 三棱锥A1-ACM的体积为
D. 若C1P∥平面ADM，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点P（2，3），并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为 ．
13.已知为非零不共面向量，若向量，则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ．
14.正三角形边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的三个顶点是，，.
(1)求边上的中线所在直线的斜截式方程；
(2)求边上的高所在直线的斜截式方程；
(3)求边的垂直平分线的斜截式方程
16.(本小题15分)
电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差．
17.(本小题15分)
已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为.
(1)求证：平面BDE；
(2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离；
(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点。

(1)求证：。
(2)若，，，且与平面所成角为。
①当时，求三棱锥的体积；
②当取最大值时，求二面角的正弦值。
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】3x-2y＝0或2x＋y-7＝0
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意得的中点坐标，
所以，
所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为.
（2）所在直线的斜率为，
所以上的高所在直线的斜率，
又上的高过点，
则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为.
（3）由（2）得，与垂直的直线斜率为，
由（1）得的中点坐标，
所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为.

16.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为，
所以众数为该区间的中点值，即．
平均数为：
．
因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内．
设中位数为，则，
解得．
故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8．
（2）由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为．
设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则．
由题意知，，；，．
则合并后的平均数．
合并后的方差
．
故两组年龄合并后的平均数为32，方差为．

17.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，所以.
（2）因为，，所以，
因为D是BC的中点，所以，所以
因为，所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3.

18.【答案】解：(1)证明：连接，因为在平面ABC内的射影为，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，⊥，
因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，四边形为平行四边形，
所以平行四边形为菱形，故⊥，
因为D，E分别是线段，的中点，所以，
故⊥，
因为，平面，
所以⊥平面；
（2）由（1）知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为⊥，D是线段的中点，
所以由三线合一可得，
又，故为等边三角形，
，
由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，
点到平面BDE的距离；
（3）点F为线段上的动点（不包括端点），设，
，则，故，故，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
又平面的一个法向量为，
故，
令，
则，
因为，故，
，
平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是.

19.【答案】解：(1)已知PA平面ABC,且BC平面ABC,因此PABC;
已知平面PAC平面PBC,且平面PAC平面PBC=PC,在平面PAC内作ADPC于D,
根据面面垂直的性质定理,可得AD平面PBC,结合BC平面PBC,可得ADBC;
由于PAAD=A,且PA,AD平面PAC,
根据线面垂直的判定定理,可得BC平面PAC;
又因为AC平面PAC,因此ACBC.
(2)取PC的中点N,连接MN,AN,
因为M是PB的中点,所以MNBC,
由(1) BC平面PAC, 可得MN平面PAC,
因为AN平面PAC,所以ANMN,
由PA=2,AC=m=2,PAC为等腰直角三角形,
因此ANPC,
又因为MN,PC平面PBC,MNPC=N,
所以AN平面PBC,
则AMN就是AM与平面PBC所成的角,
已知AM与平面PBC所成角为,所以AMN=.
在等腰RtPAC中,PA=AC=2,所以AN=;
在RtAMN中,=,代入得MN=,
所以BC=2MN=2,
所以=ACBC=22=2，
所以三棱锥体积为=PA=22=.
过点C作CT平面ABC,垂足为C,以C为原点,以CB,CA,CT所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(n,0,0),A(0,m,0),P(0,m,2),M(,,1).
故=(0,m,2),=(n,0,0),
直线MA的方向向量=(-,,-1).
设平面PBC的法向量=(x,y,z),
故,即，得,
令y=2,则x=0,z=-m,所以=(0,2,-m).
由直线AM与平面PBC的夹角为,
得===，
整理得=,
交叉相乘同时平方得=(4+)+,
进而有==-(+4)-+64,
由基本不等式得,(+4)+2=32,所以64-32=32,
当且仅当+4=时,即m=2时等号成立,
所以n4,即BC的最大值为4.
此时B(4,0,0),A(0,2,0),P(0,2,2),M(2,,1)，
所以=(0,2,0),=(2,,1)
设平面MAC的法向量=(,,),
则,
即，
令=1,则=0,=-2,所以=(1,0,-2).
平面ACB的一个法向量=(0,0,1).
设二面角M-AC-B为,
则||=|<,>|===,
所以===.

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